第十二章 数项级数习题课 一 概念叙述 1．∑∞=1n nu收敛于S ⇔部分和数列{}n S 收敛于S ⇔S S n n =∞→lim2．nu ∑收敛的柯西准则⇔0,0,,,N m n N ∀ε>∃>∀>有12m m n u u u +++++<ε．3．nu∑发散的柯西准则⇔0ε∃ N ∀，0()m N ∃>，0p ∃，有0210000ε≥++++++p m m m u u u 二 疑难解析与注意事项1．有人说，既然一个级数是无限多个数“相加”的结果，而数的加法满足交换律和结合律，所以在一个级数中，可以任意交换项的次序，也可以任意加括号．这种说法对吗？答：不对．一个收敛级数，适当改变项的次序以后，可能得到一个发散级数；即使得到的仍收敛级数，其和也可能与原级数的不同．这就是无限项相加与有限项相加的质的不同．（条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于原来的和数；条件收敛的级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的任何数．）当然，如果仅仅交换一个级数的有限项的次序，则级数的敛散性不变．（去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性；级数的敛散性与级数的有限个项无关，但当收敛时其和可能是要改变的．）如果一个级数是正项级数或是绝对收敛的级数，则可以任意改变一个级数的项的次序，其收敛性不变，且和也不变．（绝对收敛的级数任意重排后所得到的级数也绝对收敛亦有相同的和数.） 类似地，一个收敛级数可以任意加括号，加括号后的级数与原来的级数有相同的收敛性与相同的和；（在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和．） 但一个发散级数，经适当添加无限个括号后，可能变成一个收敛级数．有一种特殊情形，如果添加括号后，每个括号中的项都保持同一正，负号，则所得级数与原级数同收敛，且和（如有的话）也不变．2.级数n u ∑，n v ∑，()n n u v +∑的敛散性有何联系？答：1）若n u ∑与n v ∑都收敛，则()n n u v +∑收敛，且()n n n n u v u v +=+∑∑∑；2）若n u ∑与n v ∑中有一个收敛有一个发散，则()n n u v +∑发散； 3）若n u ∑与n v ∑都发散，则()n n u v +∑可能收敛可能发散． 例如，11,n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑都发散，但110n n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑收敛，11,n n ∑∑都发散，但112n n n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑∑发散．3.设级数n u ∑，n v ∑都是发散级数，则()n n u v ∑发散吗？ 答：不一定，()n n u v ∑可能收敛，可能发散． 例如，11,n n ∑∑都发散，但2111n n n ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭∑∑收敛．,n n ∑∑都发散，()2n n n⋅=∑∑也发散．4．若加括号后的级数收敛，加括号前的级数收敛吗？答：从级数加括号后的收敛，不能推断它在未加括号前也收敛，例如+-++-+-)11()11()11(0000=++++=收敛，而级数+-+-1111是发散的．但级数加括号后发散，则原级数一定发散. 5．级数nu∑收敛，与0lim =∞→n n u 有什么关系？答：nu∑收敛0lim =∞→n n u ，但lim 0n n n u u →∞≠⇒∑发散．6．若级数nu∑对每个固定的p 满足条件()1lim 0n n p n u u ++→∞++=，则级数nu∑一定收敛吗？答：不一定，这里说法与柯西准则有本质的不同，这里是对固定的p ，可找到与任给正数ε有关的N （这里一般与p 还有关），使得当n N >，有12n n n p u u u ++++++<ε，而nu∑收敛的柯西准则⇔0,0,,0,N n N p ∀ε>∃>∀>∀>有12n n n p u u u ++++++<ε．例如，级数1n ∑，对每个固定的p ，都有111111lim lim lim lim01212n nn n n n n p n n n p→∞→∞→∞→∞⎛⎫+++=+++=⎪++++++⎝⎭，但级数1n ∑发散.7．