2019-2020学年广东省惠州市惠城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共10小瓜，每小题3分，共30分）1．（3分）使二次根式31x +有意义的x 的取值范围是( ) A ．13x >B ．13x -C ．3xD ．3x -2．（3分）已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是( ) A ．平均数是4B ．众数是3C ．中位数是5D ．方差是3.23．（3分）下列各组数据不是勾股数的是( ) A ．2，3，4B ．3，4，5C ．5，12，13D ．6，8，104．（3分）下列各式计算错误的是( ) A ．43333-= B ．236⨯= C ．(32)(32)5+-=D ．1823÷=5．（3分）下列条件中，菱形具有而矩形不具有的是( ) A ．对边相等 B ．对角线互相平分 C ．对角线相等D ．对角线互相垂直6．（3分）下列函数中不经过第四象限的是( ) A ．y x =-B ．21y x =-C ．1y x =--D ．1y x =+7．（3分）校园内有两棵树，相距8米，一棵树高为13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞( ) A ．10米B ．11米C ．12米D ．13米8．（3分）直角三角形两条直角边长分别是5和12，则第三边上的中线长为( ) A ．5B ．6C ．6.5D ．129．（3分）一次函数1y mx n =+与2y x a =-+的图象如图所示，则mx n x a +<-+的解集为()A ．3x >B ．1x <C ．3x <D ．03x <<10．（3分）如图，一次函数4y x =+的图象分别与x 轴、y 铀交于A ，B 两点，过原点O 作1OA 垂直于直线AB 交AB 于点1A ，过点1A 作11A B 垂直于x 轴交x 轴于点1B ，过点1B 作12B A 垂直于直线AB 交AB 于点2A ，过点2A 作22A B 垂直于x 轴交x 轴于点2B ⋯，依此规律作下去，则点5A 的坐标是( )A ．15(4-，1)4B ．15(4，1)4C ．31(8-，1)8 D ．7(2-，1)8二.填空题（共7小题，每小题4分，共28分） 11．（4分）将二次根式50化为最简二次根式 ．12．（4分）一组数据：1、2、4、3、2、4、2、5、6、1，它们的中位数为 ．13．（4分）一次函数的图象经过点(0,2)-，且函数y 的值随自变量x 的增大而增大，请写出一个符合条件的一次函数表达式 ．14．（4分）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 ． 15．（4分）将直线24y x =-向下平移4个单位后，所得直线的表达式是 ．16．（4分）如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC CD ⊥，//OE BC 交CD 于E ，若4OC =，3CE =，则BC 的长是 ．17．（4分）如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =，连接BF 分别交CD ，CE 于H ，G ，下列结论： ①2EC DG =； ②GDH GHD ∠=∠； ③CDG DHGE S S ∆=四边形； ④图中只有8个等腰三角形． 其中正确的有 （填番号）．三.解答题（共3小题.每小题6分，共18分） 18．（6分）计算：2218(13)3⨯--． 19．（6分）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，//AE CF ，且分别交对角线BD 于点E ，F ．求证：AE CF =．20．（6分）小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了解，一次性批发这种水果不得少于100kg ，超过300kg 时，所有这种水果的批发单价均为3元/kg ．图中折线表示批发单价y （元/)kg 与质量()x kg 的函数关系． （1）求图中线段AB 所在直线的函数表达式；（2）小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少？四、解答题（每小题8分，共24分）21．（8分）如图，直线1l 在平面直角坐标系中与y 轴交于点A ，点(3,3)B -也在直线1l 上，将点B 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C ，点C 也在直线1l 上． （1）求点C 的坐标和直线1l 的解析式；（2）已知直线2:l y x b =+经过点B ，与y 轴交于点E ，求ABE ∆的面积．22．（8分）观察下列各式及其验算过程：222233+=，验证：3223222223333⨯++===； 333388+=，验证：3338333338888⨯++=== （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415+的变形结果并进行验证． （2）针对上述各式反映的规律，写出用(n n 为大于1的整数）表示的等式并给予验证． 23．（8分）我市某中学开展“社会主义核心价值观”演讲比赛活动，九（1）、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复賽，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分100分）如图所示．根据图中数据解决下列问题：平均数中位数 众数九（1） a85 c九（2）85 b100（1）根据图示求出表中的a ，b ，c ．a = ，b = ，c = ． （2）请你帮小明同学分析哪个班级的复赛成绩较好？五.解答题（每小题10分，共20分）24．