x c11 x + c12 y + c13 z x0 , y c21 x + c22 y + c23 z y0 , z c x + c y + c z z . 31 32 33 0
课后作业： P122
1,3,5
选做：9
4-2 课件、作业
i a b ax bx
j ay by
k az bz
a // b
a x a y az bx b y bz
6、混合积
ax [ a b c ] ( a b ) c bx cx ay by cy az bz cz
• 重点 • 1-2，1-4，1-5
M0
M
d
v
l
推论 2 ：点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 与平面
图2.8
Ax By Cz D 0 之间的距离为
d
Ax By Cz D A B C
2 2 2
• 两异面直线之间的距离
M M ,v ,v d .
1 2 1 2
v1 v2
P2
d
M2
(3.2.3)
.
旋转曲面方程
点 P x,y,z S 当且仅当存在点 P ,使得点 P 1 x1 ,y1 ,z1 位于过点 P1 的纬圆上, 因此有
x x0 2 y y0 2 z z0 2 x1 x0 2 y1 y0 2 z1 z0 2 , l x x1 m y y1 n z z1 0, F x1 , y1 ,z1 0, (3.3.1) G x1 , y1 ,z1 0.
v2
l2
P 1
M1 v1 l1
异面直线
l M1 v1
l1
v1 v2
x x1 y y1 z z1 X1 Y1 Z1 0 X Y Z x x2 y y2 z z 2 X2 Y2 Z2 0 X Y Z
1
M2
v2
2
l2
图2.10
公垂线方程
例2.4.5 试求直线 x y z 1 0,
l : x y z 1 0 在平面 : x y z 0 上的射影直线方程，并求 l 与
的夹角. 解 直线 l 的方向向量为1,1, 1 1, 1,1 2 0,1,1 为简单起见，取为 v 1,1,1 . 又平面 的法向量 n 1,1,1. 依公式(2.4.9)，直线 l 与平面 的夹角 满足
向量的坐标： a x , a y , a z
其中 a x ,a y , a z 分别为向量在 x , y , z 轴上的投影.
2 2 2 | a | a a a 向量模长的坐标表示式 x y z
向量方向余弦的坐标表示式
cos
cos
ax a x a y az ay
重点
柱面方程
锥面方程 旋转曲面方程 直纹曲面 曲线族生成的曲面 五种常见的二次曲面
（四）二次曲面的一般理论
坐标变换 利用旋转变换和平移（绕轴旋转）化简 二次曲面的方程
坐标变换
c11 c12 i, j, k i , j, k c21 c22 c 31 c32 c13 c23 , c33
（二）直线和平面方程
平面方程
直线方程 平面与直线位置关系 平面束 距离、夹角 异面直线
平面的点位式方程
x x0 X1 X2
y y0 Y1 Y2
z z0 Z1 Z2 0
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
已知一个平面过空间中的一点 M 0 x0 , y0 , z0 且其法向量为 n X , Y , Z 则平面的点法式方程为：
x

y z c . c
(3.4.8)
因直线(3.4.8)与已知双曲线相交，令 z 0 ,有
x
故得 x , y





y ,
xy c 中得 ，代入 c .
(3.4.9)
消去参数即得所求曲面方程为
z xy c .
图3.1
锥面方程
.
锥面由它的准线和顶点所确定
设点 P x, y, z 不是顶点P ,则点P 在锥面上当且仅当由 0 点P x , y , z , 0 与P 所确定的直线必与准线 相交于某点 P 因此
x x y y z z xx y y zz , F x , y , z , G x , y , z .
nv 6 sin . n v 3
下面求直线 l 在平面 上的射影直线方程.
6 所以 arcsin . 3
即
以直线 l为轴的平面束方程为 x y z 1 x y z 1 0,
x y z 0, 在平面束中找一个平面与平面 垂直，那么依两平面垂
。。。
直的条件，有 解得 : 1: 1，于是经过直线 l 且与平面 垂直的平 面方程为 y z 1 0, 所求的射影直线方程为 x y z 0, y z 1 0.
1 1 1 0,
从上述方程组中消去 x1, y1, z1 ,便得到旋转曲面 S 的一般 方程.
Z P0 P1
O
X
Y
五种常见的二次曲面
x z 1 2 2 2 a b C
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2 2 2
2
y
2
2
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
x2 y2 z 2 p 2q
• 重点、难点 • 2-4
（三）常见的曲面
柱面方程
锥面方程 旋转曲面方程 直纹曲面 曲线族生成的曲面
柱面方程
柱面由它的准线和母线方向所确定
x x y y z z l m n , F x , y , z , G x , y , z .
x y z 4 2 1 1 3 2 4 0, 2 4 4
的方向向量为 2 , 4 , 4 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
同法可求出属于 族的另一条直母线为
x4 y2 z (此时 2 ). 2 1 2
曲线族生成曲面
交于一条直线 ，则以 l 为轴的共轴平面束方 程是
A1x B1 y C1z D1 A2 x B2 y C2 z D2 0,
其中 , 是不全为零的任意实数.
适用于求过已知直线的平面方程
距离、夹角
点到直线的距离
d M 0M v v .
x y z（ p 与 q 同号） 2 p 2q
2
直纹曲面
x2 y 2 =z 上, 试求平行于平 习题4 在双曲抛物面 16 4 面 3x 2y 4z 1=0 的直母线方程. x y , 1 1 4 2
解 族直母线
依题意,
x 2 y 1 z 是所求的一条直母线. 于是 2 1 1
（一）向量代数
向量的表示
方向余弦 内积 外积 混合积
3、向量的表示法 向量的分解式： a a x i a y j a z k 在三个坐标轴上的分向量：a x i , a y j , a z k
向量的坐标表示式： a {a x , a y , a z }
直线的对称式方程
x x0 mt y y0 nt z z pt 0
直线的参数方程
平面与直线位置关系
• 直线与平面平行 • 平面与平面平行 • 两直线异面的判定
平面束
• 定理2.3.1 设两个平面
1 : A1 x B 1 y C1 z D1 0, 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
a b a x bx a y by az bz
a x bx a y b y a z bz a x a y az
2 2 2
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
bx b y bz
2
2
2
a x bx a y b y a z bz 0
5、向量积
(叉积、外积)
其中 为a 与b 的夹角
| c || a || b | sin
右手系.
c 的方向既垂直于 a ，又垂直于 b ，指向符合
向量积的坐标表达式 a b ( a y bz a z b y )i (a z bx a x bz ) j ( a x b y a y bx ) k
X x x 0 Y y y0 Z z z 0 0
空间直线的一般方程
A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C 2 z D2 0
x x 0 y y0 z z 0 m n p
例3.4.7 求与两直线 y , z c 与 x , z c(c ) 均 相交，且与双曲线 xy c , z 也相交的动直线所产生 的曲面方程. 解 在已知二直线上分别取点 (, , c)和 (, , c) 其中 , 是参数，于是动直线方程为
a x a y az
2 2
2
2
2
2