i =1
1 a 2 − a1 a 3 − a 2
x − an
= ( x + ∑ a i ) ∏ ( x − a i ).
i =1 i =1
n
n
评注: 本题利用行列式的性质, 采用“化零”的方 法，逐步将所给行列式化为三角形行列式. 化零时一 般尽量选含有 1 的行(列)及含零较多的行(列); 若没有 1, 则可适当选取便于化零的数, 或利用行列式性质将 某行(列)中的某数化为1; 若所给行列式中元素间具有 某些特点, 则应充分利用这些特点, 应用行列式性质, 以达到化为三角形行列式之目的. a b c d b a d c . 例4: 计算 D4 = c d a b d c b a 解: 将行列式的2, 3, 4行分别加到第1行,并提出公 因子(a+b+c+d), 得: 1 1 1 1 = (a + b + c + d ) b a d c , D4 c d a b d c b a
1
n
n
2
n
n−1
上面等式右端行列式为 n 阶范德蒙行列式的转置, 由范德蒙行列式知 Dn = n! ∏ ( x i − x j )
n≥ i > j ≥1
= n!( 2 − 1)( 3 − 1) ( n − 1)( 3 − 2)(4 − 2) [n − ( n − 1)] = n!( n − 1)!( n − 2)! 2! 1!.
例5: 计算
Dn =
a + x1 a a
a a + x2 a
a a a + x n −1 a a a a + x n −1 a
a a a + xn
a a a a 0 0 0 xn
.
解: 依第n列把Dn拆成两个行列式之和,
Dn =
a + x1 a a a
a a + x2 a a a a + x2 a a
典 型 例 题
例1: 计算行列式 0 a12 a13
0 0
解: 0 a12 a13 0 a 42 a 43 D = 0 a 52 a 53
a 21 a 22 D = a 31 a 32 0 a 42 0 a 52
0 0 0
a 23 a 24 a 25 a 33 a 34 a 35 . a43 0 0 a53 0 0
而
当x1x2x3···xn ≠0时, 可改写为: 1 1 Dn = x1 x 2 x n [1 + a ( + + x1 x 2
+
1
)].
xn
评注: 本题是利用行列式的性质和所给行列式的 特点, 导出所给n 阶行列式Dn的递推公式, 从而求出Dn. 递推公式方法是求有规律性n 阶行列式Dn的常用方法.
按Dn的最后一行展开, 得 Dn = 2cosα Dn-1 – Dn-2. 由归纳假设, Dn-1 = cos(n–1)α, Dn-2 = cos(n–2)α.
4. 对换
定义: 在排列中, 将任意两个元素对调, 其余元素 不动, 这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对调, 叫做相邻对换. 定理1: 一个排列中的任意两个元素对换, 排列改 变奇偶性. 推论: 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶 排列调成标准排列的对换次数为偶数.
5. n 阶行列式的定义
i =1
提取第一列的公因子, 得 1 a1 a 2 1 x a2 n D n +1 = ( x + ∑ a i ) 1 a 2 x
i =1
an an an .
x
0 0 x − a2 0 0 0
1
a2 a3
cj+1+(–aj)c1, j=2, 3 , ··· , n+1. 得
1 0 1 x − a1 n D n +1 = ( x + ∑ a i ) 1 a 2 − a1
在将第2, 3, 4列分别减去第1列, 得: 1 0 0 0 = (a + b + c + d ) b a − b d − b c − b , D4 c d −c a−c b−c d c−d b−d a−d a−b d −b c−b D4 = ( a + b + c + d ) d − c a − c b − c . c−d b−d a−d 把上面行列式的第2行加到第1行, 再提取第1行的公因 式(a-b-c+d), 得: 1 1 0 D4 = (a + b + c + d )(a − b − c + d ) d − c a − c b − c , c−d b−d a−d 第2列减去第1列, 得 1 0 0 D4 = (a + b + c + d )(a − b − c + d ) d − c a − d b − c , c−d b−c a−d
所以,
D4 = (a + b + c + d )(a − b − c + d ) a − d b − c b−c a−d 2 2 = (a + b + c + d )(a − b − c + d )[(a − d ) − (b − c ) ]
= (a + b + c + d )(a − b − c + d )
a + x1 a D2 = = ax1 + ax 2 + x1 x 2 a a + x2 所以, Dn = x1x2···xn-1a + x1x2···xn-2axn + ··· + x1x2ax4···xn + x1ax3···xn + ax2x3···xn + x1x2x3···xn. =a (x1x2···xn-1 + x1x2···xn-2xn + ··· + x1x3···xn + x2x3···xn) +x1x2x3···xn.
