贵州省贵阳市第一中学2018届高三上学期适应性月考（一）（理）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{A x y ==，202x B x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ） A ．[2,1]-- B ．[1,2]-C ．[1,1]-D ．[1,2) 2．复数32(1)(1)i i +-在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知()f x 在其定义域[1,)-+∞上是减函数，若(2)()f x f x ->，则（ ） A ．1x > B ．11x -≤< C ．13x <≤ D ．13x -≤≤ 4．双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为 （ ）．A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．)5．某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛，则这4人中三个项目都有人参加的概率为（ ）A ．89B ．49C ．29D ．827 6．若方程2(1)10x k x --+=有大于2的根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．7(,)2-∞ B ．7(,]2-∞ C ．7(,)2+∞ D ．7[,)2+∞ 7．已知,αβ都是锐角，且sin cos cos (1sin )αβαβ=+，则（ ）A ．32παβ-= B ．22παβ-= C ．32παβ+= D ．22παβ+=8．如图，由曲线21y x =-，直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．220(1)x dx -⎰B ．220(1)x dx -⎰C ．2201x dx-⎰ D ．122211(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰9．设直线2a x =与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于,A B 两点，若OAB ∆是直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A ．2BCD ．1210．已知数列{}n a 满足：11a =，121n n a a -=+（2n ≥），为求使不等式123n a a a a k ++++<的最大正整数n ，某人编写了如图所示的程序框图，在框图的判断框中的条件和输出的表达式分别为（ ）A ．,S k i <B ．,1S k i <-C ．,S k i ≥D ．,1S k i ≥-11．为得到函数22()2sin cos cos )f x x x x x =-的图象，可以把函数()2cos(2)3g x x π=-的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向左平移2π个单位 C ．向右平移4π个单位 D ．向右平移2π个单位 12．如图是某几何体的三视图，则该几何体的各个棱长中，最长的棱的长度为（ ）A．BCD．二、填空题 13．61(12)()x x x -+展开式的常数项是__________．（用数字作答） 14．已知变量,x y 满足条件23029x y x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤-⎩，则23x y -的最小值等于__________．15．如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，2AD DB =，若CD CA ⊥，2CD =，则•CD CB =__________．16．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC 面积的最大值为____________.三、解答题17．已知数列{}n a 满足：11a =，1121n n n a a a --=+（2n ≥）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}1+n n a a 的前n 项和为n T ，求证：12n T <. 18．为了解学生完成数学作业所需时间，某学校统计了高三年级学生每天完成数学作业的平均时间介于30分钟到90分钟之间，图5是统计结果的频率分布直方图.（1）数学教研组计划对作业完成较慢的20%的学生进行集中辅导，试求每天完成数学作业的平均时间为多少分钟以上的学生需要参加辅导？（2）现从高三年级学生中任选4人，记4人中每天完成数学作业的平均时间不超过50分钟的人数为X ，求X 的分布列和期望.19．如图，在三棱锥K −ABC 中，D,E,F 分别是KA,KB,KC 的中点，平面KBC ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，ΔKBC 是边长为2的正三角形，AC =3.（1）求证：BF ⊥平面KAC ；（2）求二面角F −BD −E 的余弦值.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，12,F F 是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上一点，12•PF PF 的最小值为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点2F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，圆E 是以1F为圆心椭圆C 的长轴长为半径的圆，过2F 且与l 垂直的直线与圆E 交于,P Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.21．设f(x)=xln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R.（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；（Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a 的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线l 的极坐标方程为：2sin()33πρθ+=，曲线C 的参数方程为：3cos 23sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（α为参数），其中[0,2)απ∈. （1）写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程；（2）若,A B 为曲线C 与直线l 的两交点，求AB .23．选修4-5：不等式选讲 设()231f x x x =-++.（1）求不等式()4f x x <+的解集；（2）若函数()()g x f x ax =+有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.参考答案1．A【解析】函数y =][()13+A =-∞-⋃∞，，，不等式202x x +≤-的解集为[)22B =-，，所以[]21A B ，⋂=--，故选A.2．