题型五 反比例函数综合题类型一 反比例函数与一次函数结合1. 如图，反比例函数y ＝kx 的图象过格点(网格线的交点)A ，一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过格点A ，B.(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)在图中用直尺和2B 铅笔画出两个矩形(不写画法)，要求每个矩形均需满足下列两个条件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点A ，点B ； ②矩形的面积等于△AOB 面积的整数倍.第1题图2. 如图，已知反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象和一次函数y ＝－x ＋b 的图象都过点P (1，m )，过点P 作y轴的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，△OAP 的面积为1.(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M ，过M 作x 轴的垂线，垂足为B ，求五边形OAPMB 的面积.第2题图3. 如图，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与反比例函数y ＝m 2－3mx (m ≠0且m ≠3)的图象在第一象限交于点A 、B ，且该一次函数的图象与y 轴正半轴交于点C ，过A 、B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为E 、D.已知A (4，1)，CE ＝4C D.(1)求m 的值和反比例函数的解析式；(2)若点M 为一次函数图象上的动点，求OM 长度的最小值.第3题图4. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx ＋k 与双曲线y ＝4x (x >0)交于点A (1，a ).(1)求a ，k 的值；(2)已知直线l 过点D (2，0)且平行于直线y ＝kx ＋k ，点P (m ，n )(m >3)是直线l 上一动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交双曲线y ＝4x (x >0)于点M 、N ，双曲线在点M 、N 之间的部分与线段PM 、PN 所围成的区域(不含边界)记为W .横、纵坐标都是整数的点叫整点.①当m＝4时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点个数正好是8个，结合图象，求m的取值范围.第4题图类型二 反比例函数与几何图形结合1. 如图，反比例函数y ＝kx (x <0)的图象过格点(网格线的交点)P .(1)求反比例函数的解析式；(2)在图中用直尺和2B 铅笔画出两个等腰三角形(不写画法)，要求每个三角形均需满足下列两个条件： ①三个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O ，P ； ②三角形的面积等于|k |的值.第1题图2. (2019兰州) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象过等边三角形BOC 的顶点B ，OC ＝2，点A 在反比例函数图象上，连接AC ，AO .(1)求反比例函数y ＝kx(k ≠0)的表达式；(2)若四边形ACBO 的面积是33，求点A 的坐标.第2题图3. (2019苏州)如图，A 为反比例函数y ＝kx (其中x >0)图象上的一点，在x 轴正半轴上有一点B ，OB ＝4，连接OA ，AB ，且OA ＝AB ＝210.(1)求k 的值；(2)过点B 作BC ⊥OB ，交反比例函数y ＝k x (其中x >0)的图象于点C ，连接OC 交AB 于点D ，求ADDB的值.第3题图4. 如图，在平面直角坐标系中，▱OABC 的顶点C 的坐标为(3，0)，∠AOC ＝45°，反比例函数y ＝kx (k＞0，x >0)的图象经过点A 且交BC 于点E ，过点E 作ED ⊥x 轴于点D ，ED ＝1.