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7
晶体的宏观对称元素
对称元素 国际记号 对称操作
等同元素或组合成分
－
对称中心
i
倒反 I
1
－
镜面
m
反 映M
2
一重旋转轴 1 －
二重旋转轴 2 －
三重旋转轴 3 －
四重旋转轴 4 －
六重旋转轴 6 －
－
四重反轴
4
旋 转 （ 0 0） 旋 转 （ 1 8 0 0）
旋 转 （ 1 2 0 0） 旋 转 （ 9 0 0） 旋 转 （ 6 0 0）
晶 体 的 8种 宏 观 对 称 元 素 ， 在 两 个 组 合 条 件 限 制 下 ， 按 组 合 程
序 进 行 组 合 ， 不 遗 漏 也 不 重 复 ， 共 得 32个 点 群 （ p499表 5－ 2.4） 。
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9
4. 晶体的七个晶系及特征对称元素
晶胞所属晶系由边角关系来确定，宏观晶体 用特征对称元素判断所属晶系。
规定：在某一方向出现的旋转轴或反轴是指与这一方向 平行的旋转轴或反轴, 而在某一方向出现的镜面则是指与 该方向垂直的镜面, 如果在某一方向同时出现旋转轴或反 轴与镜面时, 国际记号中用分数形式来表示,将n或n 记在分 子位置, 将m记在分母位置.
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晶系
立方晶系
六方晶系 四方晶系 三方晶系 正交晶系 单斜晶系 三斜晶系
－
ห้องสมุดไป่ตู้
－
3 ＋ i＝ 3 ，3 ＋ m＝ 6
－
－
旋 转 倒 反 L（ 9 0 0） I
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8
3、 宏 观 对 称 元 素 的 组 合 和 32个 点 群
（ 1） 对 称 元 素 组 合
对称元素组合的两个限制条件：其一，晶体的多面体
外形是一种有限图形，因而各对称元素组合必须通过一个
公共点，否则，将产生出无限多个对称元素来，这是与有
限图形相矛盾的。其二，晶体具有周期性点阵结构，任何
对称元素组合的结果，都不允许产生与点阵结构不相容的
对 称 元 素 （ 如 ：5 ，7 ， ） －－
（ 1 ） 先 进 行 对 称 轴 与 对 称 轴 的 组 合 组 合 程 序 （ 2 ） 再 扩 大 为 对 称 轴 与 对 称 面 的 组 合
（ 3 ） 最 后 扩 大 为 对 称 轴 、 对 称 面 、 对 称 中 心 的 组 合 （ 2） 晶 体 的 宏 观 对 称 类 型 — — 32个 点 群
再通过轴线上中心点进行倒反，即能复原的图形。L() I or I L()，
该轴为反轴 n
4-
3 4
3'
L(/2)
2 1
4-
2' 1'
4'
I
4-
1" 2"
3" 4"
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2
从各反轴对应的操作可以证明：
1i S2 2mS1 33i S6 4 S 4 (能独立存在) 63mS3
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3
2. 晶体的对称性定律：晶体中对称轴的轴次n不 是任意的，只可能有n=1, 2, 3, 4, 6 。这是晶体
对应的三个位
c a a+b ab c a a+b+c a+b
12
例2：对Td点群(立方晶系)，其国际符号:
c
对正四面体的Td群晶体，其坐
标轴选取3个4 的方向
b
a a+b+c a+b _
4
3
m
a
注意：写点群国际记号步骤：
1. 找出特征对称元素，确定晶系 2. 确定晶轴方向及位序方向， 3. 写出规定方向上的对称元素
选晶轴方法 4 个 3 // 4 条体对角线， 立方体的三边即为 a、b、c
c // 6(或6 ) a, b // 2 或^m
c // 4(或4 )，a, b // 2 或^m 六方晶胞：c // 3(或3 )，a, b // 2 或^m
a, b, c // 2 或^m b // 2 (或^m), a, c 选^b 的晶棱
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13
SUCCESS
THANK YOU
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14
a, b, c 选 3 个不共面的晶棱
位方向
a, a + b + c, a + b
c, a, 2a + b c, a, a + b c, a (取六方晶胞)
a, b, c b a
Eg1:
SchÖnflies记号 国际记号 简化记号
C4v
4mm
4mm
D2h
222
2/mmm
mmm
Oh
432
m3m
mm
--
B‘
B
--
5
B 'Bm a2O Bcos22acos2
n
n
m cos 2
2
n
A‘
-a O
aA
2/n n 2/n
cos 2 1 n
m 1或 m 2 2
B‘
B
m cos n=360/
-2
-1 180
2
-1 -1/2 120
3
0
0
90
4
1 1/2 60
6
2
1
360
1
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6
SUCCESS
THANK YOU
a b c = b = g = 90°
a b c = g = 90° b a b c b g 90°
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注：七种形状晶胞并不对应七个晶系，晶体的宏观对称类 型共32个点群，32个点群根据特征对称元素分为七个晶系。
5 晶体的宏观对称类型~32点群的国际记号
点群的国际符号是用晶体在某特定方向上的对称元素 来表示32个点群。特定方向叫位序（见下页表，p500）
的点阵结构所决定的.
五次轴破坏了点阵 的平移对称性
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4
证明
对称轴 n 通过点阵点O并与平面点阵(纸面)相垂直, 在 平面点阵上必有过O点的直线点阵AA‘, 其素向量为a. 利用 对称轴n 对O点两侧的a分别顺、逆时针旋转角度 ,产生点 阵点B与B＇, BB＇必然平行与AA＇
A‘
-a
O
a
A
2/n n 2/n
§2 晶体的对称性
一、 晶体的宏观对称性 1. 晶体的宏观对称元素
分子对称性
晶体的宏观对称性
对称元素 对称操作 对称元素 对称操作
旋转轴Cn
旋转 Cˆ n
n
镜面
反映 ˆ
m
对称中心i 反演或倒反iˆ
i
L(=2/n) M I
象转轴Sn
旋转反映Sˆ n
--
反轴n
旋转倒反L()I
1
注：反轴
旋转倒反操作：先绕某轴旋转一定角度(=2/n)后，
晶系 立方晶系 六方晶系 四方晶系 三方晶系
正交晶系
单斜晶系 三斜晶系
特征对称元素 四个 3 6或 6 4或 4 3或 3
两个相互垂直的 m 或三个相互垂直的 2
2或m 无或i
晶胞边角关系 a = b = c = b = g = 90° a = b c = b = 90°g = 120° a = b c = b = g = 90° a = b = c = b = g 90°