3 设 P′ A＝ x，则 AP＝ x，
2
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根据勾股定理， PP′＝ AP2－ P′ A2＝
5 则 PB＝ 2 x，
5 ∴ PB： P′ A＝ 2 x： x＝ 5 ： 2． 选 C．
9 x
2－
x2＝
5 x，
4
2
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同类题型 2.1 如图，△ ABC为等边三角形，以 AB为边向形外作△ ABD，使∠ ADB＝ 120°，再以点 C为旋转中心把△
∴当△ MNB的面积最大时，△ MNO的面积最小，
60°到 BP′， 已知∠ AP′B＝ 150°，P′A：P′ C＝ 2：
A． 2 ：1
B ．2：1
C． 5 ：2
D． 3 ：1
解：如图，连接 AP，∵ BP绕点 B 顺时针旋转 60°到 BP′，
∴ BP＝ BP′，∠ ABP＋∠ ABP′＝ 60°， 又∵△ ABC是等边三角形， ∴ AB＝ BC，∠ CBP′＋∠ ABP′＝ 60°， ∴∠ ABP＝∠ CBP′， 在△ ABP和△ CBP′中，
个单位后再向上平移 4 个单位到达 B1 点，若设△ ABC的面积为 S1 ，△ AB1 C的面积为 S2 ，则 S1 ，S2 的大小关系
为（ ）
A． S1＞ S2
B ． S1＝S2
C ． S1＜ S2
D ．不能确定
例 2． 如图， P 是等边△ ABC外一点， 把 BP绕点 B顺时针旋转 60°到 BP′， 已知∠ AP′B＝ 150°，P′A：P′ C＝ 2：
根据△ CNB≌△ DMC，可得 CM＝ BN，
又∵∠ OCM＝∠ OBN＝45°， OC＝OB，
∴△ OCM≌△ OBN（ SAS），
∴ OM＝ ON，∠ COM＝∠ BON，
∴∠ DOC＋∠ COM＝∠ COB＋∠ BPN，即∠ DOM＝∠ CON，
又∵ DO＝ CO，
∴△ CON≌△ DOM（ SAS），故②正确； ∵∠ BON＋∠ BOM＝∠ COM＋∠ BOM＝ 90°，
选 B．
同类题型 1.2 已知：如图△ ABC的顶点坐标分别为 A（－ 4，－ 3）， B（ 0，－ 3），C（－ 2， 1），如将 B 点向右平移 2
个单位后再向上平移 4 个单位到达 B1 点，若设△ ABC的面积为 S1 ，△ AB1 C的面积为 S2 ，则 S1 ，S2 的大小关系
为（ ）
A． S1＞ S2
②∵△ BCD绕着点 C按顺时针方向旋转 ∴ CD＝ CE，∠ DCE＝ 60°， ∴△ CDE为等边三角形， ∴∠ E＝ 60°， ∴∠ BDC＝∠ E＝ 60°， ∴∠ CDA＝ 120°－ 60°＝ 60°， ∴ DC平分∠ BDA； ③∵∠ BAC＝ 60°， ∠ E＝ 60°， ∴∠ E＝∠ BAC．
BP＝ BP′ ∵ ∠ ABP＝∠ CBP′ ，
AB＝ BC ∴△ ABP≌△ CBP′（ SAS）， ∴ AP＝ P′ C， ∵ P′ A： P′ C＝ 2： 3，
3 ∴ AP＝ 2 P′A， 连接 PP′，则△ PBP′是等边三角形， ∴∠ BP′ P＝ 60°， PP′＝ PB， ∵∠ AP′ B＝ 150°， ∴∠ AP′ P＝ 150°－ 60°＝ 90°， ∴△ APP′是直角三角形，
的有（
）
A． 1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
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同类题型 2.2 如图，在正方形 ABCD中， O是对角线 AC与 BD的交点， M是 BC边上的动点（点 M不与 B， C重合），
CN⊥ DM，CN与 AB交于点 N，连接 OM，ON，MN．下列五个结论： ①△ CNB≌△ DMC；②△ CON≌△ DOM；③△ OMN∽△ OAD；
同类题型 2.4 如图，在矩形 ABCD中， AB＝5， BC＝3，将矩形 ABCD绕点 B 按顺时针方向旋转得到矩形 GBEF，点 A 落在矩形 ABCD的边 CD上，连结 CE， CF，若∠ CEF＝ α ，∠ CFE＝ β ，则 tan α ﹒ tan β＝ ___________．
同类题型 2.5 如图，在 Rt △ ABC中，∠ ACB＝ 90°，将△ ABC绕顶点 C逆时针旋转得到△ A′ B′ C，M是 BC的中点， P是 A′ B′的中点，连接 PM，若 BC＝2，∠ BAC＝ 30°，则线段 PM的最大值是 _____．
B ．有两个不同的值
C ．有三个不同的值
D ．有三个以上不同的值
解：（ 1）当两斜边重合的时候可组成一个矩形，此时
x＝ 2，y＝ 3，
x＋ y＝ 5；
（ 2）当两直角边重合时有两种情况，①短边重合，此时
x＝ 2， y＝3， x＋ y＝ 5；
②长边重合，此时 x＝ 2， y＝5， x＋ y＝7．
综上可得： x＋ y＝ 5 或 7．
