2018-2019（上）南京市鼓楼区九年级期末数学试卷 数 学注意事项：本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卷指定位置，答在本试卷上无效．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卷相应位置．．．．．．．上） 1．一元二次方程x (x －5)＝0的解是A ．0B ．5C ．0和5D ．0和－5 2．下列四点中，在函数y ＝x 2＋1的图像上的是A ．（1，0）B ．（0，1）C ．（0，－1）D ．（－1，0） 3．若△ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2,则△ABC 与△DEF 的面积的比为 A ．1∶2 B ．1∶4 C ．2∶1 D ．4∶1 4．已知扇形的圆心角为60°，半径．．为1，则扇形的弧长．．为 A ．π6B ．π4C ．π3D ．π25．若点P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞BP ，AB ＝2，则AP 的长度是 6．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，CD ⊥AB 于D ，则tan ∠BCD 的值为 A ．45B ．54C ．43D ．34二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．无需写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卷相应位置．．．．．．．上） 7．若sin A ＝12，则∠A ＝ ▲ °．A ．5－1B ．3－5C ．5－12D ．3－52C（第6题）AD（第5题）ABPab＝32，则a－bb的值为▲．8．若9．若四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠A ＝120°，则∠C 的度数是 ▲ ．10．若一元二次方程x 2＋mx －3＝0（m 为常数）的一个根是x ＝1，则另一个根是 ▲ ． 11．二次函数y ＝x 2－4x 图像的顶点坐标为 ▲ ．12．一个圆锥的底面半径为2，母线长为5，则其侧面积为 ▲ ． 13．如图，△ABC 的中线BE 、CD 交于点G ，则 DGGC 的值为 ▲ ．14．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示．当y ＝0时，x 的值是 ▲ ．15．如图，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝12，点D 、E 分别在AB 、AC 上，其中BD ＝x ，AE ＝2x ．当△ADE 与△ABC 相似时，x 的值可能是 ▲ ．16．如图，⊙O 的两条弦AB 和CD 相交于点P ，若AC ⌒、BD ⌒的度数分别为60°、40°，则∠APC的度数为 ▲ ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）求下列各式的值：（1）sin 230°＋cos230°； （2）sin45°cos45°＋4tan30°sin60°．18．（8分）解下列方程：（1）x 2－16＝0； （2）x 2－5x －6＝0．ABDG（第13题） E （第12题）ABCDE（第15题）（第16题）19．（7分）如图，在阳光下，身高1.7 m 的小明AB 在地面上的影长BC 为3.4 m ．在同一时刻，测得旗杆在地面的影长EF 为24 m ，求旗杆DE 的高度．20．（8分）△ABC 中，D 在边AC 上，∠ABD ＝∠C ．（1）求证：△ADB ∽△ABC ； （2）若AB ＝6，AD ＝4，求AC 的长．21．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AE ＝1，CD ＝4，连接O C ．（1）求⊙O 的半径； （2）求sin ∠COA 的值．DA BECF（第19题）ABCD（第20题）（第21题）22．（8分）一块长方形菜地的面积是150 m2．如果它的长减少5 m，那么它就成为正方形菜地．求这个长方形菜地的长和宽．23．（8分）已知二次函数y＝a(x－2)2－1的图像经过点（0，3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）直接写出y＞0时x的取值范围；（3）该函数的图像通过左右平移可以经过原点，写出所有可能的平移方案．24．（8分）如图，为测量某建筑物EF的高度，小明在楼AB上选择观测点A、C，从A测得建筑物的顶部E的仰角为37°，从C测得建筑物的顶部E的仰角为45°．A处高度为20 m，C 处高度为10 m．求建筑物EF的高度（精确到1 m）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，2≈1.4．）ABC（第24题）E F25．（8分）△ABC 中，BC ＝12，高AD ＝8，矩形EFGH 的一边GH 在BC 上，顶点E 、F 分别在AB 、AC 上，AD 与EF 交于点M ． （1）求证：AM AD ＝EFBC；（2）设EF ＝x ，EH ＝y ，写出y 与x 之间的函数表达式；（3）设矩形EFGH 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式，并写出S 的最大值．26．（8分）如图，AB 为⊙O 直径，C 、D 为⊙O 上的点，∠ACD ＝2∠A ，CE ⊥DB 交DB 的延长线于点E ．（1）求证：直线CE 与⊙O 相切； （2）若AC ＝8，AB ＝10，求CE 的长．（第26题）ABCDEFHG（第25题）M27．（9分）下图是某同学对一道作业题的解题思路，课堂上师生据此展开了讨论．可以优化吗？（1）同学们发现不需要证“∠OAB ＝90°”也能求解，简要说明理由；有什么收获？（2）面积法是图形问题中确定数量关系的有效方法，请利用面积法求解：如图1，⊙O 与△ABC的边BA 、B C 边的延长线AE 、CF 相切，切点分别为D 、E 、F ．设△ABC 的面积为S ，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，请用含S 、a 、b 、c 的式子表示⊙O 的半径R ，直接写出结果．还能怎么解？（3）几位同学提出了不同的思路：①甲说：S △AOC 和S △ABC 的面积之比既是OC CB ，又是AO AB ，从而OC CB ＝AOAB ；②乙说：在AB 边上取点G ，使AG ＝AO ，连CG ，可知BG 的长即为所求； ③丙说：延长AC 交△AOB 的外接圆于N ，再利用一次函数或相似求出O C ． 请你选择其中一种解法，利用图2和已有步骤．．．．完成解答． 【答卷纸上给出，试卷上不给出】（3）解：同原解法可得AO ＝2，AB ＝23，OB ＝4，∠AOB ＝60°，∠ABO ＝30°．（第27题图1）九上期末考试数学试题参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．30． 8．12． 9．60．10．－3．11．（2，－4）． 12．10π．13．12．14．－1或3． 15．3或65．16．50．三、解答题（本大题共11小题，共68分） 17．（本题8分）（1）解：原式＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322............................................................................................. 2分＝1．............................................................................................................ 4分（2）解：原式＝22×22＋4×33×32.......................................................................... 3分 ＝52．............................................................................................................ 4分18．（本题8分）（1）解：x 2＝16． .............................................................................................................. 1分 ∴x 1＝4，x 2＝－4 ． ................................................................................................ 