2014学年第二学期位育中学零次考试高三数学试题一、填空题（每题4分，共56分）1.(理) 在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为．(文) 为虚数单位，复数的虚部是_________．2．设函数若函数存在两个零点，则实数的取值范围是_________．3．若，则方程的解为___________．4.已知虚数、满足和（其中），若，则．5. 在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，该数能被5 整除的概率是 .6．已知正方形的四个顶点分别为，，，，点分别在线段上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是_______．7．已知是双曲线右支上的一点，、分别是圆和上的点，则的最大值等于．8．已知数列{}的通项公式为，则+++的最简表达式为__________________.9 ．平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是_________________.10．祖暅原理对平面图形也成立，即夹在两条平行线间的两个平面图形被任意一条平行于这两条直线的直线截得的线段总相等，则这两个平面图形面积相等.利用这个结论解答问题：函数、与直线所围成的图形的面积为_______.11．对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n是奇数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2013!!)·(2014!!)=2014!；②2014!!=21007·1007!；③2014!!的个位数是0；④2015!!的个位数不是5．正确的命题是________．12．已知集合，对于它的非空子集，将中每个元素都乘以后再求和，称为的非常元素和，比如的非常元素和为．那么集合的所有非空子集的非常元素和的总和等于 ． 13．已知是内部一点，，记、、的面积分别为、、，则________.14. 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）：与：，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段，其中，则称与互为正交点列.则：的正交点列为二、选择题（每题5分，共20分） 15．已知集合，则集合的非空真子集数为 （ ）（A ）14 （B ） 512 （C ）511 （D ）510 16．函数的图像大致为 （ ）17．已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（ ） （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ） 18. 正方体的棱长为2，动点、在棱上.动点、分别在棱、上，若，，，(大于零)，则四面体的体积（ ）与都有关 与有关，与无关与有关，与无关与有关，与无关三、解答题19．（本题12分, 第（1）题6分，第（2）题6分）在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒ ,11,2AB=BC =BB =，求：（1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小； （2）直线11B C 到平面BC A 1的距离．20．（本题14分, 第（1）题6分，第（2）题8分）如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路AB 的垂直距离分别为1CA =km ，2DB =km ，AB 两端之间的距离为6km .（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对A 、C 的张角与P 对B 、D 的张角相等，试确定点P 的位置.（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对C 、D 所张角最大，试确定点Q 的位置.ABC DQPDC BA21．（本题14分, 第（1）题6分，第（2）题8分） 在平面直角坐标系中，已知点、，是动点，且直线与的斜率之积等于.（1）求动点的轨迹方程； （2）设直线与分别与直线相交于点、，试问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 22．（本题16分, 第（1）题4分，第（2）题6分,第（3）题6分）定义：若各项为正实数的数列{}n a满足*1N )n a n +=∈，则称数列{}n a 为“算术平方根递推数列”. 已知数列{}n x 满足*0N ,n x n >∈，且19,2x =点1(,)n n x x +在二次函数2()22f x x x =+的图像上.(1)试判断数列{}21n x +*(N )n ∈是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由； (2)记lg(21)n n y x =+*(N )n ∈，求证：数列{}n y 是等比数列，并求出通项公式n y ；(3)从数列{}n y 中依据某种顺序自左至右取出其中的项123,,,n n n y y y ，把这些项重新组成一个新数列{}n z ：123123,z ,z ,n n n z y y y ===.(理科)若数列{}n z 是首项为111()2m z -=、公比为*1(,N )2k q m k =∈的无穷等比数列，且数列{}n z 各项的和为1663，求正整数k m 、的值．(文科) 若数列{}n z 是首项为111()2m z -=，公比为*1(,N )2k q m k =∈的无穷等比数列，且数列{}n z 各项的和为13，求正整数k m 、的值．