专题九 反比例函数与几何图形综合题
反比例函数与三角形
【例1】 (2016·重庆)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，点B 的坐标是(m ，
－4)，连接AO ，AO ＝5，sin ∠AOC ＝3
5
.
(1)求反比例函数的解析式； (2)连接OB ，求△AOB 的面积．
分析：(1)过点A 作AE⊥x 轴于点E ，通过解直角三角形求出线段AE ，OE 的长度，得出点A 的坐标，即可求出反比例函数解析式；(2)先求出点B 的坐标，再求直线AB 的解析式，从而可求出点C 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论．
解：(1)过点A 作AE⊥x 轴于点E ，设反比例函数解析式为y ＝k
x
.∵AE⊥x 轴，∴∠AEO
＝90°.在Rt △AEO 中，AO ＝5，sin ∠AOC ＝35
，∴AE ＝AO·sin ∠AOC ＝3，OE ＝AO 2－AE 2
＝4，
∴点A 的坐标为(－4，3)，可求反比例函数解析式为y ＝－12
x
(2)易求B(3，－4)，可求直线AB 的解析式为y ＝－x －1.令一次函数y ＝－x －1中y ＝
0，则0＝－x －1，解得x ＝－1，∴C(－1，0)，∴S △AOB ＝12OC·(y A －y B )＝1
2
×1×[3－(－4)]
＝72
反比例函数与四边形
【例2】 (2016·恩施)如图，直角三角板ABC 放在平面直角坐标系中，直角边AB 垂
直于x 轴，垂足为点Q ，已知∠ACB ＝60°，点A ，C ，P 均在反比例函数y ＝43
x
的图象上，
分别作PF⊥x 轴于点F ，AD ⊥y 轴于点D ，延长DA ，FP 交于点E ，且点P 为EF 的中点．
(1)求点B 的坐标；
(2)求四边形AOPE 的面积．
分析：(1)设点A(a ，b)，则tan 60°＝b a ＝3，b ＝43
a
，联立可求点A 的坐标，从而
得出点C ，B 的坐标；
(2)先求出AQ ，PF 的长，从而可求点P 的坐标和S △OPF ，再求出S 矩形DEFO ，根据S 四边形AOPE
＝S 矩形DEFO －S △AOD －S △OPF ，代入计算即可．
解：(1)∵∠ACB＝60°，∴∠AOQ ＝60°，∴tan 60°＝
AQ
OQ
＝3，设点A(a ，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝3，b ＝43a
，解得⎩⎨
⎧a ＝2，b ＝23或⎩⎨⎧a ＝－2，
b ＝－23
(不合题意，舍去)，∴点A 的坐标是(2，23)，∴
点C 的坐标是(－2，－23)，∴点B 的坐标是(2，－23)
(2)∵点A 的坐标是(2，23)，∴AQ ＝23，∴EF ＝AQ ＝23，∵点P 为EF 的中点，∴
PF ＝3，设点P 的坐标是(m ，n)，则n ＝3，∵点P 在反比例函数y ＝43
x 的图象上，∴3
＝43m ，S △OPF ＝12
|43|＝23，∴m ＝4，∴OF ＝4，∴S
矩形DEFO
＝OF·OD＝4×23＝83，∵
点A 在反比例函数y ＝43x 的图象上，∴S △AOD ＝12|43|＝23，∴S
四边形AOPE
＝S
矩形DEFO
－S △AOD
－S △OPF ＝83－23－23＝4 3
1．(2016·泸州)如图，一次函数y ＝kx ＋b(k ＜0)与反比例函数y ＝m
x
的图象相交于A ，
B 两点，一次函数的图象与y 轴相交于点
C ，已知点A(4，1)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接OB(O 是坐标原点)，若△BOC 的面积为3，求该一次函数的解析式．
解：(1)y ＝4
x (2)∵一次函数y ＝kx ＋b(k ＜0)经过点A(4，1)，∴4k ＋b ＝1，即b ＝1
－4k ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝kx ＋1－4k
得kx 2
＋(1－4k)x －4＝0，解得x ＝4或－1k ，∴点B(－1k
，－4k)，
又点C(0，1－4k)，而k ＜0，∴－1k ＞0，1－4k ＞0，∴S △BOC ＝12×(－1
k
)×(1－4k)＝3，∴k
＝－12，∴b ＝1－4k ＝3，∴该一次函数解析式为y ＝－1
2x ＋3
2．(2016·宁夏)如图，Rt △ABO 的顶点O 在坐标原点，点B 在x 轴上，∠ABO ＝90°，
∠AOB ＝30°，OB ＝23，反比例函数y ＝k
x
(x ＞0)的图象经过OA 的中点C ，交AB 于点D.