1)若nb ∑和nc∑都收敛，且n n n b a c ≤≤，则na ∑收敛吗？ 2)若n b ∑和n c∑都发散，且n n n b a c ≤≤，则na∑发散吗？ 答：1) 若nb ∑和nc∑都收敛，且n n n b a c ≤≤，则na∑收敛.由n n n b a c ≤≤得0n n n n a b c b ≤-≤-，而()nn cb -∑收敛，由比较原则得()n n a b -∑，因此na∑收敛.（注意比较原则适用于正项级数，不能直接由nc∑收敛得na∑收敛）2）不一定，例如1nb n ⎛⎫=-⎪⎝⎭∑∑，1n c n =∑∑，0na =，na∑收敛，假如还有条件0n b ≥，则na∑发散，这由比较原则得到.8．设∑n u 为正项级数，且11n nu u +<，则级数∑nu收敛吗？答：不一定，例如∑n 1满足111111n n u nn u n n++==<+，但∑n 1发散，因此一定要强调11n nu q u +≤<． 9．如何判断正项级数的敛散性？答：1）先判断n u ∑的通项n u 的极限是否为0，若lim 0n n u →∞≠，则n u ∑发散，若lim 0n n u →∞=，则需继续判断；2）根据通项特点选取合适的方法判断正项级数的敛散性： 若通项很容易找等价无穷小量就用比较原则的极限形式；若通项含有阶乘连乘n 次幂等因子时用比式判别法的极限形式； 若通项含有n 次幂因子时用根式判别法的极限形式； 若通项非负单调用积分判别法.若上述方法失效用比较原则（例如含sin n 等容易放缩成已知收敛的级数）或级数收敛的定义（易求部分和）.10．1)交错级数一定收敛吗？ 2) 若) ( , 0 , 0∞→→>n u u n n . 交错级数∑∞=+-11)1(n n n u 是否必收敛 ?答：1)不一定，交错级数只有满足了莱布尼兹判别法的条件才收敛. 例如，()1n n -∑为交错级数，但通项极限不为0，因此()1nn -∑发散.2) 不一定，考查交错级数 +-++-+-+-2221131********nn . 这是交错级数 , 有) ( , 0 ∞→→n u n . 但该级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-1211n n n发散 . 11．n u ∑收敛与n u ∑收敛，n u ∑发散与n u ∑发散有什么关系？ 答：n u ∑收敛nu∑收敛，n u ∑发散nu∑发散，但若用正项级数的比式判别法或根式判别法判断n u ∑发散，则n u ∑一定发散.因为当用比式判别法判断n u ∑发散时，条件1111n n n n nu u u u u u ++≥⇒≥≥≥⇒0⇒nu 0，于是n u ∑发散；当用根式判 别法判断n u ∑发散时，条件11n n n nu u u ≥⇒≥⇒0⇒nu 0于是n u ∑发散.12．1）n u ∑绝对收敛，n v ∑绝对收敛，则()n n u v +∑是绝对收敛还是条件收敛？2）n u ∑条件收敛，n v ∑绝对收敛，则()n n u v +∑是绝对收敛还是条件收敛？ 3）n u ∑条件收敛，n v ∑条件收敛，则()n n u v +∑是绝对收敛还是条件收敛？ 答：1）是绝对收敛，因为n u ∑绝对收敛（n u ∑收敛），n v ∑绝对收敛（n v ∑收敛），n n n n u v u v +≤+，且n n u v +∑收敛，因此n n u v +∑收敛，即()n n u v +∑绝对收敛.2）是条件收敛，反证法，设()n n u v +∑绝对收敛，因为n u ∑绝对收敛，则n v ∑绝对收敛，矛盾.3）收敛，但可能绝对收敛可能条件收敛.例n u ∑条件收敛，()2n n n u u u +=∑∑条件收敛；n u ∑条件收敛，()n u -∑条件收敛，但()0n n u u +-=⎡⎤⎣⎦∑是绝对收敛的.13．判断一般项级数n u ∑敛散性的步骤：答：1)先判断通项的极限是否为0，若通项的极限不为0，则n u ∑发散，若通项极限为0，则需继续判断；2）判断n u ∑的收敛性（用正项级数判别法判断）若n u ∑收敛，则n u ∑绝对收敛，若n u ∑发散，如果是用比式判别法或根式判别法判断n u ∑发散，则n u ∑发散，若不是用比式判别法且不是用根式判别法判断n u ∑发散，则需要继续判断；3）若n u ∑是交错级数，用莱布尼兹判别法，如用莱布尼兹判别法判断交错级数n u ∑收敛，则n u ∑条件收敛，若n u ∑的通项可分解成两个数列的乘积，用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法，若判断n u ∑收敛，则n u ∑条件收敛.14．