（10分）如图，已知ABC ∆，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于点E ，连接CE ，过点C作//CF BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：AED CFD∆≅∆；（2）求证：四边形AECF是菱形．（3）若6AE=，则菱形AECF的面积是多少？ED=，1025．（10分）如图，直线y kx b=+与x轴、y轴分别交于点(4,0)B，点P在x轴上A、(0,4)运动，连接PB，将OBP∆沿直线BP折叠，点O的对应点记为O'．（1）求k、b的值；（2）若点O'恰好落在直线AB上，求OBP∆的面积；（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45︒得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得PBQ∆为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年广东省惠州市惠城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小瓜，每小题3分，共30分）1．（3x 的取值范围是( ) A ．13x >B ．13x -C ．3xD ．3x -【分析】根据二次根式有意义的条件可得310x +，再解即可． 【解答】解：由题意得：310x +， 解得：13x -，故选：B ．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．2．（3分）已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是( ) A ．平均数是4B ．众数是3C ．中位数是5D ．方差是3.2【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和计算公式分别进行分析即可． 【解答】解：样本数据2，3，5，3，7中平均数是4，中位数是3，众数是3，方差是2222221[(24)(34)(54)(34)(74)] 3.25S =-+-+-+-+-=．故选：C ．【点评】本题考查方差、众数、中位数、平均数．关键是掌握各种数的定义，熟练记住方差公式是解题的关键．3．（3分）下列各组数据不是勾股数的是( ) A ．2，3，4B ．3，4，5C ．5，12，13D ．6，8，10【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A 、222134+≠，不能构成直角三角形，所以不是勾股数，故符合题意；B 、222345+=，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；C 、22251213+=，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；D 、2226810+=，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知ABC∆的三边满足222+=，则ABCa b c∆是直角三角形．4．（3分）下列各式计算错误的是()A．=B C．5=D3=【分析】根据合并同类二次根式的法则、二次根式的乘法、平方差公式及二次根式的除法分别计算可得．【解答】解：A、，此选项计算正确；B=-=-=，此选项计算错误；C、22321D3=，此选项计算正确；故选：C．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．5．（3分）下列条件中，菱形具有而矩形不具有的是()A．对边相等B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直【分析】根据矩形的对角线互相平分、相等和菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，即可推出答案．【解答】解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，矩形的对角线互相平分、相等，∴菱形具有而矩形不具有的是对角线互相垂直，故选：D．【点评】本题主要考查对矩形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据矩形和菱形的性质进行判断是解此题的关键．6．（3分）下列函数中不经过第四象限的是()A ．y x =-B ．21y x =-C ．1y x =--D ．1y x =+【分析】根据一次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A 、函数y x =-中的10k =-<，则该函数图象经过二、四象限，故本选项错误；B 、函数21y x =-中的20k =<，10b =-<则该函数图象经过一、三、四象限，故本选项错误；C 、函数1y x =--中的10k =-<，则该函数图象经过二、四象限，故本选项错误；D 、函数1y x =+中的10k =>，10b =>则该函数图象经过一、二、三象限，即不经过第四象限，故本选项正确； 故选：D ．【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．7．（3分）校园内有两棵树，相距8米，一棵树高为13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞( ) A ．10米B ．11米C ．12米D ．13米【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：如图所示，AB ，CD 为树，且13AB =米，7CD =米，BD 为两树距离8米， 过C 作CE AB ⊥于E ，则8CE BD ==米，6AE AB CD =-=米， 在直角三角形AEC 中，2210AC AE CE =+=米， 答：小鸟至少要飞10米． 