C【解析】复数()()321i 1i +- 1i =--，对应点为()11--，，位于第三象限，故选C. 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi3．C【解析】由单调性及定义域得12x x -≤-<，解得13x <≤，故选C.4．C【解析】试题分析：双曲线方程变形为222221311,1222y x a b c c -=∴==∴=∴=焦点为⎫⎪⎪⎝⎭考点：双曲线方程及性质5．B【解析】23434C A 3643819P ===，故选B.6．C【解析】 问题等价于方程11x k x +=-在()2+∞，有解，而函数1y x x=+在()2+∞，上递增，值域为52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，所以k 的取值范围是72⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，故选C. 7．B【解析】 ()()πsin cos cos 1sin sin cos sin 2αβαβαβαα⎛⎫=+⇒-==- ⎪⎝⎭，即22παβ-=，故选B.8．C【解析】阴影部分面积为()()1222011d 1d x x x x ⎡⎤--+-⎣⎦⎰⎰，而222101|1|112x x x x x ，，，，⎧-≤≤-=⎨-<≤⎩ 故选C. 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．9．C【解析】2a x =代入椭圆方程得y =±()22232a c a c a a =⇒-=⇒= C. 10．B【解析】由不等式123n a a a a k ++++<得：判断的条件为S k <；输出的结果为1i -，故选B.11．C【解析】()ππ2sin 22sin236f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()π2sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ π2sin212x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，6124πππ--=- 故选C ． 12．C【解析】几何体ABCD 为图1中粗线所表示的图形，最长棱是AC ，AC =C ．点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．13．20【解析】61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为6216C r r r T x -+=，6203621r r r -=⇒=-=-；无解，所以展开式的常数项为36C 20=. 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.14．3-【解析】可行域如图,直线过点A(3,3)时取最小值3-点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15．6【解析】 由已知3122CB CD CA =-，·0CD CA =，231··622CD CB CD CD CA =-=.16【分析】先利用正弦定理将条件()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-中的角转化为边的关系，再利用余弦定理求解出角A 的值，再利用边a 的余弦定理和均值不等式求出bc 的最大值后即可求解出面积的最大值.【详解】因为()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，所以根据正弦定理得:(a b)()(c b)a b c +-=-， 化简可得:222b c a bc +-=， 即2221cos 22b c a A bc +-==，(A 为三角形内角) 解得:60A ︒=，又224b c bc bc +-=≥，(b =c 时等号成立)故1sin 2ABC S bc A ∆=≤【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题目，解题的关键有两点，首先是利用正余弦定理实现边角之间的互化，其次是利用余弦定理和均值不等式求出三角形边的乘积的最大值.17．（1）121n a n =-（2）见解析 【解析】 试题分析：（1）先将递推式变形11121112n n n n a a a a ---+==+，再根据等差数列定义得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩是以2为公差的等差数列，根据等差数列通项公式求出121nn a =-，即得数列{}n a 的通项公式；（2）因为111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪-+-+⎝⎭，所以利用裂项相消法求和得111221n T n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，即证得结论 试题解析：（Ⅰ）解：()()11111211122221n n n n n n n a a a n n a a a a -----+=≥⇒==+≥+， 所以1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩是以2为公差的等差数列，11111a a =⇒=， 所以121nn a =-， 所以数列{}n a 的通项公式为121n a n =-. （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪-+-+⎝⎭， 11112212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭. 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或1(2)n n +. 18．（1）65（2）0.8EX =【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图知70-90有10%，60-70有20%，所以65分钟以上的同学需要参加辅导（2）由题意得()~40.2X B ，，根据二项分布公式可得分布列及数学期望 试题解析：（Ⅰ）设每天完成作业所需时间为x 分钟以上的同学需要参加辅导，则()()700.0290700.0050.2x -⨯+-⨯=，得65x =（分钟）， 所以，每天完成数学作业的平均时间为65分钟以上的同学需要参加辅导.（Ⅱ）把统计的频率作为概率，则选出的每个学生完成作业的时间不超过50分钟的概率为0.2()~40.2X B ，，， ()()44C ?0.2?0.801234k k k P X k k -===，，，，， 0.8EX =.19．