对于一般项级数n u ∑，n v ∑，如果lim 0nn nu l v →∞=≠，能否推出n u ∑与n v ∑具有相同的敛散性.答：不能，例如1n-11n n ⎡⎤-+⎥⎥⎦∑，前者收敛，后者发散，但却有1lim11nn →∞-=-.注意：正项级数与一般级数的性质有很大的差异，对正项级数成立的结论对一般级数不一定成立.读者在学习时，一定要分清那些是关于正项级数的结论，那些是关于一般项级数的结论，注意不要把仅对正项级数成立的结论随意套用到一般级数上来.15.因为1)1()1()1(lim=-+--∞→nn nn n n 1(1)+-n )(∞→n 则∑∞=-1)1(n n n 和∑∞=-+-1)1()1(n nnn 同时敛散，对吗？答：不对，比较判别法的极限形式只能用于正项级数，对变号级数不能使用. 第一个级 数是交错级数，满足莱布尼兹判别法的条件，因此收敛.第二个级数虽然是交错级数，并且它的通项与第一个级数的通项是等价无穷小量，但并不满足通项绝对值单调的条件，因此不能用莱布尼兹判别法.为了研究第二个级数的敛散性，把两个级数通项之差构成第三个级数：2nn c ∞=∑，其中1~n n n c n ==，由此可见第二个级数发散. 16.设∑∞=1n nu为收敛的正项级数, 能否存在一个正数0>ε, 使得:01lim1>=+∞→C n u nn ε? 答：不一定. 如∑∞=12ln 1n n n 收敛, 而+∞==∞→+∞→n n n n n n n 212ln lim 1ln 1lim εε. 17．若1nn u∞=∑为正项级数，判断下列语句是否正确，并说明理由.1)若lim 0n n nu →∞=，则级数1nn u∞=∑收敛吗？2)若存在非零常数λ，使得lim n n nu λ→∞=，级数1nn u∞=∑收敛性如何？3)设级数1nn u∞=∑收敛，能否推出21nn u∞=∑收敛，反之又如何？答：1）不一定：例如级数1n n u ∞=∑若为11ln n n n ∞=∑，则满足所给条件，但是发散. 2）正确：由于lim n n nu λ→∞=可写成lim 1n n u nλ→∞=，由比较法可知级数1n n u ∞=∑与11n n∞=∑具有同敛散性，即发散. 3）正确：由级数1nn u∞=∑收敛可知0()n u n →→∞.故存在0n ，当0n n >时有1n u <，从而0n n >之后恒有2n n u u <，故由级数1nn u∞=∑收敛，知21nn u∞=∑也收敛. 但反之不一定，例如，取1n u n =，则21n n u ∞=∑发散，但是1n n u ∞=∑收敛.注：要掌握常见级数，例如11p n n ∞=∑、11ln n n n ∞=∑等级数的敛散性.18. 设级数1nn u∞=∑收敛，能否推出21nn u∞=∑收敛？答： 不能，例如取()1nn u =-，()11nn ∞=-∑收敛，但11n n∞=∑发散. 三 重点习题1．几个常用级数的收敛性 1）等比级数（几何级数）∑∞=-11n n aq ：当1<q 时，级数收敛于qas -=1；当1≥q 时，级数发散． 2）．-p 级数∑∞=11n pn：当1>p 级数收敛；1p ≤级数发散．∑∞1n ln1＝nn p，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散3）．交错-p 级数∑∞=--11)1(n pn n ：当1>p 级数绝对收敛；10≤<p 级数条件收敛；0p ≤级数发散． 4）1sin pn nxn ∞=∑：当1>p 级数绝对收敛；10≤<p 级数条件收敛；0p ≤级数发散． 2.讨论下列级数的敛散性：（1）1;21n n n ∞=-∑（2）12sin ;3n n n π∞=∑ （3）1!3;n n n n n ∞=∑ （4）12(1);1(3)nn n n∞=+-+∑ （5）ln 21;3n n ∞=∑ （6）ln 21;n n n ∞=∑（7）ln 21;(ln )n n n ∞=∑ （8）21(ln )nn n ∞=∑． 