七宝中学高二期中数学试卷一.填空题1.若直线a 、b 均平行于平面α,那么a 与b 位置关系是________ 【答案】相交、平行、异面 【解析】 【分析】依据题意画出图形,即可判断.【详解】解:由题意可知:直线//a 平面α,直线//b 平面α,则a 与b 的位置关系是:图1是相交;图2是平行;图3是异面直线.故答案为:相交、平行、异面【点睛】本题考查空间直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系,考查空间想象能力.2.若1121101211(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+,则2202101311()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=________【答案】177147- 【解析】 【分析】利用赋值法求二项式展开式系数和,令1x =则,可得01211a a a a +++⋅⋅⋅+的值,令1x =-则,可得01231011a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-的值,从而得解;【详解】解:因为1121101211(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+ 令1x =得11012113a a a a +++⋅⋅⋅+=,令1x =-得()110123101111a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=-=-则2202101311()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+[][]0210131102101311()()()()a a a a a a a a a a a a =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()1131=⨯-177147=-故答案为:177147-【点睛】本题考查利用赋值法求二项式展开式的系数和的问题,属于中档题.3.某学生在上学的路上要经过三个路过,假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为______ 【答案】427【解析】 【分析】依题意,在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的,要使这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯,即前两个路口遇到的都不是红灯,第三个路口恰是红灯,根据相互独立事件同时发生的概率公式计算可得;【详解】解:依题意,在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的,要使这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯,即前两个路口遇到的都不是红灯,第三个路口恰是红灯,根据相互独立事件同时发生的概率公式可得11141133327P ⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为:427【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式的应用,属于基础题.4.在120°的二面角内有一点P ,P 到二面角的两个半平面的距离分别为1米和3米,则P 到该二面角棱的距离为________【解析】 【分析】设垂足分别为C ,B ,先计算CB 的长,再利用PCB 外接圆的直径为P 到棱的距离,即可求得结论.【详解】由题意,设垂足分别为C ,B ,则在PCB ∆中,1PC =,3PB =,60CPB ,219213cos 7CB CPB =+-⨯⨯⨯∠= 7CB ∴=设P 到棱的距离为l ,则221sin120CB l ==︒ 故答案为:221【点睛】本题考查点线距离的计算,解题的关键是正确运用余弦定理,正弦定理,属于中档题.5.若1223211333385n n n n n n n C C C C ---+++++=,则n 的值为 .【答案】4 【解析】 【分析】由题意可得 1+3∁n 1+32∁n 2+33∁n 3+…+3n ﹣1∁n n ﹣1+3n =3×85+1,再利用二项式定理解方程求得n 的值. 【详解】解:由题意可得3[∁n 1+3∁n 2+32∁n 3+…+3n ﹣2∁n n ﹣1+3n ﹣1 ]=3×85, ∴1+3∁n 1+32∁n 2+33∁n 3+…+3n ﹣1∁n n ﹣1+3n =3×85+1, 即(1+3)n=3×85+1=256,∴n =4, 故答案为4.