【题型综述】综合求证问题有以下类型：（1）证明直线过定点，设出直线方程，利用题中的条件与设而不求思想找出曲线方程中参数间的关系，即可求出定点.(2)定值问题就是证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标，通过运算得知求证目标的取值与变化的量无关．当使用直线的斜率和截距表示直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决．（3）恒等式的证明问题，将恒等式转化为常见的弦长、距离之比或向量关系等问题，进而转化为直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.(4)几何图形性质的证明，利用几何图形性质与向量运算的关系，转化为向量的运算或直线的斜率关系，再用直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.【典例指引】类型一证明分点问题例1【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点..直线ONB故A 为线段BM 的中点.类型二几何证明问题例2.【2015高考湖南，理20】已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC与BD同向（ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形，令0=y ，得，而11(,1)FA x y =- ，于是，因此AFM ∠是锐角，从而180MFD AFM ∠=-∠ 是钝角.，故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.类型三等式证明例3【2015高考上海，理21】已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形CD AB 的面积为S .（1）设()11,x y A ，()22C ,x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明（2）设1l 与2l 的斜率之积为，求面积S 的值.类型四长度关系证明例4.【2016高考四川】已知椭圆EE上. (Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E 交于【扩展链接】1.圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是：k ＝－b 2x 0a 2y 0(椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1)，k ＝b 2x 0a 2y 0(双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1)，k ＝p y 0(抛物线y 2＝2px )，其中k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦端点的坐标．2.给出0=⋅MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m MB MA ,等于已知AMB ∠是钝角,给出0>=⋅m MB MA ,等于已知AMB ∠是锐角；3.在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+AD AB AD AB ，等于已知ABCD 是菱形;4.在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形;【同步训练】1．如图，圆C 与x 轴相切于点T（2，0），与y 轴正半轴相交于两点M，N（点M 在点N 的下方），且|MN|=3．（1）求圆C 的方程；（2）过点M 任作一条直线与椭圆相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．【思路点拨】（1）设圆C 的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r），根据|MN|=3，利用弦长公式求得r 的值，可得圆C 的方程．（2）把x=0代入圆C 的方程，求得M、N 的坐标，当AB⊥y 轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM，当AB 与y 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y=kx+1，代入椭圆的方程，利用韦达定理求得K AB +K BN =0，可得∠ANM=∠BNM．综上所述，∠ANM=∠BNM．2.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（，）两点．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．求证：++为定值．【思路点拨】（1）把（1，1）与（，）两点代入椭圆方程解出即可．（2）由|MA|=|MB|，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B 关于原点对称．①若点A、B 是椭圆的短轴顶点，则点M 是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点A、B 是椭圆的长轴顶点，则点M 在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可．②若点A、B、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为y=kx（k≠0），则直线OM 的方程为，设A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），与椭圆的方程联立解出坐标，即可得到=，同理，代入要求的式子即可．∴=，同理，所以=2×+=2，故=2为定值．3.在平面直角坐标系xOy中，动点p（x，y）（x≥0）满足：点p到定点F（，0）与到y轴的距离之差为．记动点p的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）过点F的直线交曲线C于A、B两点，过点A和原点O的直线交直线x=﹣于点D，求证：直线DB平行于x轴．【思路点拨】（1）利用动点p（x，y）（x≥0）满足：点p到定点F（，0）与到y轴的距离之差为．列出关系式，即可求曲线C 的轨迹方程；（2）过点F 的直线交曲线C 于A、B 两点，过点A 和原点O 的直线交直线x=﹣于点D，设A 的坐标为（），求出OM 的方程为y=x（y 0≠0），推出点D 的纵坐标然后求出直线AF 的方程，求出点B的纵坐标，判断直线DB 平行于x 轴．即可得到结果．4.在平面直角坐标系xoy 中，已知点P（2，1）在椭圆C：上且离心率为．（1）求椭圆C 的方程；（2）不经过坐标原点O 的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点（不与点P 重合），且线段AB 的中为D，直线OD 的斜率为1，记直线PA，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1•k 2为定值．【思路点拨】（1）根据椭圆的离心率公式，将P 代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；（2）根据中点坐标公式及直线斜率公式，求得x 1+x 2=y 1+y 2，利用点差法求得直线l 的斜率，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k 1•k 2为定值．