23、（本题18分, 第（1）题4分，第（2）题6分,第（3）题8分）已知函数，为常数，且.（1）证明函数的图象关于直线对称； （2）当时，讨论方程解的个数； （3）若满足，但，则称为函数的二阶周期点，则是否有两个二阶周期点，说明理由.2014学年第二学期位育中学零次考试高三数学试题答案一1、(理)4π(文)12 2、；3、或；4、5、9256、；7、10；8、；9、直线；10、1；11、①②③；12、2560；13、1：2：3；14、二 15 D 16D 17A 18D 三19，解：（1）因为11//B C BC ，所以1A C B ∠（或其补角）是异面直线11B C 与1AC 所成角. ………………1分因为BC ^AB,BC ^BB 1,所以BC ⊥平面1ABB ，所以1B CA B⊥. ………………3分在1Rt A BC 中,11tan A BACB BC∠==所以1ACB ∠=5分所以异面直线11B C 与1AC 所成角的大小为 ………………6分 （2）因为11B C //平面1ABC 所以11B C 到平面1A BC 的距离等于1B 到平面1ABC 的距离 ………………8分 设1B 到平面1A BC 的距离为d ， 因为1111B A BC A BB C V V --=，所以11111133A BCB BC S d S A B ∆∆⨯=⨯ ………………10分可得5d =………………11分直线11B C 与平面1A BC 的距离为5． ………………12分 20，解：（1）设PA x =，CPA α∠=，DPB β∠=.依题意有1tan x α=，2tan 6xβ=-.……………………3分 由tan tan αβ=，得126x x=-，解得2x =，故点P 应选在距A 点2km 处.…………6分（2）设QA=x ，CQA α∠=，DQB β∠=.依题意有1tan x α=，2tan 6xβ=-， 21266tan tan[()]tan()126216x x x CQD x x x xπαβαβ++-∠=-+=-+=-=-+-⋅-…………10分 令6t x =+，由06x <<，得612t <<，2261tan 7462187418x t CQD x x t t t t+∠===-+-++-， ………………12分747455274663t t≤+<+=，74118183t t ∴-≤+-<， 当7418180t t ≤+-<，所张的角为钝角，最大角当6x =时取得，故点Q 应选在距A 6-km 处.………………14分21，解：（1）设点的坐标为，由题意得 ……3分化简得 .故动点的轨迹方程为……6分（2）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,.则直线的方程为，直线的方程为令得，.于是的面积……8分又直线的方程为，，点到直线的距离.于是的面积……10分当时，得又，所以=， ……12分解得，因为，所以故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.…14分解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为则.因为,所以……8分所以即 ，……12分解得 ，因为，所以故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为…14分22，解(1)答：数列{}21n x +是算术平方根递推数列. 理由：1(,)n n x x +点在函数2()22f x x x =+的图像上，21122,n n n x x x ++∴=+ 21121441n n n x x x +++=++即，2121(21)n n x x ++=+.又*0,N n x n >∈，∴*121n x n N ++=∈．∴数列{}21n x +是算术平方根递推数列. 证明(2) *1lg(21),21N n n n y x x n +=++=∈，112n n yy +∴=. 又1119lg(21)1()2y x x =+==,∴数列{}n y 是首项为11y =,公比12q =的等比数列.1*11(),N 2n n y y n -∴=⋅∈.(理)(3)由题意可知，无穷等比数列{}z n 的首项1112m z -=,公比*1(N )2k k m k m ∈、且、为常数，1116216312m k -∴=- ． 化简，得116631622k m -+=．若13m -≥，则1166316631663++16222828k m k -+≤≤<.这是矛盾！ 12m ∴-≤.又101m -=或时，116631622k m -+>,∴ 12,3m m -==即. 166316,264,624kk k ∴=-==解得. 3,6.m k =⎧∴⎨=⎩(文) (3)由题意可知，无穷等比数列{}z n 的首项1112m z -=,公比*1(N )2k k m k m ∈、且、为常数， 11121312m k -∴=- ．化简，得113122k m -+=． 若13m -≥，则1131313++1222828k m k -+≤≤<.这是矛盾！12m ∴-≤.又101m -=或时，113122k m -+>,∴ 12,3m m -==即. 131,24,224kk k ∴=-==解得. 3,2.m k =⎧∴⎨=⎩23，（1）设点为上任意一点，则，所以，函数的图象关于直线对称. ……4分（2）当时，……8分如图，当时，方程有2个解；当时，方程有3个解；当时，方程有4个解；当时，方程有2个解. ……9分 综合上述，当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解；当时，方程有4个解. ……10分（3）因，所以，当，.若，即，；若，即，.当，同理可得，，；，.所以，……14分从而有四个解：.……16分又，，所以只有是二阶周期点. …18分。