【点睛】本题考查组合数公式,二项式定理,得到即(1+3)n =3×85+1,是解题的关键,属于基础题.6.7271除以100的余数是________ 【答案】41 【解析】 【分析】利用二项式定理化简()727271701=+,求出展开式的后2项,即可得到7271除以100的余数;【详解】解:()727217172727270727127270170177070C C C C +==++++21072701()m m N =+⨯+∈ 2105041m =+即7271除以100的余数为41. 故答案为:41.【点睛】本题考查二项式定理的应用,注意二项式定理的展开式的后2项,属于基础题. 7.甲、乙、丙、丁四位同学各自在五一5天小长假里选择连续两天旅游,则至少有两位同学选择时间相同的概率为________ 【答案】2932【解析】 【分析】依题意,本题实际为甲、乙、丙、丁四位同学在前4天随机选一天出发外出旅游,首先求出基本事件总数,至少有两位同学选择时间相同,其对立事件为四位同学的出发时间都不相同,求出四位同学的出发时间都不相同的事件数,最后根据古典概型的概率公式计算可得; 【详解】解:依题意可知,甲、乙、丙、丁四位同学在前4天随机选一天出发外出旅游, 则共有4444256⨯⨯⨯=(种),至少有两位同学选择时间相同,其对立事件为四位同学的出发时间都不相同,而四位同学的出发时间都不相同有4424A =(种),故至少有两位同学选择时间相同的概率2429125632P =-= 故答案为:2932【点睛】本题考查古典概型的概率计算,对立事件的概率公式的应用,属于基础题. 8.设a 、b 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列四个命题: ①若a b ⊥,a α⊥,则b ∥α②若a ∥α,αβ⊥,则a β⊥③若a β⊥,αβ⊥,则a ∥α④若a b ⊥,a α⊥,b β⊥,则αβ⊥ 其中正确的命题序号是________【答案】④ 【解析】 【分析】根据题意,结合线面垂直、面面垂直的有关性质、判定定理可得①可能b α⊂;②只有a 与α,β的交线垂直,才能够推出a β⊥;③a 可能在平面α内;根据两个平面的法线所成角与两平面所成角相等或互补,可证出④是真命题.由此即可得到本题答案.【详解】解:对于①,根据a b ⊥,a α⊥,则//b α或b α⊂,不一定得出//b α,由此可得①不正确;对于②,若//a α,αβ⊥,则//a β或a β⊂,或a 与β相交,故②是假命题; 对于③,a β⊥,αβ⊥,则//a α或a α⊂,不一定得出//a α,由此可得③不正确; 对于④,由a α⊥且b β⊥,可得直线a 、b 所成角或其补角等于平面α、β所成角, 又因为a b ⊥,可得直线a 、b 所成角等于90︒,由此可得αβ⊥,所以④是真命题 综上所述,可得正确命题的序号为④ 故答案为:④【点睛】本题给出关于空间位置关系的几个命题,要我们找出其中的真命题.着重考查了直线与平面平行、垂直的判定与性质,以及面面平行、面面垂直的判定与性质等知识,属于基础题.9.若y =y 的取值范围是________【答案】 【解析】 【分析】首先求出x 的取值范围,令242sin x t =+,0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦将函数转化为三角函数,再根据三角恒等变换及三角函数的性质计算可得;【详解】解:因为y =所以401830x x -≥⎧⎨-≥⎩解得46x ≤≤,令242sin x t =+,0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则y t t ==+3t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以3y t π⎛⎫=+⎪⎝⎭, 因为0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以5,336t πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以1sin ,132t π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以y ∈故答案为:【点睛】本题考查函数的值域的计算,换元法的应用,三角函数及三角恒等变换公式的应用,属于中档题.10.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员3人,组成5人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法(用数字作答) 【答案】1000 【解析】 【分析】根据题意,分为1女4男和2女3男,再利用排列、组合求解每类的种数,结合计数原理,即可求解.