用旋转矩阵表示：如 2[001]作用在 (x,y,z) 上
⎜⎛ ⎜
~x ~y
⎟⎞ ⎟
=
(2[001])⎜⎜⎛
x y
⎟⎞ ⎟
=
⎜⎛ ⎜
−1 0
0 −1
0⎟⎞⎜⎛ x ⎟⎞ ⎜⎛ − x ⎟⎞ 0⎟⎜ y ⎟ = ⎜ − y ⎟
⎜⎝ ~z ⎟⎠
⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ z ⎟⎠
§1-2 点对称操作及其矩阵表示
主动操作：操作时使空间中所有的点或位矢相对于固 定的坐标轴移动。
被动操作：操作时让坐标轴移动，但空间中所有的点 或位矢保持不动。
r = xa + yb + zc W 对称操作 ~r = ~x a + ~y b + ~z c
矩阵方程
⎜⎛ ⎜
~x ~y
⎟⎞ ⎟
=
⎜⎛ W11 ⎜ W 21
纯旋转：
C
m n
↔
C n−m n
非纯旋转：
S
m n
↔
S n−m n
n为偶数
S
m n
↔
S 2n−m n
n为奇数
E ↔ E 特例
i↔i
σ ↔σ
,-
+
S3 +
+ +
S32=C32
-, +
S33=σh
+
+
+
,-
S34=C3
S35
S36=E
S
m n
↔
S 2n−m n
S3与S35, S32与S34互为逆操作
对称操作和对称元素两概念的区别与联系：
W 12 W 22
W13 ⎟⎞⎜⎛ x ⎟⎞ W 23 ⎟⎜ y ⎟
⎜⎝ ~z ⎟⎠ ⎜⎝ W 31 W 32 W 33 ⎟⎠⎜⎝ z ⎟⎠
简写： ~x = Wx
各种点对称操作：
（1）全同操作：不施以任何操作。 Hermann-Mauguin符号（HM）为：1 Schoenflies符号为：E 矩阵为：单位矩阵、全同矩阵。
6+ (x-y,x,z) B’
A’
六角坐标系
则旋转矩阵表示为：
6
+
[001
]
=
⎜⎛ ⎜
1 1
−1 0
0 ⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
★ 某些对称操作的存在意味着其它一些对称操作的存在。 4（C4）存在，则 2（C2）及 43（C43）也存在 6（C6）存在，则有 6m（C6m） m=1,2,3,4,5,6 其中：62（C62）= 3（C3） 63（C63）= 2（C2） 66（C66）= 1（E）
（3）倒反：通过某一中心的倒反操作把右手变成为左手， 改变了图象的左右手向指关系，相应的对称 元素叫对称中心，记为o。
( ) 符号： 1 i ——HM（Schoenflies）
(1
)⎜⎜⎛
x y
⎟⎞ ⎟
=
⎜⎛ ⎜
− −
x y
⎟⎞ ⎟
⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ − z ⎟⎠
+
,
-
（4）镜面反映：对一张平面的反映。改变图形的左右手向
主轴为n次轴，则有n张σv, σd处于两邻σv 之分角处。
以镜面的法线[u, v, w]表示镜面的方向。如m[010]
(m[010])⎜⎜⎛
x y
⎟⎞ ⎟
=
⎜⎛ ⎜
x −y
⎟⎞ ⎟
⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ z ⎟⎠
（5）旋转倒反：（非纯旋转）： Hermann-Mauguin方法：旋转倒反 Schoenflies方法：旋转反映
Fd3m
晶体学是关于晶体结构及其表征的知识，包括对称性论
理、晶体结构及其研究方法、晶体缺陷、晶体生长与 人工合成，以及晶体物理等内容。
对称性论理是晶体学的核心和理论基础
对称群-- 晶体对称操作的集合 平移群-- 平移操作的集合（描述晶体的周期性） 点 群-- 围绕一点的对称操作的集合（32个）
（决定晶体的宏观特征和宏观物理性能的对称性） 空间群-- 在空间里的对称操作的集合（230个）
基本重复单元的原子集团，所有的点阵都具有相同的
环境。
平移对称操作矢量：
r = ut1 + vt2 + wt3
t1, t2, t3为三个不共面的基矢。 u,v,w 为任意整数。
点阵沿平移矢量平移 →得新的空间点阵 = 平移前点阵
对称操作：它虽变换了各阵点的位置，但得到的点阵恰
与操作之前的一样。
点对称操作：操作围绕空间中的一个点进行的，即在
引言 点对称操作及其矩阵表示 非点式操作：螺旋旋转和滑移反映 平移对称对点对称操作的制约 点操作与平移操作的组合 对称操作的分类及几何符号 对称操作矩阵与国际晶体系表中的 对称操作符号
§1-1 引言
晶体——由在三维空间规则地重复排列的原子或原子集团组
成.
