2 2 E(MSA ) = σ 2 + nσαβ + bnσα 2 2 E(MSB ) = σ 2 + nσαβ + anσβ 2 E(MSAB ) = σ 2 + nσαβ
统计量F ⑤ 统计量
E(MSe ) = σ 2
MSA MSB MSAB FA = ; FB = ; FAB = MSAB MSAB MSe
③ 总平方和与总自由度的分解
SST=SSA+SSB+SSAB+SSe dfT=dfA+dfB+dfAB+dfe 其中SSAB ,dfAB为A因素与B因素交互作用平方和与自 由度.
∑∑∑(x
i=1 j=1 k=1 a i=1
a
b
n
2
ijk
x )
b a b a b n 2 2 2
= bn∑(xi x ) + an∑(x j x ) + n∑∑(xij xi x j + x ) + ∑∑∑(xijk xij )2
b
n
b
n
x. j. = ∑∑xijk , x. j. = ∑∑xijk / an = x. j. / an
i=1 k =1 a b 1 i =1 k = a
x... = ∑∑∑xijk , x... = ∑∑∑xijk / abn
i=1 j =1 k =1 a 1 i=1 j = k =1
n
b
n
= ∑xi .. / abn = ∑x. j. / abn
交 叉 分 组 两 因 素 单 独 观 察 值 试 验 数 据 模 式
A 因素 B1
A1 A2 … Ai … Aa
合计x 合计 .j
B 因素
B2 … Bj x12 … x1j x22 … x2j … … … xi2 … xij … … … xa2 … xaj x.2 … x.j x.2 … x. j … … … … … … … … … Bb x1b x2b … xib … xab x.b x.b
j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 k =1
SST = SSA + SSB + SSAB + SSe SSAB = SST SSA SSB SSe
各项平方和,自由度及均方的计算公式如下:
矫正数 总 A因素 B因素 B 交互作用 误差
均方为
平方和 C=x2…/abn SST=∑∑∑x2ijk -C SSA=1/(bn) ∑x2i . .-C SSB=1/(an) ∑x2 .j .-C SSAB=SST-SSA-SSB -SSe SSe= ∑∑∑x2ijk - 1/n ∑∑x2ij .
A1 B1 B2 B2-B1 平均 470 480 10 475 A2 472 512 40 492 17 A2-A1 2 32 平均 471 496 25
由于因素水平的改变而引起的平均数的改变 ② 主效应 量称为主效应. 主效应. 主效应 A1 470 A2 472 A2-A1 2 平均 471
2. 两因素资料方差分析的数据模式 P137 表9-1
表 ij . = ∑xijk , xij . = ∑xijk / n 中 x
k =1 k =1 n n
xi .. = ∑∑xijk , xi .. = ∑∑xijk / bn = xi .. / bn
j =1 k =1 a n j =1 k =1 a n
显而易见,A的效应随着B因素水平的不同而不同,反之 亦然.我们说A,B两因素间存在交互作用,记为A×B.
互作效应可由 (A1B1+A2B2-A1B2-A2B1)/2来估计. 表11—1 中的互作效应为: (470+512-480-472)/2=15 我们把具有正效应的互作称为正交互作用(协同作用); 正交互作用(协同作用) 正交互作用 把具有负效应的互作称为负交互作用(拮抗作用);互作 负交互作用(拮抗作用) 负交互作用 效应为零则称无交互作用 无交互作用.没有交互作用的因素是相互独 无交互作用 立的因素,此时,不论在某一因素哪个水平上,另一因素 的简单效应是相等的.
其中,为总平均数;αi为Ai的效应;βj为Bj的效应; (α β)ij为Ai与Bj的互作效应;εijl为随机误差,相互独立,服 从N(0,σ2).且有:
∑α
i =1
a
i
= 0, ∑ β j = 0和∑ (αβ )ij = ∑ (αβ )ij = ∑∑ (αβ )ij = 0;
j =1 i =1 j =1 i =1 j =1
第11章 两因素方差分析
Two-factor analysis of variance
本章主要内容
第一节 两因素交叉分组试验资料的方差分析 一 两因素有重复观察值试验的方差分析 二 两因素单独观察值试验的方差分析 三 举例 第二节 数据转换
第一节 两因素交叉分组资料的方差分析
设试验考察A,B两个因素,A因素分a个水平,B 因素分b个水平,所谓交叉分组是指A因素每个水平 与B因素的每个水平都要碰到,两者交叉搭配形成
交互作用(互作, ③ 交互作用(互作,interaction) ) 在多因素试验中, 一个因素的作用要受到另一个因素的 影响,表现为某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效 应不同,或者说,某一因素的简单效应随着另一因素水平的 变化而变化时,则称该两因素存在交互作用. B1 B2 B2-B1 平均 A1 470 480 10 475 A2 472 512 40 492 A2-A1 2 32 17 平均 471 496 25
合计 平均 xi . xi. x1 . x2 . … xi . … x a. x..