（1）见解析（2）34【解析】试题分析：（1）利用空间向量，通过计算进行证明：先建立空间直角坐标系，设各点坐标，表示BF ⃑⃑⃑⃑⃑ ，以及平面KAC 中两相交直线CK ⃑⃑⃑⃑⃑ ，CA⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用向量数量积计算证明BF ⊥CK ，BF ⊥CA ，最后根据线面垂直判定定理得结论（2）利用方程组求出各面法向量，利用向量数量积求向量夹角余弦值，最后根据二面角与向量夹角关系确定二面角余弦值试题解析：（Ⅰ）证明：如图，建立空间直角坐标系，则K(1， 0， √3)，BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−32， 0， √32)， CK ⃑⃑⃑⃑⃑ = (1，0，√3)，CA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0，−3，0)， BF⃑⃑⃑⃑⃑ ·CK ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，BF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥CK ⃑⃑⃑⃑⃑ 得BF ⊥CK ， BF ⃑⃑⃑⃑⃑ ·CA ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，BF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥CA ⃑⃑⃑⃑⃑ 得BF ⊥CA ， CA ，CK 是平面KAC 内的两条相交直线，所以BF ⊥平面KAC.（Ⅱ）解：平面BDF 的一个法向量m ⃑⃑ =(1， 0， √3)，平面BDE （即平面ABK ）的一个法向量为n ⃑ =(3 ， −2 ， √3) ，cos〈m ⃑⃑ ， n ⃑ 〉=34， 所以二面角F −BD −E 的余弦值为34. 20．（1）22143x y +=（2）[12 【解析】试题分析：（1）由向量数量积得12·PF PF 的最小值为22b c -，结合离心率解方程组可得2243a b ，==，（2）四边形MPNQ 的面积12S MN PQ =，利用垂径定理可求圆中弦长PQ ，利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理，根据弦长公式可得MN ，最后根据面积函数关系式求值域试题解析：（Ⅰ）已知12c a =，12·PF PF 的最小值为222b c -=， 又222a b c =+, 解得2243a b ，==，所以椭圆方程为22143x y +=． （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为()()()()112210,y k x k M x y N x y =-≠，，，. 由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=．则221212228412+4343k k x x x x k k -==++，.所以()212212143k MN x k +=-=+．过点()210F ，且与l 垂直的直线()11m y x k =--：，1F 到m，所以PQ == 故四边形MPNQ的面积12S MN PQ == 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12． 当l 与x 轴垂直时，其方程为138x MN PQ ===，，，四边形MPNQ 的面积为12． 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12⎡⎣． 21．（Ⅰ）当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞，当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a （），单调递减区间为1,2a +∞（）； （Ⅱ）12a > 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出()g x '，然后讨论当0a ≤时，当0a >时的两种情况即得. （Ⅱ）分以下情况讨论：①当0a ≤时，②当102a <<时，③当12a =时，④当12a >时，综合即得.试题解析：（Ⅰ）由()ln 22,f x x ax a =-+'可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞，则()1122ax g x a x x='-=-， 当0a ≤时，()0,x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当0a >时，10,2x a∈（）时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 1,2x a∈+∞（）时，()0g x '<，函数()g x 单调递减.所以当0a ≤时，()g x 单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a （），单调递减区间为1,2a+∞（）. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()10f '=. ①当0a ≤时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减.当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意.②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()f x '在10,2a（）内单调递增， 可得当当()0,1x ∈时，()0f x '<，11,2x a∈（）时，()0f x '>， 所以()f x 在(0,1)内单调递减，在11,2a （）内单调递增， 所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意.③当12a =时，即112a=时，()f x '在(0,1)内单调递增，在 ()1,+∞内单调递减， 所以当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， ()f x 单调递减，不合题意.④当12a >时，即1012a << ，当1,12x a∈（）时，()0f x '>，()f x 单调递增, 当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.综上可知，实数a 的取值范围为12a >. 【考点】应用导数研究函数的单调性、极值,分类讨论思想【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力及分类讨论思想等.22．（130y +-=,22((2)9x y ++-=；（2）||AB =．【解析】试题分析：（1）利用参数方程化普通方程的公式转化，（2）利用圆中特有的垂径定理，得圆心到线的距离，再求弦长；（Ⅰ）∵π2sin33ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴sin cos3ρθθ+=，直线l的直角坐标方程：30y+-=．曲线C：323x cosy sinαα⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，(α为参数)，消去参数可得曲线C的普通方程为：(()2229x y++-=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，(()2229x y++-=的圆心为D(2)，半径为3．设AB中点为M，连接DM，DA，圆心到直线l的距离32322d-+-==，所以2DM=，又因为3DA=，所以MA=，所以AB=23．（1）（0，3）；（2）533a-<<-．【解析】试题分析：（1）利用零点分区间的方法，去掉绝对值，分段求解；（2）利用数形结合，将函数零点问题转化为图像交点问题；（Ⅰ）分段讨论得不等式解集为（0，3）．（Ⅱ）利用图象可得533a-<<-。