二次函数总结及相关典型题目二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx axy ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质 （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx axy ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中a b ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx axy ++=2的对称轴是直线 a bx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置. 当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx axy ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<a b .10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴顶点坐标2ax y =当0>a 时 开口向上 当0<a 时 开口向下 0=x （y 轴） （0,0） k ax y +=20=x （y 轴） (0, k ) ()2h x a y -= h x = (h ,0)()k h x a y +-=2 h x =(h ,k) c bx ax y ++=2 a bx 2-= (ab ac a b 4422--，) 11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()kh x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx axy ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx axy ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.（4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 c bx ax y nkx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第二部分 典型习题考点1:函数的三种形式１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是 （ ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3） D.（－1，－3）2. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. x 轴上D. y 轴上3．抛物线221y x =-+（）的顶点坐标是 A ．（2，1） B ．（-2，-1） C ．（-2，1）D ．（2，-1）4．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)-，对称轴为1x =，则下列结论中正确的是A ．0>aB ．当1>x 时，y 随x 的增大而增大C ．0<cD ．3x =是一元二次方程20axbx c ++=的一个根5．抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.6.已知抛物线245=+-.y x x（1）直接写出它与x轴、y轴的交点的坐标；（2）用配方法将245()=-+的形y a x h ky x x=+-化成2式．7. 已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x …-1 0 1 2 3 4 …y …8 3 0 -1 0 3 …(1) 求该二次函数的解析式；(2) 当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？(3) 若A（m,y1）,B(m+2, y2)两点都在该函数的图象上，计算当m取何值时，12?y y8. 抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …－2 －1 0 1 2 …y …0 －4 －4 0 8…（1）根据上表填空：①抛物线与x轴的交点坐标是和；②抛物线经过点 (-3, )；③在对称轴右侧，y随x增大而；（2）试确定抛物线y=ax2+bx+c的解析式.解: （1）①抛物线与x轴的交点坐标是和；②抛物线经过点 (-3, )；③在对称轴右侧，y随x增大而 .（2）考点2.a 、b 、c 符号问题1、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0第1,2题图 第3题图2.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如上图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＞0，c ＞03 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如上图所示，则下列结论中正确的是 ( )A ．a >0B ．c ＜0C ．042<-ac b D ．a ＋b ＋c >04.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如右图所示，11x O y则下列结论正确的是（ ）A ．a+b+c> 0B ．b> -2aC ．a-b+c> 0D ．c< 05.抛物线y=ax 2+bx+c 中，b ＝4a ，它的图象如右图，有以下结论：①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b 2-4ac<0 ⑤abc< 0；其中正确的为（ ）A ．①②B ．①④C ．①②③D ．①③⑤6.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是图所示的( )7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么abc ，b 2－4ac ， 2a ＋b ，a ＋b ＋c 四个代数式中，值为正数的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个1x y O 1x y O 1x C y O 1x yO考点3：二次函数的增减性1.二次函数y=3x2－6x+5，当x>1时，y随x的增大而；当x<1时，y随x的增大而；当x=1时，函数有最值是。

2.已知函数y=4x2－mx+5，当x> －2时,y随x 的增大而增大；当x< －2时，y随x的增大而减少；则当x＝1时,y的值为。

3.已知二次函数y=x2－(m+1)x+1，当x≥1时，y 随x的增大而增大，则m的取值范围是 .4.已知二次函数y=－12x2+3x+52的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3<x1<x2<x3，则y1,y2,y3的大小关系为 .考点:4：图象平移对称问题1．将抛物线2y x=先向下平移1个单位长度后，再向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是．2. 将抛物线2y x=-向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为．3. 将抛物线y=x2平移得到抛物线y=x2+3,则下列平移过程正确的是 ( )A. 向上平移3个单位B. 向下平移3个单位C. 向左平移3个单位D. 向右平移3个单位4.抛物线y=2x2－4x关于y轴对称的抛物线的关系式为。