(1)求反比例函数的关系式；
(2)连接CD ，求四边形CDBO 的面积．
解：(1)∵∠ABO＝90°，∠AOB ＝30°，OB ＝23，∴AB ＝3
3
OB ＝2，作CE⊥OB 于E ，∵∠ABO ＝90°，∴CE ∥AB ，∵OC ＝AC ，∴OE ＝BE ＝12OB ＝3，CE ＝1
2
AB ＝1，∴C(3，1)，
可求反比例函数的关系式为y ＝
3
x
(2)∵OB＝23，∴点D 的横 坐标为23，代入y ＝
3x 得y ＝12，∴D(23，12)，∴BD ＝12，∵AB ＝2，∴AD ＝3
2
，∴S △ACD
＝12AD·BE＝12×32×3＝33
4，∴S 四边形CDBO
＝S △AOB －S △ACD ＝12OB·AB－334＝1
2
×23×2－
334＝53
4
1．(导学号 59042305)(2016·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于
点B ，与y 轴交于点A ，与反比例函数y ＝m
x
的图象在第二象限交于点C ，CE ⊥x 轴，垂足为
点E ，tan ∠ABO ＝1
2
，OB ＝4，OE ＝2.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D 作DF⊥y 轴，垂足为点F ，连接OD ，BF ，如果S △BAF ＝4S △DFO ，求点D 的坐标．
解：(1)∵OB＝4，OE ＝2，∴BE ＝OB ＋OE ＝6.∵CE⊥x 轴，∴∠CEB ＝90°.在Rt △BEC
中，BE ＝6，tan ∠ABO ＝12，∴CE ＝BE·tan ∠ABO ＝6×1
2＝3，∴C(－2，3)，可求反比例函数
的解析式为y ＝－6
x
(2)∵点D 在反比例函数y ＝－6x 第四象限的图象上，∴设点D 的坐标为(n ，－6
n
)(n ＞
0)．在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝4，tan ∠ABO ＝12，∴OA ＝OB ·tan ∠ABO ＝4×1
2
＝2.∵S
△BAF ＝12AF·OB＝12(OA ＋OF)·OB＝12(2＋6n )×4＝4＋
12n .∵点D 在反比例函数y ＝－6
x
第四象限的图象上，∴S △DFO ＝12×|－6|＝3.∵S △BAF ＝4S △DFO ，∴4＋12n ＝4×3，解得n ＝32，经检验n ＝
3
2
是分式方程的解，∴点D 的坐标为(3
2
，－4)
2．(导学号 59042306)(2016·莆田)如图，反比例函数y ＝k
x
(x ＞0)的图象与直线y ＝x
交于点M ，∠AMB ＝90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A ，B ，四边形OAMB 的面积为6.
(1)求k 的值；
(2)点P 在反比例函数y ＝k
x
(x ＞0)的图象上，若点P 的横坐标为3，∠EPF ＝90°，其两
边分别与x 轴的正半轴，直线y ＝x 交于点E ，F ，问是否存在点E ，使得PE ＝PF ？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)过点M 作MC⊥x 轴于点C ，MD ⊥y 轴于点D ，则∠MCA＝∠MDB＝90°，∠AMC ＝∠BMD，MC ＝MD ，∴△AMC ≌△BMD ，∴S 四边形OCMD ＝S 四边形OAMB ＝6，∴k ＝6
(2)存在点E ，使得PE ＝PF.由题意得点P 的坐标为(3，2)，①过点P 作PG⊥x 轴于点G ，过点F 作FH ⊥PG 于点H ，交y 轴于点K ，∵∠PGE ＝∠FHP＝90°，∠EPG ＝∠PFH，PE ＝PF ，∴△PGE ≌△FHP ，∴PG ＝FH ＝2，FK ＝OK ＝3－2＝1，GE ＝HP ＝2－1＝1，∴OE ＝OG ＋GE ＝3＋1＝4，∴E(4，0)；②过点P 作PG⊥x 轴于点G ，过点F 作FH⊥PG 于点H ，交y 轴于点K ，∵∠PGE ＝∠FHP＝90°，∠EPG ＝∠PFH，PE ＝PF ，∴△PGE ≌△FHP ，∴PG ＝FH ＝2，FK ＝OK ＝3＋2＝5，GE ＝HP ＝5－2＝3，∴OE ＝OG ＋GE ＝3＋3＝6，∴E(6，0)．综上可知，点E 的坐标为(4，0)或(6，0)。