第7章典型习题解析1.如图为镗刀在工件上镗孔的简化图保障镗孔精度，镗刀杆的弯曲变形不能过大 设径向切削力F=200N ，镗刀杆直径 d=10mm ，外伸长度为l=50mm 。
材料的 弹性模量为E=210Gpa 。
求镗刀头的截面 B 的转角和挠度 解：（1）列弯矩方程 M （x ）=()()F l x F x l --=-（2）列挠曲线近似微分方程并积分：()()z EI v M x F x l ''==-积分得：22Z F EI X Flx c θ=-+ 2362Z F Flx EI v X Cx D =-++（3）确定积分常数固定端处的边界条件为：00x θ== 00x θ==00x θ==00x θ==得：C=0,D=0(4)确定转角方程和挠曲线方程将C=0,D=0带入式得梁的转角方程与挠曲线方程2()2Z F X lx EI θ=-32()62Z F X lx v EI =-（5）求B 截面的转角和挠度 以x=l 带入式得22B X LZ Fl EI θθ===-33B x lZFl f vEI ===-以上两式中令F=200N ，E=210Gpa ，l=50mm ，得出：0.0024B rad θ=- 0.0805B f mm =-2.图示等截面悬臂梁AB ，在自由端作用一集中力F ，梁的弯曲刚度为EI ，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度y max 和最大转角θmax 。
解：（1）列出梁的弯矩方程建立坐标系如图a 所示，取x 处横截面右边一段梁作为脱离体（图b ），弯矩方程为：)()(x l F x M --= （a ）（2）建立梁的挠曲线近似微分方程 由式（7−4）得：EI x l F EI x M xy )()(d d 22-=-= （b ） （3）对微分方程二次积分积分一次，得：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==C Fx Flx EI x y 2211d d θ （c ）再积分一次，得：⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=D Cx Fx Flx EI y 3261211 （d ） （4）利用梁的边界条件确定积分常数在梁的固定端，横截面的转角和挠度都等于零，即：0=x 时，0=y ，0=θ代入式（c ）、（d ），求得C =0，D =0。
（5）给出转角方程和挠曲线方程⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2211d d Fx Flx EI x y θ （e ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3261211Fx Flx EI y （f ）（6）求最大挠度和最大转角根据梁的受力情况和边界条件，可知此梁的最大挠度和最大转角都在自由端即x =l 处。
将x =l 代入（e ）、（f ）两式，则可求得最大转角及最大挠度分别为：EI Fl EI Fl EI Fl 22222max =-=θ EI Fl EI Fl EI Fl y 362333max =-=挠度为正，说明梁变形时B 点向下移动，转角为正，说明横截面B 沿顺时针方向转动3.图示简支梁AB ，受均布荷载和集中力偶作用，梁的弯曲刚度为EI ，试用叠加法求梁跨中点C 的挠度值和A 、B 截面的转角。
解：此梁上的荷载可以分为两项简单荷载，如图（b ）、(c )所示。
均布荷载单独作用时，从表格11−1可以查得： EI ql y Cq38454=，EI ql θAq 243=，EI ql θBq243-=集中力偶单独作用时，从表格7−1可以查得：EI l M y CM162e =，EI l M AM 3e =θ，EI lM BM 6e-=θ将以上两个结果叠加，得：EI l M EI ql y y y CMCq C 1638452e 4+=+=EI l M EI ql A 324e3+=θ4.图示悬臂梁AB ，承受均布荷载q 的作用。
已知：l =3m ，q =3kN/m ，4001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡l f ，梁采用20a 号工字钢，其弹性模量E =200GPa ，试校核梁的刚度。
解：查得工字钢的惯性矩为:44m 100.237-⨯=I梁的最大挠度为：m104.610237.010200831038349434max --⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==EI ql y（a ） （b ）（c ）400146813106.43max <≈⨯=-l y满足刚度要求5.如图（a ）所示的外伸梁，在某外伸端受集中力F 作用，已知梁的抗弯刚度EI Z 为常数。
试求外伸端C 的挠度与转角解：欲求C 处的挠度与转角，可先分别求出这两段梁的变形在C 点引起的转角和挠度，然后将其叠加，求其代数和（1）：先只考虑BC 段变形令AB 段不变，在这种情况下，由于挠曲线的光滑连接，B 截面即不允许产生挠度，也不允许出现转角。
于是，此时BC 段可视为悬臂梁，如图（b ）所示。
在集中力F 的作用下，C 点的挠度与转角可查得：212c Z Fa EI θ=-313c ZFa f EI =-（2）再只考虑bc 段变形，由于C 点的集中力F 作用，使AB 段引起变形，与将F 向B 点简化为一个集中力F 和一个集中力偶Fa ，使AB 段引起的变形使完全相同的。
这样只需讨论集中力偶Fa 对AB 梁的作用3B ZFalEI θ=-该转角在C 点引起的转角和挠度，其值分别为C23C B ZFalEI θθ==-22tan 3c B B ZFa lf a a EI θθ=≈=-(3)梁在C 点处的挠度和转角 由叠加法得22122(1)2323C C C Z Z Z Fa Fal Fa l EI EI EI aθθθ=+=--=-+32212()333c c c Z Z ZFa Fa l Fa f f f a l EI EI EI =+=--=-+6.使用积分法计算图所示梁的挠曲线方程,最大挠度和两端转角的表达式。
[解] 取坐标原点在固定端,梁的弯矩方程为()e M x M =-可得挠曲线近似微分方程为()e EI ''M x M ν=-=积分一次得转角方程为e 1EI 'M x C ν=+再积分一次得挠曲线方程为2e 121EI M x C x C 2ν=++ 在悬臂梁中，边界条件是固定端的挠度和转角都为零，即x 0,'0=ν= x 0,0=ν=由此边界条件即可确定两积分常数 1C 0= 2C 0= 显然最大转角和最大挠度都发生在x=L 处e maxM LEIθ=2e max M L 2EI ν=8.试用积分法求图所示梁的挠曲线方程及中间截面的挠度，EI 已知。
[解] 1、支座反力 0063，==A B q l q lR R 取坐标原点在A 端，弯矩方程为30011(0)66（x ）=-≤≤M q lx q x x l l挠曲线方程 30011''(0)66=-+≤≤EI q lx q x x l lν积分得24'0011224=-++q lx q x EI C lυ35001236120=-+++q lx q x EI C x C lυ边界条件0,0,0==⎧⎨==⎩x x l υυ 解得 30173602C =0,C =q l所以 533000712036360=-+q x q l q l EI x x l υ 当2=l x 时， 44.8720=ql EIνl9.外伸梁承如图所示，试按叠加原理求D A B f f A ，及，θθ。
[解] 将结构分解如下A B 1(a)B 2l将（b ）进一步分解如下l FM =利用附录查得各端的转角和挠度A θ为3B θ、1A θ和4B θ的叠加 EI ql A 483-=θB θ为3B θ和4B θ的叠加 EIql B 243-=θA f 为B A lf θ21+ EI ql f A 244=D f 为2D f 和3D f 的叠加 EIql f D 3844-=10.图所示的梁具有中间铰B 和C, EI 为已知, 按叠加原理求P 力作用处的挠度.[解] 将结构分解如下, 铰链处两段梁有互作用力,利用附录查得,各端的挠度()zz C EI FL EI L F f 63233== ()z z B EI FL EI L F f 2933233==()zz E EI FL EI L F f 6482331==AAC。