设直线l 的方程y=﹣x+t，，整理得：3x 2﹣4tx+4t 2﹣12=0，则x 1+x 2=，x 1x 2=，则k 1•k 2==，===，∴k 1•k 2为定值．5.在平面直角坐标系xOy 中，直线l：x=﹣1，点T（3，0），动点P 满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P 的轨迹为曲线C．（1）求曲线C 的方程；（2）设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点，且直线PQ 过点（1，0），线段PQ 的中点为M，直线l 与x 轴的交点为N．求证：向量与共线．【思路点拨】（1）设P（x 0，y 0），则S（﹣1，y 0），由此利用向量的数量积能求出曲线C 的方程．（2）设Q（x 1，y 1），则，从而y 2=4x，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），由PQ 过F，得，，进而=（），=（），由此能证明向量与共线．假设=成立，∴，解得，∴，∴向量与共线．6.已知动点A，B在椭圆+=1上，且线段AB的垂直平分线始终过点P（﹣1，0）．（1）证明线段AB 的中点M 在定直线上；（2）求线段AB 长度的最大值．【思路点拨】（1）设A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），线段AB 的中点M（x 0，y 0），当AB 与x 轴垂直时，线段AB 的中点M（﹣2，0），在直线y=0，当AB 与x 轴不垂直时，利用平方差法推出，说明M 在直线x=﹣2上．（2）当AB 与x 轴垂直时，，当AB 与x 轴不垂直时，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求解即可．，∴x 1+x 2=﹣4，，…（8分）∴=（11分）∴．…（12分）7.已知椭圆E 的焦点在x 轴上，长轴长为2，离心率为；抛物线G：y 2=2px（p＞0）的焦点F 与椭圆E的右焦点重合，若斜率为k的直线l过抛物线G的焦点F与椭圆E交于A，B两点，与抛物线G相交于C，D两点．（1）求椭圆E及抛物线G的方程；（2）证明：存在实数λ，使得+为常数，并求λ的值．【思路点拨】（1）由2a=2，根据椭圆的离心率公式即可求得c的值，代入，b2=a2﹣c2=1，求得椭圆方程，由=c，求得c的值，求得抛物线方程；（2）设直线l的方程，分别代入椭圆方程及抛物线方程，分别求得丨AB丨及丨CD丨，由+=为常数，则须有20+λ=4，即可求得λ的值．8.已知定点Q（，0），P为圆N：上任意一点，线段QP的垂直平分线交NP于点M．（1）当P点在圆周上运动时，求点M（x，y）的轨迹C的方程；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，且，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程．【思路点拨】（1）求出圆N的圆心坐标为N（，0），半径为，|MP|=|MQ|，得到|MN|+|MQ|=|MN|+|MP|=|NP|=＞|NQ|，利用椭圆的定义，求解点M的轨迹C的方程．（2）当直线的斜率存在时，设直线l 为y=kx+m，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线与椭圆的方程，得消去y，通过直线与椭圆有两个不同的交点，利用判别式以及韦达定理，通过，求解即可，当直线的斜率不存在时，直线为x=m，验证求解即可．由韦达定理得：．…（8分）∴．∵，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即，…（9分）整理得m 2=2k 2+2满足①式，∴，即原点到直线l 为的距离是，∴直线l 与圆x 2+y 2=2相切．…（10分）当直线的斜率不存在时，直线为x=m，与椭圆C 交点为A（m，），B（m，）∵，∴．此时直线为x=，显然也与圆x 2+y 2=2相切．…（11分）综上，直线l 与定圆E：x 2+y 2=2相切．…（12分）9.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F 1，F 2，离心率为．设过点F 2的直线l 被椭圆C 截得的线段为RS，当l⊥x 轴时，|RS|=3（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点T（4，0），证明：当直线l 变化时，直线TS 与TR 的斜率之和为定值．【思路点拨】（1）由题意可知：a=2c，=3，且a 2=b 2+c 2，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；（2）分类讨论，当直线l 不垂直与x 轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k TR +k TS =0，即可证明直线TS 与TR 的斜率之和为定值．由R，S 两点的直线y=k（x﹣1），故y 1=k（x 1﹣1），y 2=k（x 2﹣1），则=，由2x 1x 2﹣5（x 1+x 2）+8=2×﹣5×+8=0，∴k TR +k TS =0，∴直线TS 与TR 的斜率之和为0，综上所述，直线TS 与TR 的斜率之和为为定值，定值为0．10.已知椭圆E：中，a=b，且椭圆E 上任一点到点的最小距离为．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）如图4，过点Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线l 1，l 2（l 1，l 2不重合）分别交椭圆E 于点A，C，B，D，求证：|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．【思路点拨】（1）设M（x，y）为椭圆E 上任一点，由，椭圆E 的方程可化为，通过求解椭圆E 上任一点到点的最小距离为．即可求出椭圆的方程．（2）直线l 1，l 2不重合，则直线l 1，l 2的斜率均存在，设直线l 1：y=k（x﹣1）+1，点A（x 1，y 1），C（x 2，y 2）．直线l 2：y=﹣k （x ﹣1）+1．联立消去y ，由韦达定理以及弦长公式化简，可得|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．11.椭圆C ：过其右焦点F 与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M ，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点P 是椭圆上的动点，且点P 与点A ，B 不重合，直线PA 与直线3x =相交于点S ，直线PB 与直线3x =相交于点T ，求证：以线段ST 为直径的圆恒过定点.【思路点拨】(1)由题意可得21a b ==，，则椭圆C(2)由题意可得()35S k ，，则以线段ST12.已知点()11,A x y ，()22,(D x y 其中12)x x <是曲线()240y x y =≥上的两点，A ，D 两点在x 轴上的射影分别为点B ，C，且（1）当点B 的坐标为()1,0时，求直线AD 的斜率；（2）记OAD ∆的面积为1S ，梯形ABCD 的面积为2S，求证：；(2)设直线AD 的方程为y kx m =+.联立直线与抛物线的方程，可得，。