一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E 是A B ''的中点，则E 到平面ABC D ''的距离是（ ）A.2 B.2 C.12D. 3 2.已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则0(1)(1)lim3x f x f x x→--+=（ ）A ．3B ．23-C ． 13D ．32-3.点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是（ ）A.1B.C.2D. 4.设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''+>，且(3)0g =。

则不等式()()0f x g x ⋅<的解集是（ ） A.(3,0)(3,)-+∞ B. (3,0)(0,3)- C. (,3)(3,)-∞-+∞ D.(,3)(0,3)-∞-5.数列2,5,11,20,,47,x 中的x 等于（ ）A ．28B ．32C ．33D ．276.函数3()63f x x kx k =-+在区间(0,1)内有最小值，则实数k 的取值范围是( )A ．102k <<B ．0k <C ．12k >D ． 12k >或0k <7.已知函数y =的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为 ( )A ．14 B ． 12C ．2D ．28.函数2cos 2y x x =-在下列哪个区间上是增函数（ ）A ．3(,)22ππB ．(,2)ππC ．54(,)63ππ D ．5(,)1212ππ9.如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹簧限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为（ ）A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.18J10.正方体ABCD A B C D''''-中，E、F、G分别是,,DD DB DC'的中点，则EF与C G'所成角的余弦值是A．．14C11.平行六面体ABCD A B C D''''-中，4,3,5,90,60AB AD AA BAD BAA DAA'''===∠=∠=∠=,则AC'=（）A．85 B．．50与（）A=>．无法判断二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分。

）13.已知函数23()23(0,1,)nf x x x x nx x x n N*=++++≠≠∈，则(2)f=；（化简）14.已知0,0x y>>，且21x y+=，则11x y+的最小值是；15.31lim()nniin n→∞=⋅=∑；16.若函数32()25f x x ax x=+-+在区间11(,)32上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，则实数a的取值范围是。

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）17.（本题12分）求由曲线22y x=+与3,0y x x==所围成的平面图形的面积（画出图形）。

18.（本题12分）如图所示，在四棱锥ABCDP-中，底面ABCD且⊥PD 底面ABCD ，PD DC =，,E F 分别为,AB PB 的中点. （1）求证：EF CD ⊥;（2）求DB 与平面DEF 所成角的正弦值。

19.（本题12分）如图所示，正三棱柱ABC A B C '''-中，底面边长为a。

（1）求二面角A AB C '''--大小的余弦值；（2）在棱上A C ''上确定一点D ，使//BC '平面DAB '，说明理由。

20.（本题12分）已知函数()ln(1)1xf x x x =+-+。

（1）求()f x 的单调区间；（2）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （3）求证：对任意的正数a 与b ，恒有ln ln 1b a b a-≥-。

CABA 'B 'C '21.（本题12分）统计表明，某种型号的汽车行驶中每小时耗油量y （升）关于行使速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x =-+<≤。

已知甲乙两地相距100千米。

（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少？22.（本题14分）设数列{}n a 满足211,1,2,3,n n n a a na n +=-+=。

（1）当12a =时，求234,,a a a ，并由此猜想出{}n a 的一个通项公式； （2）当13a ≥时，证明对所有1n ≥，有 ①2n a n ≥+ ②1211111112n a a a +++≤+++参 考 答 案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

） 13、2(23)23nn n -+- 14、3+、14 16、55(,)42三、解答题（本大题共6小题，共74分）17、12221(23)(32)1S x x dx x x dx =+-+--=⎰⎰18、（1）略；（2）619、（1）10；（2）D 为11A C 的中点 20、（1）单调增区间(0,)+∞，单调减区间(1,0)- （2）切线方程为44ln 230x y -+-= （3）所证不等式等价为ln 10a bb a+-≥ 而1()ln(1)11f x x x =++-+，设1t x =+，则1()ln 1F t t t=+-，由（1）结论可知， ()F t 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，由此，min ()(1)0F t F ==，所以，()(1)0F t F ≥=,即1()ln 10F t t t =+-≥，记at b=代入得证。

21、（1）当40x =时，汽车从甲地到乙地行使了1002.540=小时， 要耗油313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升 （2）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行使了100x小时，设耗油量为()h x 升，依题意得32131001800158)(0120)1280008012804()(x x x x x h x x -+⨯=-<≤=+，3322180080(0120)640640()h x x x x x x'--=<≤=，令()0h x '=，得80x = 当(0,80)x ∈时，()0h x '<，()h x 是减函数； 当(80,120)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数 所以，当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25h =因为，()h x 在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值。

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。

22、（1）由12a =，得221113a a a =-+=由23a =，得2322214a a a =-+=由34a =，得2433315a a a =-+=，由此，猜想{}n a 的一个通项公式：1(1)n a n n =+≥（2） ①用数学归纳法证明：（ⅰ）当1n =时，1312a ==+，不等式成立； （ⅱ）假设当n k =时，不等式成立，即2k a k ≥+，那么1()1(2)(22)13k k k a a a k k k k +=-+≥++-+≥+，也就是说，当1n k =+时，1(1)2k a k +≥++ 综合（ⅰ）、（ⅱ），对于所有1n ≥，有2n a n ≥+ ②由1()1n n n a a a n +=-+及①，对2k ≥，有1111(1)1(121)121k k k k k a a a k a k k a ----=-++≥-+-++=+，…， 1211122212(1)1k k k k a a a ---∴≥++++=+-，于是11111,2112k k k a a -≤⋅≥++ 112112111111111111221111112121132n n k k k k n a a a a a a a --==∴+++≤+=≤≤=++++++++∑∑。