4分（2）解法1：⎝⎛⎭⎫x －522＝494． ............................................................................................ 2分 x －52＝72或x －52＝－72． ........................................................................................... 3分 ∴ x 1＝6，x 2＝－1． ............................................................................................ 4分（2）解法2：(x －6)(x ＋1)＝0． ........................................................................................ 3分∴ x 1＝6，x 2＝－1． ............................................................................................ 4分19．（本题7分）解：根据“在平行光的照射下，在同一时刻，不同物体的物高与影长成比”， 得 DE EF ＝AB CB ，即 DE 24＝1.73.4， ........................................................................................... 4分∴ DE ＝12 m ． .................................................................................................................. 7分 答：旗杆DE 的高度为12 m ．（1）证明：在△ADB 和△ABC 中， ∵ ∠ABD ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴ △ADB ∽△AB C ． ........................................................................................................ 4分 （2）解：∵ △ADB ∽△ABC ，∴ AB AC ＝AD AB ． ..................................................................................................................... 6分∴ AB 2＝AD •A C ． 即 62＝4A C ．∴ AC ＝9． ........................................................................................................................ 8分21．（本题8分）（1）解：∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴ CE ＝DE ＝12CD ＝2． .................................................................................................... 2分⊙O 中，设OC ＝OA ＝r ，则OE ＝r －1． ∵ Rt △OED 中，∠CEO ＝90°，∴ (r －1)2＋22＝r 2． .......................................................................................................... 3分 解得 r ＝52．即 ⊙O 的半径为52． .......................................................................................................... 6分（2）解：∵ 在Rt △OEC 中，∠CEO ＝90°，∴ sin ∠COA ＝CE CO ＝45． ................................................................................................... 8分22．（本题8分）解：设长方形的宽为x m ，则长为(x ＋5) m ． .................................................................. 2分 由题意列方程得：x (x ＋5)＝150． ..................................................................................... 5分 解得：x 1＝10，x 2＝－15（舍去）． ................................................................................... 7分 答：长方形菜地宽为10 m ，长为15 m. ........................................................................... 8分23．（本题8分）（1）解：把x ＝0，y ＝3代入y ＝a (x －2)2－1中，解得a ＝1． .................................... 3分 ∴ 这个函数的表达式为y ＝(x －2)2－1． ....................................................................... 4分 （2）x ＜1或x ＞3． ............................................................................................................ 6分 （3）方案1：将该函数的图像向左平移1个单位； ....................................................... 7分 方案2：将该函数的图像向左平移3个单位． ................................................................. 8分解：作AD ⊥EF ，CG ⊥EF ，垂足分别是D 、G ． ........................................................... 1分 ∵ 在Rt △AED 中，tan37°＝DEAD， ∴ AD ＝DEtan37°． .3分∵ 在Rt △CEG 中，tan45°＝EGCG， ∴ CG ＝EG tan45°．5分 又 四边形ACGD 是矩形，∴ CG ＝AD ，AC ＝G D ．∴ EG tan45°＝DE tan37°， ..................................................................................................... 6分∴ 10＋DE ＝DE0.75．∴ DE ＝30． ...................................................................................................................... 7分 答：建筑物EF 的高度高度EF 为50 m ． ......................................................................... 8分 25．（本题8分）（1）证明：∵ AD ⊥BC ， ∴ ∠ADB ＝90°．∵ 四边形EGHF 是矩形，且GH 在BC 上，∴ EF ∥B C ． ..................................................................................................................... 1分 ∴ ∠AME ＝∠ADB ＝90°． ∴ AM 是△AEF 的高． ∵ EF ∥BC ，∴ △AEF ∽△AB C ． ......................................................................................................... 