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BE 例 3．如图，折叠菱形纸片 ABCD，使得 AD的对应边 A1D1 过点 C，EF 为折痕，若∠ B＝ 60°，当 A1 E⊥ AB时， AE 的
值等于（
）
3 A． 6
3－ 1 B． 6
3＋ 1 C． 8
3－ 1 D． 2
同类题型 3.1 如图，正方形 ABCD中， AD＝ 4，点 E 是对角线 AC上一 点，连接 DE，过点 E 作 EF⊥ED，交 AB于点 F， 连接 DF，交 AC于点 G，将△ EFG沿 EF 翻折，得到△ EFM，连接 DM，交 EF于点 N，若点 F 是 AB边的中点，则△ EMN 的周长是 _____________．
④
AN2＋
CM2＝
2 MN
；⑤若
AB＝ 2，则 S△ OMN的最小值是
1 2
，其中正确结论的个数是（
）
A． 2
B．3
C．4
D．5
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解：∵正方形 ABCD中， CD＝BC，∠ BCD＝ 90°， ∴∠ BCN＋∠ DCN＝ 90°， 又∵ CN⊥ DM， ∴∠ CDM＋∠ DCN＝ 90°， ∴∠ BCN＝∠ CDM， 又∵∠ CBN＝∠ DCM＝90°， ∴△ CNB≌△ DMC（ ASA），故①正确；
同类题型 1.1 把图中的一个三角形先横向平移 x 格，再纵向平移 y 格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形， 那
么 x＋ y（ ）
A．是一个确定的值
B．有两个不同的值
C．有三个不同的值
D．有三个以上不同的值
同类题型 1.2 已知：如图△ ABC的顶点坐标分别为 A（－ 4，－ 3）， B（ 0，－ 3），C（－ 2， 1），如将 B 点向右平移 2
∴∠ MO＝N 90°，即△ MON是等腰直角三角形，
又∵△ AOD是等腰直角三角形，
∴△ OM∽N △ OAD，故③正确； ∵ AB＝ BC，CM＝ BN，
∴ BM＝ AN，
又∵ Rt△ BMN中， BM2＋ BN2＝MN2 ，
∴
AN2＋
CM2＝
2 MN
，故④正确；
∵△ OCM≌△ OBN，
∴四边形 BMON的面积＝△ BOC的面积＝ 1，即四边形 BMON的面积是定值 1，
60°得到△ ACE，
④由旋转可知 AE＝ BD，
又∵∠ DAE＝ 180°，
∴ DE＝ AE＋AD．
∵△ CDE为等边三角形，
∴ DC＝ DB＋BA．
同类题型 2.2 如图，在正方形 ABCD中， O是对角线 AC与 BD的交点， M是 BC边上的动点（点 M不与 B， C重合），
CN⊥ DM，CN与 AB交于点 N，连接 OM，ON，MN．下列五个结论： ①△ CNB≌△ DMC；②△ CON≌△ DOM；③△ OMN∽△ OAD；
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专题 08 几何变换问题
例 1．如图，斜边长 12cm，∠ A＝ 30°的直角三角尺 ABC绕点 C顺时针方向旋转 90°至△ A′ B′ C的位置，再沿 CB 向左平移使点 B′落在原三角尺 ABC的斜边 AB上，则三角尺向左平移的距离为 ______________ ．（结果保留根号）
3，则 PB：P′ A是（ ）
A． 2 ：1
B ．2：1
C． 5 ：2
D． 3 ：1
同类题型 2.1 如图，△ ABC为等边三角形，以 AB为边向形外作△ ABD，使∠ ADB＝ 120°，再以点 C为旋转中心把△
CBD旋转到△ CAE，则下列结论：① D、 A、 E 三点共线；② DC平分∠ BDA；③∠ E＝∠ BAC；④ DC＝ DB＋ DA，其中正确
B ． S1＝S2
C ． S1＜ S2
D ．不能确定
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1 解：△ ABC的面积为 S1＝ 2 × 4× 4＝ 8， 将 B 点平移后得到 B1 点的坐标是（ 2， 1），
1 所以△ AB1 C的面积为 S2＝ 2 ×4× 4＝ 8， 所以 S1＝ S2 ． 选 B．
同类题型 1.3 同类题型 1.4 例 2． 如图， P 是等边△ ABC外一点， 把 BP绕点 B顺时针旋转 3，则 PB：P′ A是（ ）
CBD旋转到△ CAE，则下列结论：① D、 A、 E 三点共线；② DC平分∠ BDA；③∠ E＝∠ BAC；④ DC＝ DB＋ DA，其中正确
的有（
）
A． 1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解：①设∠ 1＝ x 度，则∠ 2＝（ 60－ x）度，∠ DBC＝（ x＋60）度，故∠ 4＝（ x＋ 60）度， ∴∠ 2＋∠ 3＋∠ 4＝ 60－ x＋ 60＋x＋ 60＝ 180 度， ∴ D、 A、 E三点共线；
AD 2 3
角形；② AE⊥ EF；③△ PHE∽△ HAE；④ AB＝ 5 ，其中正确的结论是（