18．（14分）（2013?汕头一模）已知函数f（x）
=x2﹣lnx．
（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调递减区间：
（3）设函数g（x）=f（x）﹣x2+ax，a＞0，若x∈（O，e]时，g（x）的最小值是3，求实数a的值．（e是为自然对数的底数）
考
点：
利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．3253948
专
题：
导数的综合应用．
分
析：
（1）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）求出原函数的导函数，由导函数小于0求出自变量x在定义域内的取值范围，则原函数的单调减区间可求．
（3）求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数g（x）的最小值是3，即可求出a的值．
解
答：
解：（1）∵f（x）=x2﹣lnx
∴f′（x）=2x﹣
．
∴f'（1）=1．
又∵f（1）=1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=x﹣1．即x﹣y=0．（2）因为函数f（x）=2x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），
由f′（x）=2x﹣
＜0，得0＜x＜
．
所以函数f（x）=x2﹣lnx的单调递减区间是（0，
）．
（3）∵g（x）=ax﹣lnx，∴g′（x）=
，令g′（x）=0，得x=
，
①当
≥e时，即0＜a≤
时，g′（x）=
≤0在（0，e]上恒成立，
则g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，a=
（舍去），
②当0＜
＜e时，即a＞
时，列表如下：
由表知，g（x）min=g（
）=1+lna=3，a=e2，满足条件．
综上，所求实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．
点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是中档题．
19．（14分）（2011?广东）设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1﹣a）x2﹣
2（1﹣a）x的单调性．
考
点：
利用导数研究函数的单调性．3253948 专
题：
计算题．
分析：求出函数的定义域，求出导函数，设g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞），讨论a=1，a＞1与0＜a＜1三种情形，然后利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性．
解答：解：定义域{x|x＞0}
f′（x）=
=
设g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞）
①若a=1，则g（x）=1＞0
∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．②若a＞1则2a（1﹣a）＜0，g（x）的图象开口向下，
此时△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）＞0 方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有两个不等的实根
不等的实根为x1=
，x2=
且x1＜0＜x2
∴在（0，
）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函数；
在（
，+∞）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是减函数；
③若0＜a＜1则2a（1﹣a）＞0，g（x）的图象开口向上，
此时△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）
可知当
≤a＜1时，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0，
即f'（x）≥0，f（x）是增函数；
当0＜a＜
时，△＞0，方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有两个不等的实根
不等的实根满足
＞
＞0
故在（0，
）和（
，+∞）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函数；
在（
，
）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是减函数．
高考（文科）数学导数实时训练
例1、（14分）（2013?汕头一模）已知函数f（x）=x2﹣lnx．
（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调递减区间：
（3）设函数g（x）=f（x）﹣x2+ax，a＞0，若x∈（O，e]时，g（x）的最小值是3，求实数a的值．（e是为自然对数的底数）
例2、（14分）（2011?广东）设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x的单调性．
高考（文科）数学导数实时训练
例1、（14分）（2013?汕头一模）已知函数f（x）=x2﹣lnx．
（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调递减区间：
（3）设函数g（x）=f（x）﹣x2+ax，a＞0，若x∈（O，e]时，g（x）的最小值是3，求实数a的值．（e是为自然对数的底数）
例2、（14分）（2011?广东）设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x的单调性．。