(1)求反比例函数的解析式；(2)若点F 是反比例函数图象上一点，且△ABF 的面积等于▱OABC 面积的18，求点F 的坐标.第4题图5. 如图，在△AOB 中，∠BAO ＝30°，点C 为AB 的中点，连接OC ，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过点B 、C ，点B 的纵坐标为4.(1)求反比例函数的解析式； (2)求△BOC 的面积.第5题图拓展类型 反比例函数综合题还会怎么考1. (2018结果发现一个数据被墨水涂黑了， (1)被墨水涂黑的数据为 ；(2)y 与x 之间的函数关系式为 ，且y 随x 的增大而 ；(3)如图是小明画出的y 关于x 的函数图象，点B 、E 均在该函数的图象上，其中矩形OABC 的面积记为S 1，矩形ODEF 的面积记为S 2，请判断S 1和S 2的大小关系，并说明理由；(4)在(3)的条件下，DE 交BC 于点G ，反比例函数y ＝2x 的图象经过点G 交AB 于点H ，连接OG 、OH ，则四边形OGBH 的面积为 .第1题图2. (2019威海) (1)阅读理解如图，点A ，B 在反比例函数y ＝1x 的图象上，连接AB ，取线段AB 的中点C.分别过点A ，C ，B 作x 轴的垂线，垂足为E ，F ，G ，CF 交反比例函数y ＝1x 的图象于点D.点E ，F ，G 的横坐标分别为n －1，n ，n＋1(n >1).小红通过观察反比例函数y ＝1x 的图象，并运用几何知识得出结论：AE ＋BG ＝2CF ，CF >DF .由此得出一个关于1n －1，1n ＋1，2n 之间数量关系的命题：若n >1，则 .(2)证明命题小东认为：可以通过“若a －b ≥0，则a ≥b ”的思路证明上述命题；小晴认为：可以通过“若a >0，b >0，且a ÷b ≥1，则a ≥b ”的思路证明上述命题.请你选择一种．．方法证明(1)中的命题.第2题图3. 参照学习函数的过程与方法，探究函数y ＝x －2x (x ≠0)的图象与性质，因为y ＝x －2x ＝1－2x ，即y ＝－2x ＋1，所以我们对比函数y ＝－2x来探究. 列表：描点：在平面直角坐标系中以自变量x 的取值为横坐标，以y ＝x －2x 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示；(1)请把y 轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x ＜0时，y 随x 的增大而 ；(“增大”或“减小”)；②y ＝x －2x 的图象是由y ＝－2x 的图象向 平移 个单位而得到的；③图象关于点 中心对称；(填点的坐标)(3)函数y ＝x －2x与直线y ＝－2x ＋1交于点A ，B ，求△AOB 的面积.第3题图参考答案类型一 反比例函数与一次函数结合1. 解：(1)由题图可知点A 的坐标为(1，3)，点B 的坐标为(－3，－1)， 将点A (1，3)代入反比例函数y ＝kx 中，得k ＝3，故反比例函数的解析式为y ＝3x；将A (1，3)、B (－3，－1)代入一次函数y ＝ax ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3－3a ＋b ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2，∴一次函数的解析式为y ＝x ＋2；(2)如解图，答案不唯一(以A 、B 为顶点的四个矩形任选两个即可)．第1题解图2. 解：(1)∵S △OAP ＝12OA ·AP ＝12m ＝1，∴m ＝2. ∴P (1，2)，将P (1，2)代入y ＝kx 中，得k ＝2.∴反比例函数的解析式为y ＝2x .将P (1，2)代入y ＝－x ＋b 中，得b ＝3. ∴一次函数的解析式为y ＝－x ＋3；(2)联立反比例函数和一次函数得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2xy ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y 2＝1，∴M (2，1)．如解图，过点P 作PD ⊥x 轴交x 轴于点D .∴PD ＝2，OB ＝2，BM ＝1，OD ＝AP ＝1，BD ＝OB －OD ＝2－1＝1.