平面向量基本定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
与“重心”有关的向量问题1 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心如图⑴.A'GCAB2已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的( ).A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意()AP AB AC λ=+，当(0)λ∈+∞，时，由于()AB AC λ+表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.3 .O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足（λ∈（0，+∞）），则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A ．内心B ．重心C ．外心D ．垂心图⑴图⑵MPCBA解：作出如图的图形AD ⊥BC ，由于sinB=sinC=AD ，∴=由加法法则知，P 在三角形的中线上 故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心 故选：B ．与“垂心”有关的向量问题3 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0PB PA PC ⋅-=，即0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.ABC4已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭， 图⑶ 图⑷H FEM AOP由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭， 即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB BAC C⋅⋅+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.5若H 为ABC △所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心证明:2222HA HB CA BC -=-()()HA HB BA CA CB BA ∴+•=+•得()0HA HB CA CB BA +--•= 即()0HC HC BA +•= AB HC ∴⊥ 同理,AC HB BC HA ⊥⊥， 故H 是△ABC 的垂心 与“内心”有关的向量问题6已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的( )．A ．重点 B ．外心 C ．内心 D ．垂心B【解析】∵IB IA AB =+，IC IA AC =+，则由题意得()0a b c IA bAB c AC ++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+ ⎪⎝⎭， ∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+ ⎪++⎝⎭．∵AB AB 与AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，∴AI 与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸.7已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足 =OP OA +λ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+AC AC AB AB ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，∴当(0)λ∈+∞，时，AP 表示BAC ∠的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹.8若O 在△ABC 所在的平面内：=，则O 是△ABC的（ ） A ．垂心 B ．重心C ．内心D ．外心解：∵向量的模等于1，因而向量是单位向量图⑸图⑹OCAB∴向量、和等都是单位向量∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形，∵可得AO 在∠BAC 的平分线上同理可得OB 平分∠ABC ，OA 平分∠ACB ， ∴O 是△ABC 的内心． 故选：C ．与“外心”有关的向量问题8已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】若222OA OB OC ==，则222OA OB OC ==，∴OA OB OC ==，则O 是ABC △的外心，如图⑺。
9 已知O 是平面上的一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过图⑺M OB CAP图⑻ABC △的( )。
A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由于2OB OC +过BC 的中点，当(0)λ∈+∞，时，cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭表示垂直于BC 的向量（注意：理由见二、4条解释。
），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻四心的相互关系1.三角形外心与垂心的向量关系及应用设ABC △的外心为O ，则点H 为ABC △的垂心的充要条件是OH OA OB OC =++。
2.三角形外心与重心的向量关系及应用设ABC △的外心为O ，则点G 为ABC △的重心的充要条件是1()3OG OA OB OC =++3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设ABC △的外心、重心、垂心分别为O 、G 、H ，则O 、G 、H 三点共线（O 、G 、H 三点连线称为欧拉线），且12OG GH =。
相关题目10．设△ABC 外心为O ，重心为G ．取点H ，使．求证：（1）H 是△ABC 的垂心；（2）O ，G ，H 三点共线，且OG ：GH=1：2． 【解答】证明：（1）∵△ABC 外心为O ， ∴又∵∴ 则=•==0即AH⊥BC同理BH⊥AC，CH⊥AB即H是△ABC的垂心；（2）∵G为△ABC的重心∴=3=3+=即=3即O，G，H三点共线，且OH=3OG即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2。