故选：A ．【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题．8．（3分）直角三角形两条直角边长分别是5和12，则第三边上的中线长为( ) A ．5B ．6C ．6.5D ．12【分析】根据勾股定理列式求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【解答】解：直角三角形两条直角边长分别是5和12，∴斜边2251213=+=， ∴第三边上的中线长为113 6.52⨯=． 故选：C ．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．9．（3分）一次函数1y mx n =+与2y x a =-+的图象如图所示，则mx n x a +<-+的解集为()A ．3x >B ．1x <C ．3x <D ．03x <<【分析】结合函数图象，写出直线1y mx n =+在直线2y x a =-+的下方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：根据图象得，当3x <时，12y y <， 所以mx n x a +<-+的解集为3x <． 故选：C ．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y kx b =+的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y kx b =+在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．10．（3分）如图，一次函数4y x =+的图象分别与x 轴、y 铀交于A ，B 两点，过原点O 作1OA 垂直于直线AB 交AB 于点1A ，过点1A 作11A B 垂直于x 轴交x 轴于点1B ，过点1B 作12B A垂直于直线AB 交AB 于点2A ，过点2A 作22A B 垂直于x 轴交x 轴于点2B ⋯，依此规律作下去，则点5A 的坐标是( )A ．15(4-，1)4B ．15(4，1)4C ．31(8-，1)8 D ．7(2-，1)8【分析】根据一次函数4y x =+的图象分别与x 轴、y 轴交于(4,0)A -，(0,4)B ，可得AOB ∆是等腰直角三角形，进而得出四边形11A B OC 是正方形，可求出点1A 的坐标，进而可以得出四边形221A B B D ，四边形332A B B E 也是正方形，求出点2A 的坐标，点3A 的坐标，根据点1A ，点1A ，点3A 的坐标呈现的规律，可以得出点5A 的坐标．【解答】解：过1A 、2A 、3A 、⋯分别作1AC BO ⊥，211A D A B ⊥，322A E A B ⊥，⋯垂足分别为C 、D 、E 、⋯，一次函数4y x =+的图象分别与x 轴、y 轴交于(4,0)A -，(0,4)B ， 4OA OB ∴==， 1OA AB ⊥，145AOB OBA OAB ∴∠=∠=∠=︒， 1122OC AC BC OB ∴====， 可得四边形11A B OC 是正方形，同理可得四边形221A B B D ，四边形332A B B E 也是正方形，∴点1(2,2)A -，可求22211112A D AB A B ===， ∴点2(21,1)A --，同理31 (212A---，1)2，即，⋯⋯5111 (21248A-----，1)8，即531(8A-，1)8，故选：C．【点评】考查一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形、正方形的性质，点的坐标与线段长度之间的互相转化是解决问题的关键．二.填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（450化为最简二次根式52．【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案．【解答】解：原式52=故答案为：52【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的概念，本题属于基础题型．12．（4分）一组数据：1、2、4、3、2、4、2、5、6、1，它们的中位数为 2.5．【分析】将数据重新排列，再根据中位数的定义求解可得．【解答】解：将这组数据重新排列为1、1、2、2、2、3、4、4、5、6，所以这组数据的中位数为232.52+=，故答案为：2.5．【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．13．（4分）一次函数的图象经过点(0,2)-，且函数y的值随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的一次函数表达式 2y x =- ．【分析】函数值y 随着自变量x 的增大而增大，x ∴的系数应大于0．可设x 的系数为1或其他正数都可，把点的坐标代入求b 的值即可．【解答】解：由题意得x 的系数应大于0，可设x 的系数为1， 那么此一次函数的解析式为：y x b =+， 把(0,2)-代入得2b =-．∴一次函数的解析式为：2y x =-．（答案不唯一）故答案为：2y x =-．【点评】本题主要考查了一次函数的性质的应用，需注意应先确定x 的系数，然后把适合的点代入求得常数项．一次函数的性质：0k >，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；0k <，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降．