指数函数的图象与性质练习题
1．下列函数是指数函数的是( )
A ．y ＝－2x
B ．y ＝2x ＋1
C ．y ＝2－x
D ．y ＝1x
【解析】 y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，符合指数函数的定义，故选C. 2．函数y ＝(a －2)x 在R 上为增函数，则a 的取值范围是( )
A ．a>0且a≠1 B．a>3
C ．a<3
D ．2<a<3
【解析】 由指数函数单调性知，底数大于1时为增函数，
∴a－2>1，∴a>3，故选B.
3．已知a ＝5－12
，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的大小关系为________． 【解析】 ∵a＝
5－12∈(0,1)，故a m >a n ⇒m<n. 4．已知指数函数f(x)的图象过点(2,4)，求f(－3)的值．
【解析】 设指数函数f(x)＝a x (a>0且a≠1)，
由题意得a 2
＝4，∴a＝2，
∴f(x)＝2x ，
∴f(－3)＝2－3＝18.
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数y ＝a x －2＋1(a>0，a≠1)的图象必经过点( )
A ．(0,1)
B ．(1,1)
C ．(2,0)
D ．(2,2)
【解析】 由于函数y ＝a x 经过定点(0,1)，所以函数y ＝a x －2经过定点(2,1)，
于是函数y ＝a x －2＋1经过定点(2,2)．
2．f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x|，x∈R ，那么f(x)是( ) A ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
【解析】
因为函数f(x)= |x|= 图象如右图．
由图象可知答案显然是D.
【答案】 D
3．下列四个函数中，值域为(0，＋∞)的函数是( )
A ．y ＝21x
B ．y ＝2x －1
C ．y ＝2x ＋1
D ．y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122－x 【解析】 在A 中，∵1x ≠0，∴21x ≠1，即y ＝21x
的值域为(0,1)∪(1，＋∞)． 在B 中，2x －1≥0， ∴y＝2x －1的值域为[0，＋∞)．
在C 中，∵2x >0，
∴2x ＋1>1. ∴y＝2x ＋1的值域为(1，＋∞)．
在D 中，∵2－x∈R ，∴y＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122－x >0. ∴y＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122－x 的值域为(0，＋∞)．故选D.
4．方程4x －1＝116
的解为( ) A ．2 B ．－2 C ．－1 D ．1
【解析】 ∵4x －1＝116
＝4－2，∴x－1＝－2， ∴x＝－1.故选C.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则实数a 的取值范围为________．
【解析】 由a x －1≥0，得a x ≥1＝a 0，因为x∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0<a<1.
【答案】 (0,1)
6．函数f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x －1，x∈[－1,2]的值域为________． 【解析】 函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 在区间[－1,2]上是减函数， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫132≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－1，即19≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤3， 于是19－1≤f(x)≤3－1，即－89
≤f(x)≤2. 【答案】 [－89
，2] 三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知函数f(x)＝a x －2(x≥0)的图象经过点⎝
⎛⎭⎪⎫4，19，其中a>0且a≠1. (1)求a 的值；
(2)求函数y ＝f(x)(x≥0)的值域．
【解析】 (1)函数图象过点⎝
⎛⎭⎪⎫4，19， 所以a 4－2＝19＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132，∴a＝13
， (2)f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x －2(x≥0)， 由x≥0，得x －2≥－2，
∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－2＝9， ∴函数y ＝f(x)(x≥0)的值域为(0,9]．
8．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x 的图象经过怎样的变换得到的．
(1)y ＝2x －1；(2)y ＝2x ＋1；(3)y ＝2|x|；
(4)y＝－2x.
【解析】如图所示．
y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位得到；
y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位得到；
y=2|x|的图象是由y=2x的y轴右边的图象和其关于y轴对称的图象组成的；y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称．
9．(10分)函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a
2
，求a的值．
【解析】(1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，
∴a2－a＝a
2
，即a＝
3
2
或a＝0(舍去)．
(2)若0<a<1，则f(x)在[1,2]上递减，
∴a－a2＝a
2
，即a＝
1
2
或a＝0(舍去)，
综上所述，所求a的值为1
2
或
3
2
.。