例2
§ 10.1 概述
Mechanic of Materials
（5）构件轴向变形 取构件当中一微段 dx
a
m
F
dx
d (L)

Fd (x)dx EA

d (x)
E
dx

d (x)dx
Fd(x)
Fd(x)+dFd
d (x)

Fd (x) A

Fx AL
L l Fx dx FL 0 EAL 2EA
3EI mg 2l 3
v
mgl Wz

3EIm v mg
l
Wz
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
三、求冲击问题的解题步骤
Mechanic of Materials
1、求静位移、静应力
静冲击物静置在被冲击物的冲击位置上，由拉压杆胡克定 理，梁可以查表，求冲击处发生静位移。也可以由能梁法 求解。
(l 2

a2
b2)
1,d
= w1,d
kd 1,st
kd
mgba (l2 6EIl
a2
b2)
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
h
1 1' d
l
动荷因数Kd
kd 1
2h 1 1
st
1
2h mgl 3
3EI
静
荷载 弯矩 应力 强度条件
挠度
Fst mg
M max,st M固 mgl
(1 a )W
d

FT A

g A

(1
a g
) st
静载荷情况下的钢索中的应力： st
例1
讨论 1：
§ 10.1 概述
FT a
Mechanic of Materials
引入：动载荷因数kd
W
kd
1
a g
有:
d kd st
FI
a
(1 )W
d

FT A

g A

(1
5、研究意义
§ 10.1 概述
二、实例 惯性载荷
Mechanic of Materials
§ 10.1 概述
冲击载荷
Mechanic of Materials
§ 10.1 概述
振动载荷（Tacoma大桥共振断裂）
Mechanic of Materials
§ 10.1 概述 交变载荷（交变载荷引起疲劳破坏）
钢索
a
W
例1
§ 10.1 概述
解：（1）对重物进行受力分析
钢索
Mechanic of Materials
惯性力: FI ma
a
（2）沿竖直方向建立
W
FT a W
“平衡方程”： Fy 0 FT W FI 0
FT

ma

mg

(1
a )W g
（3）求动应力若钢索截面积为A
FI
d (x)

d (x)
E

Fx EAL
d (x)

Fd (x) A

Fx AL
Mechanic of Materials
§ 10.1 概述 二、构件作等速转动时的动应力
设圆环以等角速度w 绕通过圆心且垂直
于圆环平面的轴旋转，如图所示（平均直 径D>>厚度t，讨论环内的应力。
w
D
§ 10.1 概述
Mechanic of Materials
h
1
1'
d
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
Mechanic of Materials
在冲击物自由下落的情况下，冲击
物的初速度和末速度为零，故动能
h
没有变化，即:
1
T= 0
1' d
T V Vεd
0
mg (h

d
)

Fd d 2
当重物落到最低点1’时，重物损失 的势能为:
FFNn
x
FN

qd D 2

Ag D2
4g
w2
圆截面上的应力为:
d

FN A
g D2 w2
4g
g v2
g
则强度条件可以写为
:
d
gv 2
g
[ ]
Mechanic of Materials
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
一、构件受冲击时的应力和变形 当运动物体（冲击物）以一定的速度作用在静
Mechanic of Materials
二、冲击问题的特点:
构件受到外力作用的时间很短， v 冲击物的速度在很短的时间内发生 很大的变化，甚至降为0，冲击物得 到一个很大的负加速度 a
a
冲击物
被冲击物
解决冲击问题的方法:近似但偏 于安全的方法--能量法
Mechanic of Materials
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
1 2h ) st
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
l=a+b
mgb a
l
h
1 1' d
b
引用冲击动荷因数Kd
kd 1
1
2h st
1
1
2h
mgba (l 2 a2 b2 )
6EIl
静
冲击
荷载
Fst mg
Fd kdmg
弯矩
M1,st mgab / l
M1,d kd M1,st kd mgab / l
Mechanic of Materials
§ 10.1 概述
一、什么是动载荷，与静荷载的区别。
1、静荷载：
从零开始缓慢地增到终值，然后保持不变的载荷 2、动载荷：
使构件产生明显的加速度的载荷或随时间变化 的载荷。动载荷本质：是惯性力 3、动应力、动变形
构件由于动荷载所引起的应力、变形 4、分类：惯性载荷、冲击载荷、振动载荷、交变载荷
Mechanic of Materials
Mechanic of Materials
§ 10.1 概述
一、构件作等速直线运动时的动应力与动变形 1、此类问题的特点:
加速度保持不变或加速度数值保持不变，即角速度w
=0 2、解决此类问题的方法:
牛顿第二定律 动静法（达朗伯原理）
Mechanic of Materials
§ 10.1 概述
例2： 设有等直杆，长度为L，截面积为A，比 重g，受拉力F的作用，以等加速度a运动，求构件 的应力和变形。（不计摩擦力）
a
m
F
Mechanic of Materials
例2
§ 10.1 概述
a
解：（1）构件加速度:
FF
Fg
m
F
a

m ALg / g ALg
x
（2）构件单位长度qd 上的惯性力(集度):
V=mg ( h + △d)
在冲击过程中，冲击载荷作功等于 梁的变形能，则:
Vd=(Fd △d)/2
而重物以静载荷的方式作用于梁上时，相应的静变形为
△st，在线弹性范围内，载荷和位移成正比，有:
Fd d mg st
d2 2dst 2hst 0
d st (1
1 2T0 mg st
Mechanic of Materials
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
几种常见的冲击动荷因数
4、重物以水平速度v冲击构件:
EA l
v
st

FN l EA

mgl EA
1 mv2 2

1 2
d Fd

1 2
(kd
st
)

(kd
mg
)
kd
v2 g st

st
2、自由落体，已知冲击物在冲击时的速度，那么:
kd 1
1 2h st
1
2 1 gt2
1 2 1
st
1 (gt)2 1 g st
1 v2 gst
3、自由落体，已知冲击物冲击时的初动能:
kd 1
1 2h st
1
1 2 mgh 1 mgst
Mechanic of Materials
第二十八、九讲的内容、要求、重难点 教学内容：
构件作加速直线运动或匀速转动时的动应力计算， 构件受冲击荷载时的动应力计算；交变应力的概念， 交变应力下材料的疲劳破坏，疲劳极限。
教学要求：
1、了解材料疲劳极限曲线、提高疲劳强度措施；
2、理解动荷载和循环应力概念，循环应力的类型；
st,max
st,固（上，下）
mgl Wz
st,max

mgl Wz


1 , st
=
w1


mgl 3 3EI
冲击
Fd kdmg
M固,d kd M固,st kd mgl
d ,max

kd st,max

kd
mgl Wz
d ,max
kd st,max
Mechanic of Materials
由能量守恒:
T V Vεd
T： 冲击物速度降为零所释放出的动能； V: 冲击物接触被冲击物时所减少的势能； Vd: 被冲击物在冲击物速度降为零所增加的变形能。
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形