【详解】由题意,可分为两类:第一类:先选1女4男,有142630C C =种,再在这5人中选2人作为队长和副队长有2520A =种,所以共有3020600⨯=; 第二类:先选2女3男,有232620C C =种,再在这5人中选2人作为队长和副队长有2520A =种,所以共有2020400⨯=,根据分类计数原理,共有6004001000+=种不同的选法. 故答案为:1000【点睛】本题主要考查了分类计数原理和分步计数原理,以及排列、组合的综合应用,其中解答中认真审题,合理分类,结合排列、组合的知识求得每类的种数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力.11.在5月6日返校体检中,学号为i (1,2,3,4,5i =)的五位同学的体重增加量()f i 是集合{1,1.5,2,2.5,3,3.5}kg kg kg kg kg kg 中的元素,并满足(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ≤≤≤≤,则这五位同学的体重增加量所有可能的情况有________种 【答案】252 【解析】 【分析】按照五位同学的体重增加量数字的个数分五种情况讨论得解.【详解】当五位同学的体重增加量是1个数字时,有166C =种情况;当五位同学的体重增加量是2个不同数字时,有124660C C =种情况(类似隔板法,把五个同学按照1,2,3,4,5的顺序排好,他们之间有4个空,从4个空里选1个空放隔板把他们分隔成两个部分,有14C 种方法,再从6个体重增加量的集合里选两个数给他们,有26C 种方法,即此时有124660C C =种方法,下面操作方法都相同.);当五位同学的体重增加量是3个不同数字时,有2346120C C =种情况; 当五位同学的体重增加量是4个不同数字时,有324660C C =种情况;当五位同学的体重增加量是5个不同数字时,有566C =种情况.所以共有6+60+120+60+6=252种不同的方法. 故答案为:252【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.设S 为一个非空有限集合,记||S 为集合S 中元素的个数,若集合S 的两个子集A 、B 满足:||AB k =并且A B S =,则称子集{,}A B 为集合S 的一个“k —覆盖”(其中0||k S ≤≤),若||S n =,则S 的“k —覆盖”个数为________【答案】2k n k n C -⋅【解析】【分析】 当||AB k =时,共有k nC 种情况,当A B S =时,共有2n k -种情况,由此可计算得到答案.【详解】由题意,当||A B k =时,即A B 中有k 个元素,所以共有kn C 种情况,此时集合S 中剩下n k -个元素,其子集个数为2n k -个, 即AB S =共有2n k -种情况,所以S 的“k —覆盖”个数为2k n kn C -⋅. 故答案为:2k n kn C -⋅【点睛】本题主要考查组合数的应用和集合子集个数的应用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 二.选择题13.在一次数学测试中,高二某班40名学生成绩的平均分为82,方差为10.2,则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是( ) A. 100 B. 85 C. 65 D. 55【答案】D 【解析】 【分析】可检验与平均数差最大的数,计算2()x x -,看是否满足题意,即可求得答案.详解】方差()22110.2nii x x s n=-==∑,40n =∴()402110.240408i i x x =-=⨯=∑若存在55x =,则()402221()(8255)729408i i x x x x =-=-=>=-∑导致方差必然大于10.2,不符合题意.∴55不可能是该班数学成绩故选:D.【点睛】本题考查平均数、方差的相关运算,解题关键是掌握方差的计算公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.14.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中与AD 1成600角的面对角线的条数是 ( ) A. 4条 B. 6条C. 8条D. 10条【答案】B 【解析】试题分析:12条对角线中与之平行的1BC ,与之垂直的11,A D B C ,其余的所成角为60 考点:两直线所成角点评:两直线所成角包括相交角和异面角15.电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59,每一时刻都由4个数字组成,则一天中任一时刻显示的四个数字之和为22的概率为( ) A.1240B.1160C.71440D.1180【答案】B 【解析】 【分析】电子钟一天显示的时间共有1440种,显示的四个数字之和为22的有9种,再结合古典概型概率公式求解即可.