第五讲 隐函数的求导公式
授课题目：
§8.4 隐函数的求导公式
教学目的与要求：
会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。

教学重点与难点：
重点：求由一个方程确定的隐函数的偏导数。

难点：求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。

讲授内容：
一、一个方程的情形
隐函数存在定理1 设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有
y
x F F dx dy -=. （2） 公式（2）的推导：将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式
F 【x , f (x )】≡0,
等式两边对x 求导得
0=⋅∂∂+∂∂dx
dy y F x F , 由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得
y
x F F dx dy -= 例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值.
解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由
定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).
y x F F dx dy y x -=-=，00
==x dx dy ; 332222221)(y y x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=, 10
22-==x dx y d . 隐函数存在定理还可以推广到多元函数，一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2 设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有
z x F F x z -=∂∂, z y F F y
z -=∂∂ （4） 公式（4）的推导：将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F 【x , y , f (x , y )】≡0, 将它的两端分别对x 和y 求导, 得
0=∂∂⋅+x
z F F z x , 0=∂∂⋅+y z F F z y . 因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得
z x F F x z -=∂∂, z y F F y
z -=∂∂. 例2. 设函数由方程3.
=+-xy z e z 所确定, 求22x z ∂∂． 解 设F (x , y , z )= 3.
-+-xy z e z , 则F x =y , F z =1-z e , z
z z x e y e y F F x z -=--=-=∂∂11,
3
22222
2)1()1(1)1()(z z z z z z e e y e e y ye e x z e y x z -=--⋅=-∂∂--=∂∂ 二、方程组的情形 在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数22y x y u +=, 2
2y x x v +=．一般地，方程组 ⎩⎨⎧==0
),,,(0),,,(v u y x G v u y x F （5） 如何根据原方程组求u , v 对x 和,y 的偏导数？
介绍二阶行列式、简要介绍解线性方程的克莱姆法则。

隐函数存在定理3 设F (x , y , u , v )、G (x , y , u , v )在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又F (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, G (x 0, y 0, u 0, v 0)=0，且偏导数所组成的函数行列式：
v
G u G
v F u F v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),( 在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)不等于零，则方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u =u (x , y )，v =v (x , y )，它们满足条件u 0=u (x 0, y 0)，v 0=v (x 0, y 0)，并有
v u
v u v x
v x
G G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1, v
u v u x u x u
G G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1, （6）
v
u v u v y v y G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1, v
u v u y u y u G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1. 公式（6）的推导：设方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0确定一对具有连续偏导数的二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 则
⎩⎨⎧≡≡0
)],(),,(,,[0)],(),,(,,[y x v y x u y x G y x v y x u y x F 由0≠=v
u v
u
G G F F J ，从而偏导数x u ∂∂, x v ∂∂由方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定，偏导数y u ∂∂, y
v ∂∂由方程组 ⎪⎩
⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定．
例3 设x +y +z =0，222z y x ++=1, 求dx dy , dx
dz 解 这两个方程确定了两个隐函数:y =ϕ(x )，z =ψ(x )，两个方程两边分别对x 求导, 得关于dx dy 和dx
dz 的方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+x dx dz z dx
dy y dx dz dx dy 1, 当=z y 1
1z-y ≠0时，解之得
y
z z x y z z x dx dy --=---=1
1 y
z x y y z x y dx dz --=---=11 例4 设函数x =x (u , v ), y =y (u , v )在点(u , v )的某一领域内连续且有连续偏导数, 又0)
,(),(≠∂∂v u y x (1)证明方程组
⎩
⎨⎧==),(),(v u y y v u x x 在点(x , y , u , v )的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u =u (x , y ), v =v (x , y ).
(2)求反函数u =u (x , y ), v =v (x , y )对x , y 的偏导数.
解 (1)将方程组改写成下面的形式
⎩
⎨⎧=-≡=-≡0),(),,,(0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F , 则按假设 .0)
,(),(),(),(≠∂∂=∂∂=v u y x v u G F J 由隐函数存在定理3，即得所要证的结论.
(2)将方程组(7)所确定的反函数u =u (x , y ),v =v (x , y )代入(7)，即得
⎩
⎨⎧≡≡)],(),,([)],(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x , 将上述恒等式两边分别对x 求偏导数，得
⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=x
v v y x u u y x v v x x u u x 01.
由于J ≠0，故可解得
v y J x u ∂∂=∂∂1, u y J x
v ∂∂-=∂∂1. 同理，可得
v x J y u ∂∂-=∂∂1, u
x J y v ∂∂=∂∂1. 课外作业：习题8－5：P 37-2、8、10(3)。