∴S 五边形OAPMB ＝S 四边形OAPD ＋S 四边形PDBM ＝AP ·OA ＋12BD ·(PD ＋BM )＝1×2＋12×1×(2＋1)＝2＋32＝72.第2题解图3. 解：(1)将点A (4，1)代入反比例函数y ＝m 2－3m x， 得m 2－3m ＝4，解得m 1＝4，m 2＝－1，∴反比例函数解析式为y ＝4x； (2)∵BD ⊥y 轴，AE ⊥y 轴，∴BD ∥AE ，∴△CDB ∽△CEA ，∴CD CE ＝BD AE， ∵CE ＝4CD ，∴AE ＝4BD ，∵A (4，1)，∴AE ＝4，∴BD ＝1，∴x B ＝1，∴y B ＝4x＝4， ∴B (1，4)，将A (4，1)，B (1，4)代入一次函数y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝1k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝5， ∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋5，如解图，设直线AB 与x 轴的交点为F ，当x ＝0时，y ＝5，当y ＝0时，x ＝5，∴C (0，5)，F (5，0)，则OC ＝OF ＝5，∴△OCF 为等腰直角三角形，∴CF ＝2OC ＝52，则当OM ⊥CF 于点M 时，由垂线段最短可知，OM 有最小值，即OM ＝12CF ＝522. ∴OM 长度的最小值为522.第3题解图4. 解：(1)∵点A (1，a )在双曲线y ＝4x上， ∴a ＝41＝4. ∴点A 的坐标为(1，4)，将A (1，4)代入y ＝kx ＋k ，得k ＋k ＝4，∴k ＝2；(2)①3个；【解法提示】∵直线l 过点D (2，0)且平行于直线y ＝2x ＋2，∴直线l 的解析式为y ＝2x －4.当m ＝4时，n ＝2m －4＝4，∴点P 的坐标为(4，4)．依照题意画出图象，如解图①所示，观察图形，可知：区域W 内的整点个数是3.第4题解图①②如解图②所示，当2x －4＝4时，即x ＝4，此时线段PM 和PN 上有5个整点；当2x －4＝5时，即x ＝4.5，此时线段P ′M ′和P ′N ′上有整点；观察图形可知：若区域W 内的整点个数正好是8个，m 的取值范围为4<m ≤4.5.第4题解图②类型二 反比例函数与几何图形结合1. 解：(1)由题图易知点P 的坐标为(－2，1)，将P (－2，1)代入y ＝k x， 得k ＝－2，故反比例函数的解析式为y ＝－2x； (2)如解图，△APO ，△BPO 即为所求(答案不唯一，所画三角形符合题意即可)．第1题解图2. 解：(1)如解图，过点B 作BD ⊥OC 于点D ，∵△BOC 为等边三角形，∴OB ＝BC ＝OC ＝2，∠BOC ＝60°.∴OD ＝OB ·cos ∠BOC ＝2×12＝1，BD ＝OB ·sin ∠BOC ＝2×32＝ 3. ∵点B 在第三象限，∴B (－1，－3)．∵反比例函数y ＝k x的图象经过点B (－1，－3)， ∴k ＝ 3.∴反比例函数的表达式为y ＝3x ；第2题解图(2)由(1)可得，S △BOC ＝12OC ·BD ＝12×2×3＝ 3. ∴S △COA ＝S 四边形ACBO －S △BOC ＝33－3＝2 3.设点A 的坐标为(a ，3a)， ∵S △COA ＝12×2×3a ＝3a， ∴3a ＝2 3. ∴a ＝12. ∴A (12，23)． 3. 解：(1)如解图，过点A 作AE ⊥OB 于点E ，交OC 于点F .∵OA ＝AB ＝210，OB ＝4，∴OE ＝BE ＝12OB ＝2， 在Rt △OAE 中，AE ＝OA 2－OE 2＝（210）2－22＝6，∴点A 的坐标为(2，6)．∵点A 是反比例函数y ＝k x图象上的点， ∴6＝k 2，解得k ＝12；第3题解图(2)∵OB ＝4且BC ⊥OB ，∴点C 的横坐标为4，又∵点C 为反比例函数y ＝12x图象上的点， ∴点C 的坐标为(4，3)．∴BC ＝3.设直线OC 的表达式为y ＝mx ，将C (4，3)代入可得m ＝34，∴直线OC 的表达式为y ＝34x ， ∵AE ⊥OB ，OE ＝2，∴点F 的横坐标为2，将x ＝2代入y ＝34x 可得y ＝32，即EF ＝32. ∴AF ＝AE －EF ＝6－32＝92. ∵AE ，BC 都与x 轴垂直，∴AE ∥BC ，∴∠AFD ＝∠BCD ，∠F AD ＝∠CBD ，∴△ADF ∽△BDC ，∴AD DB ＝AF BC ＝923＝32. 