由于y kx b =+与y 轴交于(0,)b ，当0b >时，(0,)b 在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半轴；当0b <时，(0,)b 在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．14．（4分）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为6013． 【分析】本题可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可． 【解答】解：由勾股定理可得：斜边长222512=+， 则斜边长13=，直角三角形面积115121322S =⨯⨯=⨯⨯斜边的高，可得：斜边的高6013=． 故答案为：6013． 【点评】本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用，看清题中条件即可． 15．（4分）将直线24y x =-向下平移4个单位后，所得直线的表达式是 28y x =- ． 【分析】直接利用一次函数平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【解答】解：将直线24y x =-向下平移4个单位，∴平移后解析式为：24428y x x =--=-．故答案为：28y x =-．【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键． 16．（4分）如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC CD ⊥，//OE BC 交CD于E ，若4OC =，3CE =，则BC 的长是 10 ．【分析】由平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，//OE BC ，可得OE 是ACD ∆的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求得AD 、CD 的长．进而解答即可． 【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形， OA OC ∴=，//AD BC ， //OE BC ， //OE AD ∴，OE ∴是ACD ∆的中位线， 3CE cm =，2236DC OE ∴==⨯=． 4CO =， 8AC ∴=， AC CD ⊥，22226810AD AC CD ∴=+=+=， 10BC AD ∴==，故答案为：10．【点评】此题考查了矩形的性质以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．17．（4分）如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =，连接BF 分别交CD ，CE 于H ，G ，下列结论： ①2EC DG =； ②GDH GHD ∠=∠； ③CDG DHGE S S ∆=四边形； ④图中只有8个等腰三角形． 其中正确的有 ②③ （填番号）．【分析】根据正方形的性质和已知推出四边形DECB 是平行四边形，得到BD CE =，//BD CE ，无法证出G 为CE 的中点；得到//BD CE ，推出45DCG BDC ∠=∠=︒，求出BGC GBC ∠=∠，得到BC CG CD ==，求出CDG DHG ∠=∠即可；根据三角形的面积公式推出CDG ∆和四边形DHGE 的面积相等；可得有9个等腰三角形． 【解答】解：正方形ABCD ，DE AD =， //AD BC ∴，DE BC =，90EDC ∠=︒，∴四边形DECB 是平行四边形，BD CE ∴=，//BD CE ， DE BC AD ==， 45DCE DEC ∴∠=∠=︒，要使2CE DG =，只要G 为CE 的中点即可， 但DE DC =，DF BD =， EF BC ∴≠，即EFG ∆和BCG ∆不全等， G ∴不是CE 中点，∴①错误；45ADB ∠=︒，DF BD =， 122.52F DBH ADB ∴∠=∠=∠=︒，1809022.567.5DHG ∴∠=︒-︒-︒=︒， //BD CE ，45DCG BDC ∴∠=∠=︒， 67.5DHG ∠=︒，22.5HGC ∴∠=︒，45DEC ∠=︒，18022.513522.5BGC GBC ∠=︒-︒-︒=︒=∠， BC CG CD ∴==，1(18045)67.52CDG CGD DHG ∴∠=∠=︒-︒=︒=∠，∴②正确；CG DE CD ==，45DCE DEC ∠=∠=，22.5HGC ∠=︒，909067.522.5GDE CDG ∠=-∠=-=︒， DEG CHG ∴∆≅∆，要使CDG ∆和四边形DHGE 的面积相等，只要DEG ∆和CHG ∆的面积相等即可，根据已知条件DEG CHG ∆≅∆，∴③CDG DHGE S S ∆=四边形；正确，等腰三角形有ABD ∆，CDB ∆，BDF ∆，CDE ∆，BCG ∆，DGH ∆，EGF ∆，CDG ∆，DGF ∆；∴④错误；故答案为：②③．【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，平行四边形的性质和判定等知识．综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 三.解答题（共3小题.每小题6分，共18分） 18．（6分）计算：2218(13)3⨯--． 【分析】根据二次根式的乘法法则和完全平方公式计算． 【解答】解：原式218(1233)3=⨯--+ 23423=-+ 434=-．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．19．（6分）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，//AE CF ，且分别交对角线BD 于点E ，F ．求证：AE CF =．