2013-2014学年江苏省南京师大附中高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，满分42分，请把答案填写在答题纸相应位置上。

1．（3分）已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={0，3，5}，B={1，3}，则∁U（A∪B）=　_________　．　2．（3分）已知函数f（x）=lg（1﹣x），则其定义域为：　_________　．3．（3分）函数f（x）=3cos（x+）的最小正周期为　_________　．4．（3分）已知向量=（4，﹣3），=（x，6），且∥，则实数x的值为　_________　．5．（3分）如果函数f（x）=（a﹣1）x在R上是减函数，那么实数a的取值范围是　_________　．6．（3分）将函数f（x）=sin（x+）的图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式为　_________　．7．（3分）已知角α的终边经过点P（﹣1，3），则sinα﹣2cosα=　_________　．8．（3分）已知a=log2，b=20.6，c=0.62，则a，b，c的大小关系为　_________　（用“＜”连接）．9．（3分）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a﹣b的值为　_________　．10．（3分）在△ABC中，已知sinA+cosA=，则△ABC为　_________　三角形（在“锐角”、“直角”、“钝角”中，选择恰当的一种填空）．11．（3分）若函数f（x）=为奇函数，则实数a的值为　_________　．12．（3分）已知函数f（x）=，则f（f（3））的值为　_________　．13．（3分）在△ABC中，已知AB=AC，BC=4，点P在边BC上，•的最小值为　_________　．14．（3分）已知函数f（x）=x（2+a|x|），且关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若[﹣，]⊆A，则实数a的取值范围是　_________　．二、解答题：本大题共6小题，满分58分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（8分）已知向量=（2，1），=（1，﹣2）．（1）求（+）•（2﹣）的值；（2）求向量与+的夹角．16．（8分）已知tanα=3，π＜α＜，（1）求cosα的值（2）求sin（+α）+sin（π+α）的值．17．（10分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调增区间；（3）若x∈[﹣，0]，求函数f（x）的值域．18．（10分）如图，在▱ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠DAB=60°，M为DC的中点．（1）求•的值；（2）设=λ，若AC⊥DP，求实数λ的值．19．（10分）用一根长为10m的绳索围成一个圆心角为α（0＜α＜π），半径不超过2m的扇形场地，设扇形的半径为x m，面积为S m2．（1）写出S关于x的表达式，并求出此函数的定义域（2）当半径x和圆心角α分别是多少时，所围成的扇形场地的面积S最大，并求最大面积．20．（12分）已知M是所有同时满足下列两个性质的函数f（x）的集合：①函数f（x）在其定义域上是单调函数；②在函数f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b．请解答以下问题（1）判断函数g（x）=﹣x2（x∈[0，+∞））是否属于集合M？若是，请求出相应的区间[a，b]；若不是，请说明理由．（2）证明函数f（x）=3log2x属于集合M；（3）若函数f（x）=属于集合M，求实数m的取值范围．2013-2014学年江苏省南京师大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，满分42分，请把答案填写在答题纸相应位置上。

1．（3分）已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={0，3，5}，B={1，3}，则∁U（A∪B）=　{2，4}　．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由A与B求出两集合的并集，根据全集U求出并集的补集即可．解答：解：∵全集U={0，1，2，3，4，5}，A={0，3，5}，B={1，3}，∴A∪B={0，1，3，5}，则∁U（A∪B）={2，4}．故答案为：{2，4}点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（3分）已知函数f（x）=lg（1﹣x），则其定义域为：　（﹣∞，1）　．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：依据对数函数的定义知，其真数大于0，即由1﹣x＞0即可解得．解答：解：∵1﹣x＞0，∴x＜1，∴函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域（﹣∞，1）故答案为（﹣∞，1）点评：本题属于以函数的定义的基础题，也是高考常会考的题型．3．（3分）函数f（x）=3cos（x+）的最小正周期为　4π　．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用y=Acos（ωx+φ）的周期等于T=，从而得出结论．解答：解：函数f（x）=3cos（x+）的最小正周期为=4π，故答案为：4π．点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Acos（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．　4．（3分）已知向量=（4，﹣3），=（x，6），且∥，则实数x的值为　﹣8　．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：直接由向量共线的坐标运算得答案．解答：解：∵量=（4，﹣3），=（x，6），且∥，则4×6﹣（﹣3）x=0．解得：x=﹣8．故答案为：﹣8．点评：平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0，是基础题．5．（3分）如果函数f（x）=（a﹣1）x在R上是减函数，那么实数a的取值范围是　1＜a＜2　．考点：指数函数单调性的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的单调性与底数之间的关系确定底数的取值范围，即可求出实数a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）=（a﹣1）x在实数集R上是减函数，∴0＜a﹣1＜1，解得1＜a＜2．