y
主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：
s1 s a0
x
s1
(c)
2、解析法 ：
s1
s x s y
2
s2 0
s3 s x s y
2
s x s y 2 2 t x 110MPa
2
s x s y 2 2 t x 40MPa
单元体如何取？ 在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平 面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量 dx、dy和dz，如下图所示。
y
dz dx dy x
z
单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的 性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上 的应力。
§13-2 平面应力状态分析•主应力
对图 a 所示悬臂梁上 A 点处单元体上的应力分 布（图 b ）可见：有一对平面上的应力等于零，而 不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。
s E OF OC CF OC CE cos2a 2a 0
OC CE cos 2a 0cos 2a CE sin 2a 0sin 2a
即： s E
s x s y
2

s x s y
2
cos 2a t x sin 2a s a
同理可得E点的纵坐标为：
sx
b
sx
f
tx
c
x
z
b
c
(a)
sy t y
(b)
可由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面上 应力。如图b所示，斜截面ef的外法线与x轴间的夹角 为a，称为a截面。
应力的正负和斜截面夹角的正负规定： 1）正应力s拉为正，压为负； 2 ）切应力 t 使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反 之为负； 3）对a角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法 线重合时，其值为正；反之为负。 取图c所示分离体进行分析。图c中所示斜截面 上应力和斜截面夹角均为正。
s
-30
s ° tx
x
x
30° n
s 30

sx 0 sx 0

2 2 16.9MPa
cos 60 t x sin 60




t 30

sx 0
2
sin 2a t x cos 2a 45.4MPa
2、应力圆
由任一斜截面上应力分量的计算公式可得：
sa
按一定比例，作出应 力圆，并找到斜截面对应 的点，量取其坐标可得：
s 30 17MPa

t 30 46MPa

3、主平面和主应力 对图a所示应力状态，作出应力圆（图b）。
sy s2 tx a0 s1
(a) s1
可见： A1 s max , 0
A2 s min , 0
主平面：剪应力t =0的平面；
t
D1 s x ,t x
C
D2 s y ,t y
s
• 以C为圆心，线段CD1或CD2为半径作圆，即为应 力圆。
t
D1 s x ,t x
C
D2 s y ,t y
s
• 从D1点按斜截面角a的转向转 动 2a 得到 E 点，该点的坐标值 即为斜截面上的应力分量值。 2）证明 对下图所示应力圆可见C点的 横坐标为： t
2
2t x 2 40 8 tan2a 0 s x s y 100 30 13
所以： 2a 0 3016'
⇒
a 0 158'
§13-3 空间应力状态的概念
下图所示单元体的应力状态是最普遍的情况， 称为一般的空间应力状态。
y
O z
tyx tyz s z tzx sx t t tzy txy sx xz xy tzx txz txy sz dy tyx tyz dz sy
1）应力图的画法
已知sx、sy、tx、ty， 如右图，假定sx>sy。
a
y
t y sy
d e
n
tx sx
b
sx tx
f x
a sy t y
c
• 在s、t 坐标系内按比例尺确定两点：
D1 s x ,t x
t
D1 s x ,t x
D2 s y ,t y
s
D2 s y ,t y
• 连接D1、D2两点，线段D1D2与s轴交于C点。
第13章
应力状态分析
§13-1 引言
低碳钢和铸铁的拉伸实验 铸 铁 低碳钢
•二者都容易由实验建立强度条件。 •铸铁断口与轴线垂直，低碳钢断口 有何不同，为什么？
低碳钢和铸铁的扭转实验
低碳钢 铸 铁
•容易由实验建立强度条件。 •与拉伸断口有何不同，为什么？ •拉伸与扭转强度条件是否有关联？

工字梁:
x
x
(a)
(b)
解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：
F 50010 sx 63.7 MP a A π 1002 4
3
Me 7 10 tx 35.7 MP a π WP 3 100 16
6
y ty
图示斜截面上应力分量为：
s tx
x
C
t-30 ° ty
2

s x s y
2
cos 2a t x sin 2a
ta
s x s y
2
sin 2a t x cos 2a
例：图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉 力F=500kN，外力矩Me=7kN· m。求C点a =30°截面 上的应力。
y F T T
ty
F x
C
s tx
x
C
s tx ty
s2
(b) t
A2 Dy
2a0
主应力：主平面上的正应力。
Dx
C A1 s
可证明： s 1 s 2 s 3
并规定： s 1 s 2 s 3
O
具体值可在应力圆上量取，即：
OA1 s 1；OA2 s 2； s 3 0
主平面位置：图a中s1主平面的方位角a0对应于应力 圆（图b）上的圆心角2a0。 主应力值和主应力平面的计算： 由图b可见，A1、A2两点的横坐标为：
(c)
e
tx
sx
b
sa
ta
f
sy
ty
由图 d 所示体元上各面上的力的平衡，参考法 线n和切线t方向可得：
(d)
e
txdA cosa
s adA tadA
f t
n
sxdA cosa
b ty dA sina
s y dA sBiblioteka nan 0⇒s a dA s x dA cosa cosa t x dA cosa sin a s y dA sin a sin a t y dA sin a cosa 0
t y 40MPa
所以：
s
A3
2a0 A1
Dx
Dx 100,40
Dy 30,40
按一定比例作出应力圆（图b）。
(b)
由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大 小关系可得：
s 1 110MPa
2a 0 3016'
由此可得：
s2 0

s 3 40MPa
a 0 15 8'
sx s1
tx tx tana 0 s x s min s max s y
例 求图a所示应力状态的主应力及方向。 y 解： 1 、应力圆图解法： 30MPa
t x =40MPa
100MPa
因为： s x 100MPa
x
t x 40MPa
t
D
y
(a)
s y 30MPa
微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端 微体平行对边, 对应应力圆同一点
由于应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分量 值一一对应，因此，按比例作图，可通过直接用尺子 量出坐标值来求任意斜截面上的应力分量，此即称为 图解法。 例：用图解法求图示a =30°斜截面上的应力值。
y
tx=35.7MPa
解：按一定比例画出应力圆。 因为图示应力状态有：
建立复杂应力状态强度条件的研究思路：
材料物质点应力状况· 应力微体 材料失效机理 •应力状态 通过构件内一点，所作各微截面的应 力状况，称为该点处的应力状态。可 s 由围绕该点的一个单元体面上的应力 x 表示。 •应变状态 强度条件 y
s
ty y
dx
dy
x
tx
dz
s
x
z
s
y
构件内一点在各个不同方位的应变 状况，称为该点处的应变状态。
t
E
2a C
D2 s y ,t y
E
D1 s x ,t x
s
OC OB2 B2C
由于
O
s2
A2 B 2
D1
D2 B2C D1B1C
可得：
ty
a0
2a 0
C F
tx
s
B1 A 1
sy
D2
sx s1
B2C B1C
则：
OC OB2 B1 B2 / 2 s y
d
s C ,max
s1
t1
a
b
t max
s1
C
z
a
t max
s1
O
t max
t1
y
t
t1
c
d
s t ,max
s C ,max