【分析】由AE 与CF 平行，得到一对内错角相等，可得出领补角相等，由四边形ABCD 为平行四边形，得到AD 与BC 平行且相等，利用AAS 得到三角形ADE 与三角形CBF 全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证． 【解答】解：四边形ABCD 为平行四边形， //AD BC ∴，AD BC =， ADE CBF ∴∠=∠， //AE CF ，AEF CFE ∴∠=∠， AED CFB ∴∠=∠， ADE CBF ∴∆≅∆， AE CF ∴=．【点评】此题考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．20．（6分）小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了解，一次性批发这种水果不得少于100kg ，超过300kg 时，所有这种水果的批发单价均为3元/kg ．图中折线表示批发单价y （元/)kg 与质量()x kg 的函数关系． （1）求图中线段AB 所在直线的函数表达式；（2）小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少？【分析】（1）设线段AB 所在直线的函数表达式为y kx b =+，运用待定系数法即可求解； （2）设小李共批发水果m 吨，则单价为0.016m -+，根据“单价、数量与总价的关系列方程解答即可”．【解答】解：（1）设线段AB 所在直线的函数表达式为y kx b =+，根据题意得 10053003k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得0.016k b =-⎧⎨=⎩， ∴线段AB 所在直线的函数表达式为0.016(100300)y x x =-+；（2）设小李共批发水果m 千克，则单价为0.016m -+， 根据题意得：8000.016m m-+=， 解得200m =或400m =，经检验，200m =，400m =（不合题意，舍去）都是原方程的根． 答：小李用800元一次可以批发这种水果的质量是200千克．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 四、解答题（每小题8分，共24分）21．（8分）如图，直线1l 在平面直角坐标系中与y 轴交于点A ，点(3,3)B -也在直线1l 上，将点B 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C ，点C 也在直线1l 上． （1）求点C 的坐标和直线1l 的解析式；（2）已知直线2:l y x b =+经过点B ，与y 轴交于点E ，求ABE ∆的面积．【分析】（1）根据平移的法则即可得出点C 的坐标，设直线1l 的解析式为y kx c =+，根据点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线1l 的解析式；（2）由点B 的坐标利用待定系数法即可求出直线2l 的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A 、E ，根据三角形的面积公式即可求出ABE ∆的面积． 【解答】解：（1）由平移法则得：C 点坐标为(31,32)-+-，即(2,1)-． 设直线1l 的解析式为y kx c =+， 则3312k c k c =-+⎧⎨=-+⎩，解得：23k c =-⎧⎨=-⎩， ∴直线1l 的解析式为23y x =--．（2）把B 点坐标代入y x b =+得， 33b =-+，解得：6b =，6y x ∴=+．当0x =时，6y =，∴点E 的坐标为(0,6)．当0x =时，3y =-，∴点A 坐标为(0,3)-，639AE ∴=+=，ABE ∴∆的面积为1279|3|22⨯⨯-=．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、坐标与图形变化中的平移以及三角形的面积，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 22．（8分）观察下列各式及其验算过程：======（1 （2）针对上述各式反映的规律，写出用(n n 为大于1的整数）表示的等式并给予验证．【分析】（1== （2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；【解答】解：（1）=∴==，= （2）由（1）中的规律可知2321=-，2831=-，21541=-，∴=，【点评】此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键．23．（8分）我市某中学开展“社会主义核心价值观”演讲比赛活动，九（1）、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复賽，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分100分）如图所示．根据图中数据解决下列问题：平均数中位数众数九（1）a85c九（2）85b100（1）根据图示求出表中的a，b，c．a=85，b=，c=．（2）请你帮小明同学分析哪个班级的复赛成绩较好？【分析】（1）根据条形统计图中的数据，可以得到a、b、c的值；（2）根据表格中的数据，可以得到哪个班级的复赛成绩较好，注意本题答案不唯一，只要合理即可．【解答】解：（1）85758085100855a++++==，九（2）的成绩按照从小到大排列是70，75，80，100，100，故80b=，85c=，故答案为：85，80，85；（2）九（1）的成绩较好，理由：两个班的平均数一样，但是九（1）的中位数大于九（2）的中位数，说明九（1）的成绩高于九（2）．【点评】本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．