一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）
1．阅读下面的程序框图，如果输出的函数值()1,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么输入的实数x 的取值范围是（）
A ．[]1,2-
B ．[]2,1-
C ．(][),12,-∞+∞U
D ．(](),12,-∞+∞U
2．已知双曲线22
22x y a b
-=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线被圆C ：x 2+y 2﹣12x ＝0截得的弦长为8，
双曲线的右焦点为C 的圆心，则该双曲线的方程为（）
A ．2212016x y -=
B ．2211620x y -=
C ．22
11224x y -= D ．2212412
x y -= 3．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为,i j a ，比如3,29a =，4,215a =，5,423a =，若,2019i j a =，则i j +=（）
A ．72
B ．71
C ．66
D ．65
4．某学生将语文、数学、英语、物理、化学、生物6科的作业安排在周六、周日完成，要求每天至少完成两科，且数学，物理作业不在同一天完成，则完成作业的不同顺序种数为（）
A ．600
B ．812
C ．1200
D ．1632
5．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则a b
的值为（） A ．32- B ．23- C ．23 D ．32
6．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（）
A ．323cm
B ．3223
cm C 32cm D ．322cm 7．（2015秋•宁德期末）若函数f （x ）唯一的零点同时在（1，1.5），（1.25，1.5），（1.375，1.5），（1.4375，1.5）内，则该零点（精确度为0.01）的一个近似值约为（）
A ．1.02
B ．1.27
C ．1.39
D ．1.45
8．对数列{}{},n n a b ，若区间[],n n a b 满足下列条件：
①[]11,n n a b ++≠
⊂[]()*,n n a b n N ∈；②()lim 0n n n b a →∞-=， 则称{}
,n n a b ⎡⎤⎣⎦为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（）
A ．12,23n n n n a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
B ．21,31n n n n a b n ⎛⎫== ⎪+⎝⎭
C ．11,13n n n n a b n -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
D ．32,21
n n n n a b n n ++==++ 9．数列{}n a 的通项222ππcos sin 33n n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，其前n 项和为n S ，则30S 为（） A ．470 B ．490 C ．495 D ．510
10．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且当[1,2]x ∈时，()ln 1f x x x =-+，若函数()()g x f x mx =+有7个零点，则实数m 的取值范围为（）．
A ．1ln 21ln 2ln 21ln 21,,8668----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U
B ．ln 21ln 21,6
8--⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1ln 21ln 2,86--⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1ln 2ln 21,86--⎛⎫ ⎪⎝⎭
11．如图，等边ABC ∆的边长为2，顶点,B C 分别在x 轴的非负半轴，y 轴的非负半轴上滑
动，M 为AB 中点，则OA OM ⋅u u u v u u u u v 的最大值为（）
A ．7
B ．572+
C ．72
D ．333+ 12．若
，，定义，
则
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
）
13．若三个点()2,1-，()2,3-，()2,1-中恰有两个点在双曲线C ：()2
2210x y a a
-=>上，则双曲线C 的离心率为______.
14．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，12AB AA ==，1AD CD BC ===，,M N 分别为11,CC DD 的中点，平面ABM ⋂平面1111A B C D l =.给出以下几个说法：
①11//A B l ；
②直线AN 与l 的夹角为45︒；
③l 与平面11BB C C 所成的角为60︒；
④平面11ADD A 内存在直线与l 平行.
其中正确命题的序号是__________.
15．设()P n 表示正整数n 的个位数字,记()()()32n P n P n ψ=-,M 是(){}n ψ的前4038项的和,
函数()1ln 1f x x x =++,若函数()g x 满足()2282Mx Mx f g x Mx Mx ⎡⎤---=⎢⎥+⎣
⎦,则数列(){}g n 的前2020项的和为________.
16．在数列{}n a 中，1a 2=，若平面向量(2,1)n b n =+u u r 与1(1,)n n n n c a a a +=-+-u u r 平行，则{}n a 的
通项公式为__________．
三、解答题（共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17-21题为必考题，每个考题考上都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
）
（一）必考题：共60分。
17．已知定点M(0,2)，N(－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．
(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；
(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围．
18．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，,AB CD P 11,AA =3,AB k =4AD k =，
5,BC k =6DC k =(0)k >：
（1）求证：CD ⊥平面11ADD A ；
（2）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的解析式；（直接写出答案，不必说明理由）
19．设数列{}()1,2,n a n =L 是等差数列，且公差为d ，若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）若14,2a d ==，求证：该数列是“封闭数列”；
（2）试判断数列()*27N n a n n =-∈是否是“封闭数列”，为什么?
（3）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若公差11,0d a =>，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使1
211111lim
9n n S S S →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭L ；若存在，求{}n a 的通项公式，若不存在，说明理由. 20．如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中
,,32AB a B BC a π
=∠==.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道MN ，
且两边是两个关于走道MN 对称的三角形（AMN ∆和A MN '∆）.现考虑方便和绿地最大化原则，要求点M 与点,A B 均不重合，A '落在边BC 上且不与端点,B C 重合，设AMN θ∠=.
（1）若3πθ=，求此时公共绿地的面积；
（2）为方便小区居民的行走，设计时要求,AN A N '的长度最短，求此时绿地公共走道MN 的长度.
21．设f （x ）=a x ﹣1，g （x ）=b x ﹣1（a ，b ＞0），记h （x ）=f （x ）﹣g （x ）
（1）若h （2）=2，h （3）=12，当x ∈[1，3]时，求h （x ）的最大值
（2）a=2，b=1，且方程有两个不相等实根m ，n ，求mn 的取值范围
（3）若a=2，h （x ）=c x ﹣1（x ＞1，c ＞0），且a ，b ，c 是三角形的三边长，求出x 的范围．
（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一道题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是3cos sin x y αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数）.以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是sin 424πρθ⎛⎫ ⎪⎭=⎝
+. （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
（2）设P 为曲线1C 上的动点，过P 点且与x 垂直的直线交2C 于点A ，求||PA 的最小值，并求此时点P 的直角坐标.
23．如图，⊙1O 与⊙2O 相交于点A 和B ，经过A 作直线与⊙1O 相交于D ，与⊙2O 相交于C ，设弧BC 的中点为M ，弧BD 的中点为N ，线段CD 的中点为K.
求证：.MK KN ⊥
【参考答案】
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）。