答案：(1)0.004 4 (2)70 6.随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数 据的茎叶图如图所示．
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(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差； (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学，求身高为 176 cm 的同学被抽中的概率． 解析：(1)由茎叶图可知：甲班身高集中 160 cm～179 cm 之间，而乙班身高集中于 170 cm～179 cm 之间．因此乙班平均身高高于甲班． (2)甲班的平均身高为 x ＝158＋162＋163＋168＋168＋ 10170＋171＋179＋179＋182 ＝170(cm)． 甲班的样本方差为 s2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168 －170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(cm2)． (3)设身高为 176 cm 的同学被抽中的事件为 A.从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173 cm 的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)， (178,173)，(178,176)，(176,173)共 10 个基本事件，而事件 A 含有 4 个基本事件， ∴P(A)＝140＝25.
答案：45 三、解答题 9．从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人 在相同条件下各射击 10 次，命中的环数如下： 甲：7,8,6,9,6,5,9,9,7,4. 乙：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. (1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的极差、众数和中位数； (2)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数、方差、标准差； (3)比较两人的成绩，然后决定选择哪一个人参赛． 解析：(1)对于甲：极差是 9－4＝5，众数是 9，中位数是 7； 对于乙：极差是 9－5＝4，众数是 7，中位数是 7. (2) x 甲＝7＋8＋6＋9＋6＋ 105＋9＋9＋7＋4＝7， s2甲＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(9－7)2＋(7－ 7)2＋(4－7)2]＝2.8， s 甲＝ s2甲＝ 2.8≈1.673； x 乙＝9＋5＋7＋8＋7＋ 106＋8＋6＋7＋7＝7， s2乙＝110[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(7－ 7)2＋(7－7)2]＝1.2， s 乙＝ s2乙＝ 1.2≈1.095； (3)∵ x 甲＝ x 乙，s 甲>s 乙， ∴甲、乙两人的平均成绩相等，乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑， 可以选择乙参赛．
A．1 000,2 000
B．40,80
C．20,40
D．10,20
解析：低收入者的频率是 0.000 2×500＝0.1，故从低收入者中抽取 200×0.1＝20 人；
高收入者的频率是(0.000 3＋0.000 1)×500＝0.2，
故从高收入者中抽取 200×0.2＝40 人．故选 C.
答案：C
为 5,6，故中位数 me＝6＋2 5＝5.5，又众数 mo＝5，平均值 x ＝
3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2 30
＝13709，
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∴mo<me< x .故选 D.
答案：D 二、填空题 6．一组数据是 19,20，x,43，已知这组数据的平均数是整数，且 24<x<28，则这组数据 的平均数及方差分别为________、________. 解析：∵14(19＋20＋x＋43)＝824＋x为整数，且 24<x<28， ∴x＝26， ∴这组数据的平均数 x ＝82＋4 26＝27， 方差 s2＝14[(19－27)2＋(20－27)2＋(26－27)2＋(43－27)2] ＝14(64＋49＋1＋256) ＝14×370 ＝92.5. 答案：27 92.5 7．(2014 年高考江苏卷)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 60 株树木的 底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽 测的 60 株树木中，有________株树木的底部周长小于 100 cm.
求下列频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图．
频率分布表：
分组 …
频数 …
频率 …
频率/组距 …
[180,185)
x
y
z
[185,190)
m
n
p
…
…
…
…
解析：由频率分布直方图可知前五组的频率和是(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5 ＝0.82，第八组的频率是 0.008×5＝0.04，所以第六、七组的频率和是 1－0.82－0.04＝0.14， 所以第八组的人数为 50×0.04＝2，第六、七组的总人数为 50×0.14＝7.
解析：由图可知，甲的 5 次成绩分别是 88,89,90,91,92，易知甲的平均分为 90.乙的成绩 分别是 83,83,87,99，其中被污损的那次成绩为 90 到 99 中的某一个．设被污损的那次成绩为 x，由甲的平均成绩超过乙的平均成绩，得83＋83＋587＋x＋99<90.所以 x<98.又 x 是 90 到 99 的十个整数中的其中一个，其中有 8 个整数小于 98，所以 x<98 的概率为180＝45.
解析：由题意，在抽测的 60 株树木中，底部周长小于 100 cm 的株数为(0.015＋ 0.025)×10×60＝24.
答案：24 8.下面茎叶图是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平 均成绩超过乙的平均成绩的概率是________．
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满两年的 10 000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图所示)．为了分析其收
入与学历、职业、性别等方面的关系，要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 200 人作
进一步调查，其中月收入低于 1 500 元的称为低收入者，高于 3 000 元的称为高收入者，则
应在低收入者和高收入者中分别抽取的人数是( )
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10．(2015 年济南模拟)从某校高三年级 800 名男生中随机抽取 50 名学生测量其身高， 据测量，被测学生的身高全部在 155 cm 到 195 cm 之间．将测量结果按如下方式分成 8 组： 第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，下图是按上述分组得到的频率分 布直方图的一部分．已知第一组与第八组的人数相同，第七组与第六组的人数差恰好为第八 组与第七组的人数差．
由已知得 x＋m＝7，m－x＝2－m， 解得 x＝4，m＝3， 所以 y＝0.08，n＝0.06，z＝0.016，p＝0.012. 补充完成频率分布直方图如图所示．
B 组 高考题型专练
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1．(2014 年高考山东卷)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所 有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]， 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制 成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第 三组中有疗效的人数为( )
解析：(1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为 1－(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋ 0.002 4＋0.001 2)×50＝0.22，于是 x＝05.202＝0.004 4.
(2)数据落在[100,250)内的频率是(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，所以月用电量在 [100,250)内的户数为 100×0.7＝70.
解析：利用等量关系：频率＝小长方形的面积＝小长方形的高×组距来求解，可得样本 数据落在[5,9)内的频率为 0.05×4＝0.2.
频数 求样本数据落在某个区间上的频数时，我们可以利用频率＝总数这个等量关系来求解， 已知样本容量为 200，所以所求频数为 200×0.2＝40. 答案：0.2 40 5．(2013 年高考湖北卷)从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都 在 50 至 350 度之间，频率分布直方图如图所示． (1)直方图中 x 的值为________； (2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．
D．18、20
解析：由茎叶图可知，甲的中位数为 19，乙的中位数为 13.故选 A.
答案：A
3．某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时，错将其中一个数据 105 输入为 15，那
么由此求出的平均数与实际平均数的差为( )
A．3.5
B．－3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．3
D．－0.5
解析：设这 30 个数据为 105，x1，x2，…，x29， ∴实际的平均数为310(105＋x1＋x2＋…＋x29)
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A 组 考点基础演练
一、选择题
1．(2014 年高考陕西卷)设样本数据 x1，x2，…，x10 的均值和方差分别为 1 和 4，若 yi
＝xi＋a(a 为非零常数，i＝1,2，…，10)，则 y1，y2，…，y10 的均值和方差分别为( )
A．1＋a,4
B．1＋a,4＋a