解：（1）（拿到级数先判断级数的通项是否为0）因为22lim 0323n n n →∞=≠+，则121n n n ∞=-∑发散． （2）(通项易找等价无穷小量用比较原则的极限形式) 因为22sin33n n nππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而123nn π∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛（等比级数的公比213<）． （3）（含有阶乘用比式判别法）因为()()111!3133limlim 1!311n n n n n n nn n e n n n ++→∞→∞++==≥⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则1!3nn n n n∞=∑发散．（4）（含有n 次幂用根式判别法）因为113n =<，则12(1)1(3)n n n n ∞=+-+∑收敛．(5) 因为()ln ln3ln ln3ln ln3ln ln33nnn n e e e n ====则ln ln 322113n n n n ∞∞===∑∑，因为ln31>，则ln ln 322113n n n n∞∞===∑∑收敛． （6）因为ln 2n >（2n e >），则ln 211n n n <，因为221n n ∞=∑收敛，则ln 21n n n∞=∑收敛．（7）()ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 2ln nnnn n nn n neeen n ====>（n 充分大）则ln 211(ln )n n n <，因为221n n ∞=∑收敛，则ln 21(ln )nn n ∞=∑收敛． （8）因为ln 2n >（2n e >），则11(ln )2n nn <，因为212n n ∞=∑收敛， 则21(ln )nn n ∞=∑收敛． 3．判断下列级数的敛散性．若收敛，指出绝对收敛或条件收敛．1) 112(1)sin n n n ∞-=-∑； 2）()1ln 1nn n n ∞=-∑；3）nn n xn ∑∞=1)(!．证 1）先对通项加绝对值，判断12sinn n ∞=∑（当n 充分大，有202n π<<，且级数与前面有限项无关）的敛散性．因为22sinn n ，而12n n ∞=∑发散，则12sin n n ∞=∑发散．再判断通项不加绝对值的敛散性． 因为112(1)sin n n n ∞-=-∑为交错级数，且2sin n 递减（2n 递减，当n 充分大，有202n π<<，sin u 递增，则复合之后2sin n 递减）且2limsin 0n n →∞=，由莱布尼兹判别法知112(1)sin n n n ∞-=-∑收敛，综上112(1)sin n n n∞-=-∑条件收敛．2）先对通项加绝对值，判断1ln n nn∞=∑的敛散性．因为()ln 1n n e n n >>，且11n n ∞=∑发散，则1ln n n n ∞=∑发散． 再判断通项不加绝对值的敛散性． 因为()1ln 1nn nn∞=-∑为交错级数，令()ln x f x x =，则()()21ln 0x f x x e x -'=<>，即ln n n 递减且ln lim 0n nn→∞=，由莱布尼兹判别法知()1ln 1nn nn∞=-∑收敛，综上()1ln 1nn nn∞=-∑条件收敛． 3）先对通项加绝对值，判断1!()nn xn n ∞=∑的敛散性，因为()11!()1limlim 1!()1n n n n n x n x x n x e n n n +→∞→∞++==⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 当x e <时1!()nn xn n ∞=∑收敛，nn n xn ∑∞=1)(!绝对收敛，当x e >时1!()nn xn n ∞=∑发散，因为是用比式判别法判断的，则nn n xn ∑∞=1)(!发散，当x e =时，()11!()111!()1n nn x n x n x n n n +++=≥⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则1!()nn xn n ∞=∑发散，因为是用比式判别法判断的，则nn n x n ∑∞=1)(!发散（因为11n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调增加收敛于e ，则e 为11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的上界）．注：当x e =，()11!()1limlim 11!