点评：本题主要考查指数函数的单调性与底数之间的关系，要求熟练掌握指数函数的图象和性质．6．（3分）将函数f（x）=sin（x+）的图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式为　y=sin（x+）　．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：将函数f（x）=sin（x+）的图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式为y=sin（x﹣+）=sin（x+），故答案为：y=sin（x+）．点评：本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7．（3分）已知角α的终边经过点P（﹣1，3），则sinα﹣2cosα= ．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：利用三角函数的定义，求出sinα、cosα，即可得到结论．解答：解：∵角α的终边经过点（﹣1，3），∴x=﹣1，y=3，r==∴sinα=，cosα=∴sinα﹣2cosα==，故答案为：．点评：本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（3分）已知a=log2，b=20.6，c=0.62，则a，b，c的大小关系为　a＜c＜b　（用“＜”连接）．考点：不等式比较大小；对数的运算性质．专题：不等式的解法及应用．分析：判断三个数与0，1的大小，即可得到结果．解答：解：a=log2＜0，b=20.6＞1，c=0.62∈（0，1）．所以a＜c＜b．故答案为：a＜c＜b．点评：本题考查数值大小的比较，注意中间量的应用，基本知识的考查．9．（3分）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a﹣b的值为　4　．考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中函数y=a x+b的图象经过（0，﹣1）点和（1，0）点，代入构造关于a，b的方程，解方程可得答案．解答：解：∵函数y=a x+b的图象经过（0，﹣1）点和（1，0）点，故1+b=﹣1，且a+b=0，解得：b=﹣2，a=2，故a﹣b=4，故答案为：4点评：本题考查的知识点是待定系数法，求函数的解析式，指数函数图象的变换，难度不大，属于基础题．10．（3分）在△ABC中，已知sinA+cosA=，则△ABC为　钝角　三角形（在“锐角”、“直角”、“钝角”中，选择恰当的一种填空）．考点：二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：由sinA+cosA=，求得sinA•cosA=﹣＜0，且0＜A＜π，可得A为钝角，从而得到△ABC是钝角三角形．解答：解：∵在△ABC中sinA+cosA=，平方可得1+2sinA•cosA=，∴sinA•cosA=﹣＜0，且0＜A＜π，故A 为钝角，故△ABC是钝角三角形．故答案为：钝角．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于中档题．11．（3分）若函数f（x）=为奇函数，则实数a的值为 ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据f（x）为奇函数有：f（﹣x）=﹣f（x），所以得到：，所以﹣（2a+1）=2a+1，所以2a+1=0，所以a=．解答：解：f（﹣x）==；∴2x2﹣（2a+1）x+a=2x2+（2a+1）x+a；∴﹣（2a+1）=2a+1，∴a=．故答案为：．点评：考查奇函数的概念，也可先将f（x）中的（2x+1）（x+a）展开，再求f（﹣x）．12．（3分）已知函数f（x）=，则f（f（3））的值为 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数的性质求解．解答：解：∵f（x）=，∴f（3）=log23，f（f（3））=（）=．故答案为：．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．13．（3分）在△ABC中，已知AB=AC，BC=4，点P在边BC上，•的最小值为　﹣1　．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：本题可利用等腰三角形底边上的中线垂直于底边，建立平面直角坐标系，设出动点P的坐标，将•转化为二次函数在区间上的值域，研究二次函数，得到本题结论．解答：解：∵在△ABC中，已知AB=AC，∴取BC中点O建立如图所示的平面直角坐标系．∵BC=4，∴B（﹣2，0），C（2，0）．设A（0，b），P（x，0），（﹣2≤x≤2）．∴，，∴•=﹣x（2﹣x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1．当且仅当x=1时，取最小值．∴•的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了平面向量的坐标运算，解题时要注意变量x的取值范围，本题思维难度不大，属于基础题，14．（3分）已知函数f（x）=x（2+a|x|），且关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若[﹣，]⊆A，则实数a的取值范围是　（﹣1，0）　．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：通过讨论x的范围，得出函数的表达式，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质，从而得出a的范围．解答：解：当x≥0时，f（x）=ax2+2x=a（x+）2﹣，当x＜0时，g（x）=﹣ax2+2x=﹣a（x﹣）2+，当a=0时，A是空集，舍去，当a＞0时，二次函数f（x）开口向上，对称轴x=﹣，f（x）在x≥0上是增函数，A是空集，二次函数g（x）开口向下，对称轴x=，g（x）在x＜0上是增函数，A是空集，当a＜0时，二次函数f（x）开口向下，在[0，﹣]上是增函数，在（，+∞）上是减函数，二次函数g（x）开口向上，在（﹣∞，]上是减函数，在（，0）上是增函数，∴a＜0时，A非空集，对于任意的x属于[﹣，]，f（x+a）＜f（x）成立．当x≤0时，g（x+a）＜g（x）=g（﹣x）≤0，由g（x）区间单调性知，x+a＜x且x+a＞﹣x，解得，﹣1＜a＜0当x＞0时，＜﹣，函数f（x）在单调增区间内满足f（x+a）＜f（x），∴a的取值范围为，﹣1＜a＜0，故答案为：（﹣1，0）．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．二、解答题：本大题共6小题，满分58分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。