【详解】解: 电子钟一天显示的时间共有24601440⨯=种,显示的四个数字之和为22的有08:59,17:59,09:49,18:49,09:58,18:58,19:39,19:48,19:57共9种,即一天中任一时刻显示的四个数字之和为22的概率为911440160=, 故选:B.【点睛】本题考查了古典概型概率公式,重点考查了阅读能力,属基础题.16.四棱锥P ABCD -底面为正方形,侧面PAD 为等边三角形,且侧面PAD ⊥底面ABCD ,点M 在底面正方形ABCD 内运动,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先找出符合条件的特殊位置,然后根据符合条件的轨迹为线段PC 的垂直平分面与平面AC 的交线,即可求得点M 的轨迹.【详解】根据题意,可知PD DC =,则点D 符合“点M 在正方形ABCD 内的一个动点”, 且满足MP MC =,设AB 的中点为E ,根据题目条件可知PAE ∆和CBE ∆全等,所以PE CE =,点E 也符合“点M 在正方形ABCD 内的一个动点,且满足MP MC =”, 故动点M 的轨迹肯定过点D 和点E ,而到点P 到点C 的距离相等的点为线段PC 的垂直平分面, 线段PC 的垂直平分面与平面AC 的交线是一直线, 所以M 的轨迹为线段DE . 故选:A .【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质,以及平面的基本性质等知识的应用,同时考查了空间想象能力,以及推理能力. 三.解答题17.若66nx x ⎛+ ⎪⎝⎭ 展开式中第2,3,4项的二项式系数成等差数列. (1)求n 的值.(2)此展开式中是否有常数项?为什么? 【答案】(1)7;(2)无常数项 【解析】试题分析:(1)根据题设条件可得132=2n n n C C C +,解方程即可求得n 的值;(2)先写出二项展开式的通项,然后令x 的次方为0,求出k 即可判断. 试题解析:(1)26616()()n kkn kk kk nn T C x C x x--+=⋅⋅=⋅.由题意可知132=2n n n C C C +,即29140n n -+=,解得2n =(舍)或7n =.∴7n = (2)由(1)知72617k k k T C x-+=⋅.当7206k -=时,72k =,由于k N *∉,所以此展开式中无常数项. 18.已知矩形ABCD 所在平面外一点P ,PA ⊥平面ABCD ,E 、F 分别是AB 、PC 的中点.(1)求证:EF ∥平面PAD ;(2)若45PDA ∠=︒,求EF 与平面ABCD 所成的角的大小. 【答案】(1)证明见解析;(2)45°. 【解析】 【分析】(1)取PD 中点G ,连接AG 、FG ,利用三角形中位线定理,我们易判断四边形AEFG 是平行四边形,//AG EF ,进而结合线面平行的判定定理,我们易得到//EF 平面PAD ; (2)过G 作GH AD ⊥,垂足为H ,则可得GAH ∠为AG 与平面ABCD 所成的角,即为所求角.【详解】(1)证明:取PD 中点G ,连接AG 、FG , 因为EF 分别为AB 、PC 的中点, 所以12AE AB =,//GF DC 且12GF DC =, 又在矩形ABCD 中//AB CD 且AB CD =, 所以//AE GF 且AE GF =, 所以四边形AEFG是平行四边形,所以//AG EF 且AG EF =又AG ⊂平面PAD ,EF ⊂/平面PAD . 所以//EF 平面PAD ; (2)解://AG EF ,AG ∴与平面ABCD 所成的角等于EF 与平面ABCD 所成的角过G 作GH AD ⊥,垂足为H ,则//GH PAPA ⊥平面ABCD ,GH ∴⊥平面ABCD ,GAH ∴∠为AG 与平面ABCD 所成的角,即为所求角, 45PDA ∠=︒,G 为PD 的中点 45GAH ∴∠=︒即EF 与平面ABCD 所成的角为45︒.【点睛】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定,考查线面角,熟练掌握判定定理内容、正确找出线面角是关键.19.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,90ABC ∠=︒,AB a ,3AD a =,且25arcsinADC ∠=,又PA ⊥平面ABCD ,AP a =.求:(1)二面角P CD A --的大小(用反三角函数表示); (2)点A 到平面PBC 的距离. 【答案】(1)5;(22. 【解析】 【分析】(1)过A 作AE CD ⊥,连接PE ,根据PA ⊥平面ABCD ,得到PA CD ⊥,由线面垂直判定定理得到CD ⊥平面PAE ,从而PEA ∠二面角P CD A --的平面角,然后根据25arcsin5ADC ∠=求得AE ,再利用tan AP PEA AE ∠=求解.