()1n n n n n x n x x n x e n n n +→∞→∞++===⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时不好用比式判别法的极限判断，则我们用比式判别法判断．4. 证明:若数列}{n b 有∞=∞→n n b lim , 则(1) 级数∑∞=+-11)(n n n b b发散;(2) 当0≠n b 时,1111)11(b b b n n n =-∑∞=+. 证明: (1) 级数∑∞=+-11)(n n n b b的部分和1111)(b b b b S n nk k k n -=-=+=+∑,而 ∞=-=+∞→∞→)(lim lim 11b b S n n n n , 故级数∑∞=+-11)(n n n b b发散.(2) 级数∑∞=+-11)11(n n n b b 的部分和111111)11(+=+-=-=∑n nk k k n b b b b S ,故 1111)11(lim lim b b b S n n n n =-=+∞→∞→∑∞=+-=11)11(n n n b b . 5． 设),2,1(0 =≥n u n ，证明：如果级数∑∞=1n n u 收敛，则级数∑∞=12n nu与级数∑∞=1n n nu都收敛．证 1）先证∑∞=12n n u 收敛：因级数∑∞=1n n u 收敛，则lim 0→∞=n n u ，故当n 充分大时，1<n u ，因而n n u u ≤2，由比较判别法知级数∑∞=12n n u 收敛．2）证∑∞=1n n nu 收敛：因)1(212n nu n n u +≤，且∑∞=121n n 和∑∞=1n n u 均收敛，所以由比较判别法知级数∑∞=1n n nu 收敛．6． 应用级数理论证明极限： （1） 0)13(852!lim=-⋅⋅∞→n n n ；（2）0!lim =∞→n n nn .分析 如果级数∑∞=1n n u 收敛，则0lim =∞→n n u ，这个结果称为级数收敛的必要条件．把数列的通项看成某级数的通项，而对此级数的收敛性的判别又较容易，则由级数收敛的必要条件，立即得出数列的极限．证 （1）考虑级数∑∞=1n n u ，)13(852!-⋅⋅=n n u n ， 由于131!)13(852)23)(13(852)!1(lim lim1<=-⋅⋅⋅+-⋅⋅+=∞→+∞→n n n n n u u n nn n ，所以级数∑∞=1n n u 收敛，由级数收敛的必要条件知0)13(852!limlim =-⋅⋅=∞→∞→n n u n n n ．（2）考虑级数∑∞=1!n n nn ，由于 ()()11!111limlim1!11+→∞→∞++==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭n nn n nn n n en n 所以级数∑∞=1!n n nn 收敛，由级数收敛的必要条件即知 0!lim =∞→n n n n ． 7．证明：若∑∞=--11||n n na a收敛，则}{n a 收敛．分析 这是一个抽象的数列和级数，且条件类型相当于知道相邻两项的估计，由此可得任意两项差的估计，故考虑用Cauchy 收敛准则．证明：由于∑∞=--11||n n na a收敛，则由Cauchy 收敛准则，对0，存在N ，当n N>时，对任意的正整数p ，成立11||||nn npnp a a a a ，因而，11||||||npn nn npnp a a a a a a ，再次用数列收敛的Cauchy 收敛准则得：}{n a 收敛．8．设∑∞=1n na收敛且0lim =+∞→n n na ，证明：∑∞=+=-11)(n n na an ∑∞=1n n a ．证明：记∑∞=+-11)(n n na an 的部分和为n S ，则11111)1(++=+=+-=-=∑∑n n k k n nk kn a n a na aS取极限即可得到结论．注．从证明过程中发现，除去定量关系，上述结论的逆也成立，即在条件lim 0n n nu →+∞=下若11()nn n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 也收敛．同样，在11()nn n n u u ，1n n u ∞=∑都收敛的条件下，{}n nu 也收敛．9. 判断∑∞=++++-1)]!1!21!111([n n e 敛散性． 解 利用函数泰勒展开1111 011!2!!(1)!e e n n ξξ=+++++<<+， 故， 1110(1)1!2!!(1)!e e n n ，因而，该级数收敛．。