五.解答题（每小题10分，共20分）24．（10分）如图，已知ABC∆，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作//CF BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：AED CFD∆≅∆；（2）求证：四边形AECF是菱形．（3）若6ED=，10AE=，则菱形AECF的面积是多少？【分析】（1）由PQ为线段AC的垂直平分线得到AE CE=，AD CD=，然后根据//CF AB 得到EAC FCA∠=∠，CFD AED∠=∠，利用ASA证得两三角形全等即可；（2）根据全等得到AE CF=，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC EA=，FC FA=，从而得到EC EA FC FA===，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形；（3）由菱形的性质和勾股定理求出AD，得出AC的长，由菱形的面积公式即可得出结果．【解答】（1）证明：PQ为线段AC的垂直平分线，，AE CE∴=，AD CD=，//CF AB，EAC FCA∴∠=∠，CFD AED∠=∠，在AED∆与CFD∆中，EAC FCACFD AED AD CD=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AED CFD AAS∴∆≅∆；（2）证明：AED CFD∆≅∆，AE CF∴=，EF为线段AC的垂直平分线，EC EA∴=，FC FA=，EC EA FC FA∴===，∴四边形AECF为菱形；（3）解：四边形AECF是菱形，AC EF∴⊥，6ED =，10AE =，212EF ED ∴==，221068AD =-=．216AC AD ∴==，∴菱形AECF 的面积1116129622AC EF ==⨯⨯=． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等的判定与性质、盖棺定论、基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是了解通过作图能得到直线的垂直平分线．25．（10分）如图，直线y kx b =+与x 轴、y 轴分别交于点(4,0)A 、(0,4)B ，点P 在x 轴上运动，连接PB ，将OBP ∆沿直线BP 折叠，点O 的对应点记为O '．（1）求k 、b 的值；（2）若点O '恰好落在直线AB 上，求OBP ∆的面积；（3）将线段PB 绕点P 顺时针旋转45︒得到线段PC ，直线PC 与直线AB 的交点为Q ，在点P 的运动过程中，是否存在某一位置，使得PBQ ∆为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法直接求出；（2）分P 在x 轴的正半轴和负半轴：①当P 在x 轴的正半轴时，求424OP O P AO ''===，根据三角形面积公式可得结论；②当P 在x 轴的负半轴时，同理可得结论；（3）分4种情况：分别以P 、B 、Q 三点所成的角为顶角讨论：①当BQ QP =时，如图2，P 与O 重合，②当BP PQ =时，如图3，③当PB PQ =时，如图4，此时Q 与C 重合④当PB BQ =时，如图5，此时Q 与A 重合，则P 与A 关于y 轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算对应点P 的坐标．【解答】解：（1）点(4,0)A 、(0,4)B 在直线y kx b =+上，∴404k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：1k =-，4b =；（2）存在两种情况：①如图1，当P 在x 轴的正半轴上时，点O '恰好落在直线AB 上，则OP O P '=，90BO P BOP '∠=∠=︒，4OB OA ==，AOB ∴∆是等腰直角三角形， 42AB ∴=，45OAB ∠=︒，由折叠得：OBP O BP '∠=∠，BP BP =，OBP ∴∆≅△()O BP AAS '，4O B OB '∴==，424AO '∴=-， Rt △PO A '中，424O P AO OP ''==-=，114(424)82822BOP S OB OP ∆∴==⨯⨯-=-； ②如图所示：当P 在x 轴的负半轴时，由折叠得：90PO B POB '∠=∠=︒，4O B OB '==，45BAO ∠=︒，424PO PO AO ''∴===，114(424)82822BOP S OB OP ∆∴==⨯⨯=；（3）分4种情况：①当BQ QP =时，如图2，P 与O 重合，此时点P 的坐标为(0,0)；②当BP PQ=时，如图3，BPC∠=︒，45∴∠=∠=︒，PQB PBQ22.5∠=︒=∠+∠，OAB PBQ APB45∴∠=︒，APB22.5∴∠=∠，ABP APB∴==，AP AB42∴=+OP442∴+，0)；(442P③当PB PQ=时，如图4，此时Q与C重合，∠=︒，BPC45∴∠=∠=︒，PBA PCB67.5APC∠=︒，∆中，22.5PCA∴∠=+︒=︒，APB4522.567.5∴∠=∠，ABP APB42∴==，AB AP∴=-，424OPP∴-，0)；(442④当PB BQ=时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，P-；∴此时(4,0)综上，点P的坐标是(0,0)或(442-，0)或(4,0)+，0)或(442-．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式及等腰三角形的判定，并注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题．。