(2)过A 作⊥AF PB ,根据90ABC ∠=︒,得到AB CB ⊥,易得PA BC ⊥,从而得到BC ⊥平面PAE ,由面面垂直的判定定理可得PAB ⊥平面PBC ,得到AF ⊥平面PBC ,即AF 为点A 到平面PBC 的距离,然后在Rt PAB 中求解. 【详解】(1)如图所示:过A 作AE CD ⊥,连接PE ,因为PA ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD 所以PA CD ⊥,又PA AE A =所以CD ⊥平面PAE ,所以PEA ∠二面角P CD A --的平面角, 因为25ADC ∠= 所以65sin 5AE AD ADC =⨯∠=, 所以5tan AP PEA AE ∠==所以5arctanPEA ∠=, 即二面角P CD A --的大小5. (2)如图所示:过A 作⊥AF PB , 因为90ABC ∠=︒, 所以AB CB ⊥因为PA ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD 所以PA BC ⊥,又PAAB A =所以BC ⊥平面PAE ,又BC ⊂平面PBC ,所以PAB ⊥平面PBC ,又平面PAB ⋂平面PBC PB =, 所以AF ⊥平面PBC ,所以AF 为点A 到平面PBC 的距离, 在Rt PAB 中,222PA AB AF a PB a⨯===. 所以点A 到平面PBC 的距离为22a . 【点睛】本题主要考查二面角的求法以及点到直线的距离,还考查了转化化归的思想和逻辑推理,运算求解的能力,属于中档题.20.是否存在等差数列{}n a ,使012112312n n n n n n n a C a C a C a C n +++++⋅⋅⋅+=⋅对任意n *∈N 都成立?若存在,求出数列{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由. 【答案】存在,44n a n =-. 【解析】 【分析】假设存在等差数列1(1)n a a n d=+-,满足题意,通过对012112312n n n n n n n a C a C a C a C n +-+++⋅⋅⋅+=⋅整理,找出10a =,4d =,即可说明存在数列,求出数列{}n a 的通项公式即可.【详解】证明:假设存在等差数列1(1)n a a n d =+- 满足要求012123121101()(2)n n n n n n n n n n n n n n a C C C d C C n a C a C C a C C a ++++⋅=++⋯++++⋯+⋅⋅+0111111112()22n n n n n n n a nd C C C a nd -----=+++⋯+=+ 依题意111222n n n a nd n -++=,1(2)02da n +⋅-=对*n N ∈恒成立, 10a ∴=,4d =,所求的等差数列存在,其通项公式为44n a n =-.【点睛】本题考查数列的存在性问题,数列求和,数列的应用,以及二项式定理的应用,是难度较大题目.21.规定(1)(1)!mx x x x m C m -⋅⋅⋅-+=,其中x ∈R ,m 是正整数,且01x C =,这是组合数mnC (n 、m 是正整数,且m n ≤)的一种推广.(1)求412C -的值;(2)设0x >,当x 为何值时,313()xx C C 取得最小值?(3)组合数的两个性质:①m n m n n C C -=.②11m m m n n n C C C -++=.是否都能推广到mx C (x ∈R ,m 是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,则说明理由.【答案】(1)4121365C -=;(2)当43x =时,313()x x C C 取得最小值(3)性质①不能推广,详见解析;性质②能推广,它的推广形式为11m m mx x x C C C -++=(x ∈R ,m 是正整数),证明见解析; 【解析】 【分析】(1)由题意可得241(12)(13)(14)(15)4!C -----=,运算求得结果.(2)根据13323(1)(2)1131[()]()64163x x C x x x C x x --==--,再利用二次函数的性质求得式子的最小值.(3)性质①不能推广,通过举反例可知.性质②能推广,它的推广形式是11m m mx x x C C C -++=,x ∈R ,m 是正整数.根据题中的规定化简运算可以证得.【详解】(1)由题意可得241(12)(13)(14)(15)13654!C -----==.(2)13323(1)(2)1131[()]()64163x x C x x x C x x --==--, 0x,故当134x =,即43x =时,313()x x C C 取得最小值。