x11 x21 … xi1 … xa1 x.1 x.1
x1. x2 .
… xi . …
xa .
平均 x. j
1 b 其 i = ∑xij , xi = ∑xij ; 中 x b j=1 j =1
a b 1 a x j = ∑xij , x j = ∑xij ; x = ∑∑xij a i=1 i=1 i=1 j =1 a
, i =1 2,..., a; xijk = +αi + β j + (αβ)ij +εijk j =1 2,..., b , k =1 2,..., n为随机误差,相互独立,服从N(0,σ2).
2 2 σβ ); (α β)ij服从N(0,σαβ );
2 E(MSB ) = σ 2 + anσβ 2 E(MSAB ) = σ 2 + nσαβ
E(MSe ) = σ 2
统计量F ⑤ 统计量
MSAB MSA MSB FA = ; FB = ; FAB = MSAB MSe MSe
变异来源 A因素 B因素 交互作用 误差 总变异
平方和 SSA SSB SSAB SSe SST
变异来源 A因素 B因素 交互作用 误差 总变异
平方和 SSA SSB SSAB SSe SST
自由度 dfA dfB dfAB dfe dfT
均 方 MSA MSB MSAB MSe
F值 FA=MSA/MSAB FB=MSB/MSAB FAB=MSAB/MSe
5. 混合效应模型(设A为固定因素,B为随机因素) 为固定因素, 为随机因素) ① 统计模型
a b SSAB n E(MSAB ) = E[ ] =σ 2 + (αβ)i2 ∑∑ (a 1)(b 1) (a 1)(b 1) i=1 j=1
SSe E(MSe ) = E[ ] =σ 2 ab(n 1)
统计量F ⑤ 统计量
MSA MSB MSAB FA = ; FB = ; FAB = MSe MSe MSe
自由度 dfA dfB dfAB dfe dfT
均 方 MSA MSB MSAB MSe
F值 FA=MSA/MSAB FB=MSB/MSe FAB=MSAB/MSe
二 两因素单独观察值试验的方差分析
A,B两个试验因素的全部ab个水平组合 中,每个水平组合只有一个观察值,全部试 验共有ab 个观察值.其数据模式如表11—2 所示.
B1 B2 B2-B1
480 512 32 496 10 40 25 475 492 17 平均 如表,当A因素由A1水平变到A2水平时,A因素的主效应 主效应为A2 主效应 水平的平均数减去A1水平的平均数.即 A因素的主效应=492-475=17 同理 B因素的主效应=496-471=25 主效应也就是简单效应的平均, 主效应也就是简单效应的平均 如(32+2)÷2=17 , (40+10)÷2=25
b
a
b
a
b
② 统计假设
零 设 01 :αi = 0(i =1 , a) 假 为 H ,2, 02 : βi = 0( j =1 , b) H ,2, 03 : αβi = 0(i =1 , a, j =1 , b) H ,2, ,2,
备择假设为 上述各参数至少有一类不为零
FAB <1 FAB ≈1 , 明 互 用 存 , 时 将 或 时 说 交 作 不 在 此 可 MSAB ,MS e合并起来作为σ 2的估计量,以提高精确度. SSA + SSe 即 MS = , 然 利 MSe为 母 算 计 F 后 用 ' 分 计 统 量 dfe + df AB
' e
需 注 的 查 时 由 也 应 为 e + df AB 要 意 是 表 自 度 相 变 df
MSA=SSA/dfA MSAB =SSAB / dfAB MSB=SSB/dfB MSe=SSe/dfe
自由度 dfT=abn-1 df A=a-1 df A=b-1 dfAB=(a-1)(b-1) dfe=ab(n-1)
④ 期望均方