8. 克拉默法则
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + ⎪ a 21 x1 + a 22 x 2 + ⎨ ⎪ ⎩ a n1 x1 + a n 2 x 2 +
+ a1n x n = b1 + a 2 n x n = b2 + a nn x n = bn
(1)
定理1: (克拉默(Cramer)法则)如果线性方程组(1) 的系数行列式不等于零, 那么, 线性方程组(1)有解, 且 解是唯一的, 解可以表为 Dn D2 D1 x1 = , x2 = , , xn = . D D D 其中Dj 是把系数行列式D中第 j 列的元素用方程组右 端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式. 定理2: 如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一, 则它的系数行列式必为零. 定理3: 如果齐次线性方程组的系数行列式 D≠0, 则齐次线性方程组没有非零解. 定理4: 如果齐次线性方程组有非零解, 则它的系 数行列式 D 必为零. 在后面我们将证明: 齐次线性方程组有非零解的 充分必要条件为它的系数行列式D必为零.
D= a11 a21 a12 a22 a1n a2 n = ann
p1 p2
p1 p2
∑ ( −1) t a1 p1 a 2 p2
pn
a npn
a n1 a n 2
或
D=
∑ ( −1) t a p1 1a p2 2
pn
a pnn
6. n 阶行列式的性质
性质1: 行列式与它的转置行列式相等, 即DT = D. 性质2: 互换行列式的两行(列), 行列式变号. 推论: 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列 式为零. 性质3: 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以 同一数k, 等于用数k乘此行列式. 推论: 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子 可以提到行列式符号的外面. 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则 此行列式为零． 性质5: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之 和, 则该行列式等于两个行列式之和. 性质6: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一 数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变.
7. 行列式按行(列)展开
在 n 阶行列式D中, 把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后, 留下来的 n–1 阶行列式叫做(行列式D 的关于)元素aij 的余子式, 记作 Mij . 即 记 Aij = (–1)i+j Mij, 称 Aij 为元素 aij 的代数余子式. n n ⎧ D 当i = j ∑ a ki Akj = ∑ a ik A jk = D δ ij = ⎨0 当i ≠ j ⎩ k =1 k =1 ⎧1 当 i = j ij = ⎨ δ ⎩0 当 i ≠ j
3. 计算排列逆序数的方法
方法1: 分别计算出排在1,2, ···, n 前面比它大的数 码的个数并求和, 即先分别算出 1,2, ···, n 这 n 个元素 的逆序数, 则所有元素的逆序数的总和即为所求排列 的逆序数. 方法2: 依次计算出排列中每个元素前面比它大的 数码个数并求和, 即算出排列中每个元素的逆序数, 则 所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
( n − 2)
评注: 本题所给行列式各行(列)都是某元素的不同 方幂, 而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全 相同, 需要利用行列式的性质(如提取公因子, 调换各 行(列)的次序等)将此行列式化成范德蒙行列式.
例3: 计算
x a1 D n +1 = a1
a1 x a2
a2 a2 x
a3 a3 a3
n n n2 n 解: Dn中各行元素分别是同一个数的不同方幂, 方 幂的次数自左至右按递升次序排列, 但不是从0到 n–1, 而是从1递升至 n. 若提出各行的公因子, 则方幂的次 数便是从0升到 n–1, 于是得: 1 1 1 1 1 2 22 2n−1 n−1 . = n! 1 3 32 Dn 3