第二讲 参数方程（2）
圆的参数方程
【学习目标】
1.掌握圆的参数方程，明确圆的参数方程中参数的几何意义．
2.会用圆的参数方程解决求轨迹和最值问题．
【学习重点、难点】
掌握圆的参数方程，会用圆的参数方程解决求轨迹和最值问题
【知识链接】
1.在直角坐标系中圆的标准方程和一般方程是什么？
2.参数方程定义中的关系式为：
【自学导航】
阅读课本P 23～P 24页内容，了解本节知识体系.
【课堂探究与典型例题】
探究1：圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程？
探究2：圆心在点()1,O a b ，半径为r 的圆的参数方程？
v
b
a P θx y r
x
O y
类型一 圆的参数方程与普通方程互化
【例1】
（1）已知圆的普通方程为x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，将它化为参数方程；
（2）已知曲线的参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos t ，y ＝－2＋2sin t (0≤t ≤π)，把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形.
【规律方法】
x y O r p p 0θ
类型二 利用圆的参数方程求轨迹
【例2】如下图，圆O 的半径为2，P 是圆上的动点，()6,0Q 是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点，当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程.
【规律方法】
【变式训练】已知点Q (2,0)，点P 是圆⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝cos θy ＝sin θ上一动点，求PQ 中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
类型三 利用圆的参数方程求范围
【例3】设P (x ,y )是圆22
2x y y +=上的动点.
（1）求2x y +的取值范围；
（2）若0x y c ++≥恒成立，求实数c 的取值范围.
【规律方法】
【变式训练】 已知)(sin cos 2为参数θθ
θ⎩⎨⎧=+=y x ，则22)4()5(++-y x 的最大值是 .
学情分析
在《必修1》中，学生已经学习了圆的标准方程和普通方程，在《选修4-4》中，学生已经学习了参数方程，在这个基础上学生这节课学习圆的参数方程。
利用多媒体展示问题后，学生分组讨论，学生自己推导圆的参数方程，得到圆的参数方程的结论后马上进行练习，学生即学即用，有助于记忆理解方程。
圆的普通方程与参数方程的互化较为简单，只要通过方程找到圆心与半径就可以确定出另位的方程，通过例题的讲解后，学生扮演练习，即调动学生的积极性，又可以从中看出学生是否掌握了方程的互化。
针对学生整体的数学基础，选择难度较低的有关圆的参数方程的题目，从而增强学生学习的信心。
根据以上分析，确定本节课的重点、难点和方法如下：
重点：圆的参数方程的推导和结论。
难点：利用圆的参数方程解决简单问题。
方法：启发、诱导发现教学。
效果分析
这节课突出了数形结合的数学思想．学生通过这节课的学习，加强了通过对图象的研究认识问题、研究问题和解决问题的能力．这节课也转化
的数学思想，将实际问题转化为数学问题，将求参数范围问题转化为求最值问题，进而用三角函数求最值。
本节课在一开始进行了情境创设，注重与实际生活联系，学生体会到了数学的应用价值。
学生分组讨论，培养了学生合作探究能力，解决问题的能力。
通过学生回答问题，归纳总结，扮演练习等方面，即调动学生的积极性，又可以从中看出学生是否掌握了学习的内容。
通过这节课的学习，学生经历观察、分析、探究、归纳、概括的认知过程，培养了良好的思维品质，提高了思维能力．通过小组合作的方式，也增强学生们之间的合作意识，培养了学生的综合能力。
教材分析
在《必修1》中，学生已经学习了圆的标准方程和普通方程，在《选修4-4》中，学生已经学习了参数方程，在这个基础上学生这节课学习圆的参数方程。
圆的参数方程的建立，与匀速圆周运动、三角函数等知识联系密切。
教科书安排“圆的参数方程”，是因为圆的参数方程的探求过程比较简单。
同时，圆的参数方程中的参数的几何意义较明确，这对学生体会如何根据问题的几何特点或物理意义选择适当的参数比较有利。
教科书以匀速圆周运动为引子，目的是引导学生从“旋转”而想到用“旋转角”为参数。
选择不同的参数可以得到不同形式的圆的参数方程。
例2的条件表明，点M的运动是由点P的运动引起的，而
点P 绕圆心O 作圆周运动，所以点M 的运动是由点P 绕圆心O 的“旋转角”决定的，这样选择角是合适的。
由于本例难度不大，可以在分析后让学生独立完成解答。
根据以上分析，确定本节课的重点、难点和方法如下：
重点：圆的参数方程的推导和结论。
难点：利用圆的参数方程解决求轨迹和最值问题。
方法：启发、诱导发现教学。
评测练习
1.圆x 2+y 2=16的参数方程为____________.
2.圆(x -6)2+y 2=4的参数方程为____________.
3.将参数方程
(t 为参数,0≤t ≤π)化为普通方程,并说明方程表示的曲线形状.
4. 在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y θθθ=⎧⎨
=+⎩
（为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =，求P 点的轨迹.
5.已知点P （x ，y ）是圆0124622=+--+y x y x 上动点，求
（1）22y x +的最值，
（2）x+y的最值，
（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值.
《圆的参数方程》课后反思
本节课在一开始进行了情境创设，注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值。
利用多媒体展示问题后，学生分组讨论，学生自己推导圆的参数方程，培养了学生合作探究的能力，解决问题的能力。
得到圆的参数方程后马上进行练习，学生即学即用，有助于记忆理解方程。
圆的普通方程与参数方程的互化较为简单，只要通过方程找到圆心与半径就可以确定出另位的方程。
例题2和例题3讲解的过程中，通过学生回答问题，举例，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解和运用，教师根据反馈信息适时点拨。
例题2和例题3讲解过后，马上进行变式训练，学生扮演练习，即调动学生的积极性，又可以从中看出学生是否掌握了学习的内容。
这节课突出了数形结合的数学思想．学生通过这节课的学习，加强了通过对图象的研究认识问题、研究问题和解决问题的能力．这节
课也涉及到了转化的数学思想，将实际问题转化为数学问题，将求参数范围问题转化为求最值问题，进而用三角函数求最值。
通过这节课的学习，使学生经历观察、分析、探究、归纳、概括的认知过程，培养了学生良好的思维品质，提高了学生的思维能力．通过小组合作的方式，也增强了学生们之间的合作意识，培养了学生的综合能力。
本节课不足之处是学生独立思考时间较少，问题之间前后关联的引导上有待提高.
《圆的参数方程》课标分析
1、多媒体辅助教学，使学生通过观察、探索，发现的创造性过程，培养创新意识。
掌握圆的参数方程，能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程。
2、采用学生主动学习的方式，以小组合作模式进行，掌握圆的普通方程与参数方程的互化。
3、小组间探讨和研究，能利用圆的参数方程解决解析几何中的简单问题。
重点：圆的参数方程的推导和结论。
难点：利用圆的参数方程解决求轨迹和最值问题。
方法：启发、诱导发现教学。