4. 解：(1)∵四边形OABC 为平行四边形，∴OA ∥BC ，∴∠BCD ＝∠AOC ＝45°，在Rt △CDE 中，∴CD ＝DE ＝1，∵C (3，0)，∴E (4，1)，把E (4，1)代入y ＝k x中，得k ＝4×1＝4， ∴反比例函数的解析式为y ＝4x； (2)如解图，过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，第4题解图∵∠AOH ＝45°，∴OH ＝AH ，设A (a ，a )，则a ·a ＝4，解得a ＝2(负值舍去)，∴A (2，2)，∴S ▱OABC ＝AH ·OC ＝2×3＝6，设F (t ，4t)，∵四边形OABC 为平行四边形，∴AB ∥OC ，AB ＝OC ＝3，∵△ABF 的面积等于▱OABC 面积的18， ∴12×3×|4t －2|＝18×6，解得t 1＝83，t 2＝85， ∴点F 的坐标为(83，32)或(85，52)． 5. 解：(1)如解图，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ， ∵∠BAO ＝30°，BE ＝4，∴EA ＝BE tan30°＝43， ∵BE ⊥x 轴，CD ⊥x 轴，∴CD ∥BE ，∵点C 为AB 的中点，∴CD 是△ABE 的中位线，∴CD ＝12BE ＝2，DA ＝ED ＝12EA ＝23， 设点B 的坐标为(k 4，4)， ∴点C 的坐标为(k 4＋23，2)， ∴(k 4＋23)×2＝k ， 解得k ＝83，∴反比例函数的解析式为y ＝83x；第5题解图(2)∵反比例函数的解析式为y ＝83x， ∴将y ＝4代入y ＝83x中， 得x ＝23，∴OE ＝23，∴OA ＝OE ＋EA ＝63，∴S △AOB ＝12OA ·BE ＝12×63×4＝123， S △AOC ＝12OA ·CD ＝12×63×2＝63， ∴S △BOC ＝S △AOB －S △AOC ＝123－63＝6 3.拓展类型 反比例函数综合题还会怎么考1. 解：(1)1.5；【解法提示】从表格可以看出xy ＝6，∴墨水盖住的数据是1.5.(2)y ＝6x(x >0)；减小； 【解法提示】由xy ＝6，得到y ＝6x(x >0)，当x >0时，y 随x 的增大而减小． (3)S 1＝S 2；理由如下：∵S 1＝OA ·OC ＝k ＝6，S 2＝OD ·OF ＝k ＝6，∴S 1＝S 2；(4)4.【解法提示】∵S 四边形OCBA ＝OA ·OC ＝6，S △OCG ＝12OD ·OC ＝12×2＝1，S △OAH ＝12OA ·AH ＝12×2＝1，∴S 四边形OGBH ＝S 四边形OCBA －S △OCG －S △OAH ＝6－1－1＝4.2. 解：(1) 1n －1＋ 1n ＋1＞ 2n ； (2)证法一：证明：1n －1＋ 1n ＋1－2n＝(1n －1－1n )＋(1n ＋1－1n ) ＝1n （n －1）－1n （n ＋1） ＝n ＋1－（n －1）n （n ＋1）（n －1） ＝2n （n ＋1）（n －1）， ∵n >1，∴n ＋1>0，n －1>0，∴1n －1＋1n ＋1－2n >0， 即1n －1＋1n ＋1>2n. 证法二：证明：1n －1＋ 1n ＋1 ＝n ＋1（n －1）（n ＋1）＋ n －1（n －1）（n ＋1） ＝2n （n －1）（n ＋1）， 2n （n －1）（n ＋1）÷ 2n＝2n （n －1）（n ＋1）·n 2＝n 2（n －1）（n ＋1）＝n 2n 2－1， ∵n ＞1，∴n 2 ＞n 2－1，∴n 2n 2－1＞1， ∴ 1n －1＋ 1n ＋1＞ 2n . 3. 解：(1)函数图象如解图所示：第3题解图(2)①增大；②上，1；③(0，1)；(3)根据题意得x －2x＝－2x ＋1，解得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝－2x ＋1＝－1. 当x ＝－1时，y ＝－2x ＋1＝3. ∴交点为(1，－1)，(－1，3)．当y ＝0时，－2x ＋1＝0，x ＝12， ∴△AOB 的面积＝12×(3＋1)×12＝1.。