(平移对称性)
点阵——空间中点的无限阵列，其中每一阵点代表一个作为
（概括了晶体的全部对称）
读懂：International tables for Crystallography Volume A: Space-Group Symmetry
知道：从230种空间群的图表中能获得什么信息 掌握：获取信息的方法
运用群论的概念、方法和定理可以很方便地研 究晶体的对称性。
研究任一固体科学的问题：
特点：在每一操作的过程中，空间的某一点（倒反 中心），某一条直线（转轴）或某一张平面 （镜面），总之至少有一个空间中的点保持 不动。
研究：晶体表面、点阵平面族配置的对称性。
非点式操作：含平移的对称操作。 特点：对某一点连续施以包含平移的对称操作不能 回到起始点，而是在适当次数后，得到一个 距起始点的距离为点阵平移周期的整数倍的 点。 研究：晶体内原子配置的对称性。
《晶体学中的对称群》
Crystallographic Symmetry Group
学时/学分：30/1.5 属性：选修课 开课时间：春季 开课周期：2年 一、课程简介：
晶体学是固体科学的基础，对称性理论是晶体学的理论基础。运用群论 可以很方便地研究晶体的对称性。该课程的重点是运用群论讨论晶体的对称性， 可作为凝聚态物理、材料科学、固体化学等学科的专业课。学生通过该课程的学 习，可以运用群论的概念、方法和定理研究晶体的对称性，能够读懂国际晶体学 表中230种空间群的图表，充分利用空间群图表上的信息进行有关晶体材料的研 究。
每施以一次 n 的操作，就按顺时针次序依次得到下一个圆。
，
S4
4
，
对偶数m，永远存在：
S
m n
= Cnm
[证明]：m为偶时，m次的反映为全同变换。
则 Snm中有m次Cn和偶次反映（全同），
即等同于 Cnm 。
每一对称操作的逆操作也必为对称操作。
逆操作的定义：若 AB=1（全同操作），则A与B互为逆操作， 即A-1=B 或 B-1=A。 则亦有 (AB)-1=B-1A-1
二、考核方式：阶段性课后作业考核与课程结束考试相结合（40%+60%）。 三、主要内容：
第一章 对称操作（6学时） 第二章 二维晶体学（4学时） 第三章 群论初步（2学时） 第四章 晶体学点群（4学时） 第五章 点阵、晶系与晶体学中的坐标系（4学时） 第六章 空间群的推导（4学时） 第七章 空间群图表的认识与使用（3学时） 第八章 空间群与晶体结构与相变（3学时） 四、预修课程：在学习该课程之前学生应具备的一些《晶体学》的基础知识。 五、教材、参考书目及参考文献： 《晶体学中的对称群》王仁卉 郭可信；科学出版社；1990年10月
《晶体学中的对称群》 Crystallographic Symmetry Group
中国科学院金属研究所 隋曼龄
2007.3.1-4.6
晶体的宏观特征
氟磷灰石～Fluorapatite
方解石～ CALCITE
螢石～FLUORITE
Cu, Fe, Mg, Diamond……
Fm3m
I m3m
P6 / mmm
● Schoenflies方法：由纯旋转操作与对垂直于其转轴的某 平面的反映这两种操作组成。
Sn= σhCn
σ Snm = ( hCn)m
(有时用 n~ 表示n次旋转反映)
( ) ( ) S4 =
3
4,
S42 = C2 =
2
4
,
S43 =
4
,
S44 = 1
对比：每施以一次Sn的操作，就按逆时针次序依次得到下一个圆。
★ 复合操作为两种操作的乘积。一般说来，当某复合操作 为对称操作时，该复合操作的两个组成部分本身却不 一定是对称操作。
● H-M方法：nn，n次旋转倒反操作。
4 (4)2 = 2 (4)3 (4)4 = 1
对称操作 4 暗示 2 存在 4 和 1 不是其对称操作，它们的复合操作 44 是一种新 操作。
⎜⎛ 1 0 0 ⎟⎞ ⎜0 1 0⎟ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
（2）旋转：绕着某轴旋转2π/n角。 HM符号为：n (n为旋转轴次，纯旋转) Schoenflies符号为：Cn 纯旋转：客体的左右手向指关系不变。
非旋转：客体的左右手向指关系改变。
(旋转与倒反或旋转与反映的复合操作)
用点阵方向指数[uvw]标出旋转轴的方向，如 2[001]
——晶体结构的认识、测定、描述和分类 ——研究点阵振动、电子能带论、相变
例：方解石晶体（CaCO3）的结构：每个晶胞内有6个 分子式，共包含30个原子
● 运用空间群的资料描述为：
R
3c
(D36d )
Ca C