2分∴ AM AD ＝EF BC ． ..................................................................................................................... 3分（2）解：∵ 四边形EGHF 是矩形， ∴ ∠EHD ＝∠HEM ＝90°． ∵ ∠ADB ＝90°，∴ 四边形EMDH 是矩形． ∴ MD ＝EH ＝y ，AM ＝8－y ．由（1）得8－y 8＝x 12， .......................................................................................................... 3分∴ y ＝－2x3＋8． ................................................................................................................ 5分（3）解：S ＝x •y ＝x ⎝⎛⎭⎫－2x 3＋8＝－23(x －6)2＋24． ......................................................... 7分∴ 当x ＝6时，S 取最大值，S 的最大值是24． ........................................................... 8分（1）证明：连接OC ．∵ ⊙O 中，OC ＝OA ，∴ ∠1＝∠A ． ................................................................................................................... 1分 ∵ ∠ACD ＝2∠A ， ∴ ∠2＋∠1＝2∠A ． 即 ∠2＝∠A ． ∵ ∠A ＝∠3，∴ ∠2＝∠3．2分 ∴ OC ∥BE ．3分 ∴ ∠OCE ＋∠E ＝180°. ∵ CE ⊥DB ， ∴ ∠E ＝90°．∴ ∠OCE ＝90°，即OC ⊥CE ． ...................................................................................... 4分 又 点C 在⊙O 上，∴ 直线CE 与⊙O 相切． ................................................................................................. 5分 （2） 解：连接B C ． ∵ AB 是直径， ∴ ∠ACB ＝90°． ∴ BC ＝AB 2－AC 2＝6． ∵ ∠E ＝90°，∴ ∠ACB ＝∠E ．.............................................................................................................. 6分 ∵ ∠OCE ＝90°， ∴ ∠BCE ＝∠1＝∠A ． ∵ ∠ACB ＝∠E ，∠BCE ＝∠A ，∴ △ACB ∽△CEB ． ...................................................................................................... 7分∴ AC EC ＝AB CB ．即 8EC ＝106．解得 EC ＝245． .................................................................................................................. 8分（1）因为计算△AOB 的面积用OB •AD 即可，不需要OA •BO ． ................................. 2分 （2）R ＝2Sa ＋c －b． ............................................................................................................. 5分（3）解法①：……作AD ⊥OB ，CE ⊥AB ，CF ⊥AO ．∵ S △AOC S △ABC ＝OC CB ，S △AOC S △ABC ＝AO AB ， .......................................................................................... 6分∴ OC CB ＝AO AB． ..................................................................................................................... 7分 即OC 4－OC ＝223． ............................................................................................................. 8分 解得：OC ＝23－2． ......................................................................................................... 9分解法②：……在AB 上取点G ，使AG ＝AO ． ∵ AC 平分∠OAB ， ∴ ∠OAC ＝∠GAC ． 又 AC ＝AC ，∴ △AOC ≌△AGC ． ........................................................................................................ 6分 ∴ AG ＝AO ＝2，CG ＝OC ，∠AGC ＝∠AOC ＝60°. ∴ ∠GCB ＝∠AGC －∠GBC ＝30°．∴ ∠GCB ＝∠GBC ． ........................................................................................................ 7分 ∴ GC ＝GB ． ..................................................................................................................... 8分 ∴ OC ＝GB ＝AB －AG ＝23－2． .................................................................................. 9分 解法③：……作△AOB 的外接圆⊙M ，延长AC 交⊙O 于点N ． ∵ ∠OAB ＝90°， ∴ OB 是⊙M 的直径． ∵ OB ＝4，∴ M （2,0）． ..................................................................................................................... 6分 ∵ AC 平分∠OAB ， ∴ ∠OAC ＝∠BAC ．∴ ∠OMN ＝∠BMN ＝12×180°＝90°．∴MN⊥OB．又OM＝2，MN＝2，∴N（2，－2）．............................................................................................................... 7分设直线AC：y＝kx＋b．将（1, 3）和（2，－2）代入，解得k＝－3－2，b＝23＋2．∴AC：y＝－(3＋2)x＋23＋2．................................................................................. 8分当y＝0时，x＝23－2．即OC＝23－2． ................................................................................................................ 9分作AD⊥O B．∵AD⊥OB，∴∠ADO＝∠ADB＝90°ABD＝3 3．∴cos∠AOD＝12，tan∠∴∠AOD＝60°，∠ABD＝30°.（第27题③）。