第十二章无穷级数测试卷 一、填空题： 1． 若数项级数
∑∞
=1n n
u
收敛，则n n u ∞
→lim = .
2． 若数项级数∑∞
=1n n u 的通项满足1.11
||n u n ≤,则∑∞
=1
n n u 是 级数.
3． 若数项级数
∑∞
=1n n
q
,当 |q | 时收敛，当 |q | 时发散.
4. 若幂级数
n
n n
y a
∑∞
=0
的收敛区间为(-9,9)，则幂级数n n n x a 20
)3(-∑∞
=的收敛区间
为 . 5．级数
∑∞
=---1
1
1
2
1)1(n n n 的部分和n S = ，此级数的和为 .
6．已知级数612
1
2π=∑∞
=n n ，则级数∑∞
=-12
)12(1n n 的和等于 . 7．幂级数∑∞
=--+11
2)
3(2n n
n n nx 的收敛半径R= . 8．函数)3ln()(x x f +=在0=x 点展开的幂级数为 .
9．函数)()(2
πππππx x x x f -+=的傅里叶级数为
()∑∞
=++1
sin cos 2n n n nx b nx a a ，则系数=3b .
10．周期为2的函数)(x f ，设它在一个周期[)1,1-上的表达式为||)(x x f =，且它的傅里叶级数的和函数为)(x S ，则=-)5(S . 二、单项选择题：
1．当条件（ ）成立时，级数
∑∞
=+1
)(n n n
v u
一定发散.
A ．
∑∞
=1n n
u
发散且
∑∞
=1
n n
v
收敛； B.
∑∞
=1n n
u
发散；
C.
∑∞
=1
n n
v
发散； D.
∑∞
=1
n n
u
和
∑∞
=1
n n
v
都发散.
2.若两个正项级数
∑∞
=1
n n
u
、
∑∞
=1
n n
v
满足),2,1(Λ=≤n v u n n 则结论（ ）是正确的.
A.
∑∞
=1n n
u
发散,则
∑∞
=1n n
v
发散； B 。

∑∞
=1n n
u
收敛,则
∑∞
=1n n
v
收敛；
C ．
∑∞
=1
n n
u
发散,则
∑∞
=1
n n
v
收敛； D 。

∑∞
=1
n n
u
收敛,则
∑∞
=1
n n
v
发散.
3．
n n n x x )1(3
1
2101+=-∑∞
=+在区间（ ）上成立. A.(-1,1); B.(-3,3); C.(-2,4); D.(-4,2) . 4．若级数
∑∞
=1
2n n a 收敛, 则∑
∞
=1n n
n
a （ ） (A) 绝对收敛 (B)条件收敛 (C) 发散 (D)收敛性不定 5．下列级数中，条件收敛的是( C )
(A)
∑
∞
=--1n n 1
n )32()
1( (B)
∑∞
=-+-1
2
1
2
)1(n n n n
(C)
∑∞
=--1
n 3
1
n n
1
)
1( ( D)
∑∞
=--1
n 3
1
n n
51)
1(
6．设)11ln()1(n
u n
n +
-=, 则（ ）.
A ．
∑∞
=1n n
u
与
∑∞
=1
2n n
u
都收敛； B ．
∑∞
=1n n
u
与
∑∞
=1
2n n
u
都发散；
C ．
∑∞
=1
n n
u
收敛，
∑∞
=1
2n n
u
发散； D ．
∑∞
=1
n n
u
发散，
∑∞
=1
2n n
u
收敛 .
7．设),2,1(0Λφ=n u n 且
∑∞
=1n n u 收敛，常数)2,0(π
λ∈，则级数∑∞
=-1
2)tan ()1(n n n u n n λ
为（ ）.
A ．绝对收敛；
B ．收敛性与λ有关
C ．条件收敛；
D ．发散 . 8．级数
∑∞
=--1
)cos 1()1(n n n λ
（常数0φλ）（ ）. A ．发散； B ．条件收敛 C ．绝对收敛； D ．收敛性与λ有关 .
9．若级数
∑∞
=---1
1
)()
1(n n
n n
a x 在0>x 处发散,在0=x 处收敛，则常数=a （ ）. A ．-1 ； B ．1 ； C ．2 ； D ．-2 .
10. 若)(x f 是以π2为周期的连续奇函数，则)(x f 的傅里叶系数计算公式是（ ）.
A. ),2,1(sin )(1
),,2,1,0(00
ΛΛ====⎰
n xdx x f b n a n n π
π
;
B. ),2,1(0),,2,1,0(cos )(1
ΛΛ====
⎰
n b n nxdx x f a n n π
π;
C. ),2,1(sin )(2
),,2,1,0(00
ΛΛ====⎰
n nxdx x f b n a n n π
π ;
D. ),2,1(0),,2,1,0(cos )(2
ΛΛ====
⎰
n b n nxdx x f a n n π
π
.
三、利用定义判定级数
∑∞
=++-+1
)122(
n n n n 的收敛性.
四、判定级数
∑∞
=-1
)sin (
n n
n π
π
的收敛性. 五、判定级数∑∞
=-+1
3])1(2[n n
n n n 的收敛性.
六、设⎰
=
4
tan π
xdx a n
n ，求∑∞
=++12)(1
n n n a a n
的值.
七、设级数
∑∞
=1
n n
a
、
∑∞
=1
n n
b
都收敛且),2,1(Λ=≤≤n b c a n n n ,求证：级数
∑∞
=1
n n
c
收敛.
八、求幂级数1
21
)2(3-∞
=∑-+n n n n x n 的收敛域. 九、求幂级数
1
2)
1(1
211
---∞
=-∑n x n n n 的收敛域及和函数. 十、设)(,!
)(12∞≤≤-∞=∑∞
=x n x x f n n
不求和函数，试将⎰x dt t tf 0
)(积分用)(x f 表示出来. 十一、设正项数列}{n a 单调减少且
∑∞
=-1
)1(n n n
a 发散，试问∑∞
=+1)11(
n n
n a 是否收敛说明理 十二、证明2
)(x x f =在],[ππ-上能展开成傅里叶级数∑∞
=-+=
12
2
2
cos )1(43
n n
n
nx
x π
并由此结果求下列级数的和：
（1）∑∞
=
+ -
1
2
1
1
)1
(
n n
n
；（2）∑∞
=1
2
1
n
n
.。