第11章 数的开方 11.1平方根与立方根
专题一 算术平方根与绝对值的综合运用
1. 如果320a b ++-=，则2013()
a b +=______. 2. 已知a 、b 满足997b a a =
-+--，求a b -的平方根.
3. 如果1x y -+与
5x y +-互为相反数，求3x y +的算术平方根.
专题二 被开方数中字母的取值问题
4. 已知△ABC 的三边长分别为a b c ，，，且满足21690a b b -+-+=，求c 的取值范围.
5.在学习平方根知识时，老师提出一个问题：2
m m -与2m m -中的m 的取值范围相同吗？小明说相同，小刚说不同，你同意谁的说法？说出你的理由.
6.
专题三 （算术）平方根与立方根的规律探究
6. 111233+=112344+=113455
+=，…，请你将猜想到的规律用含自然数n (1)n ≥的代数式表示出来.
7. 33222=27733333=3262633444=46363
（1）你能用含有n （n 为整数，且1n >）的等式来表示你发现的规律吗？
（23320132013
20131-332013201320131
-的关系.
状元笔记：
[知识要点]
1. 平方根与立方根
=，那么x就叫做a的平方根.
（1）一般地，如果2x a
（2）一个正数a的正的平方根a a的算术平方根.
=，那么x就叫做a的立方根.
（3）一般地，如果3x a
2. 性质
（1）平方根的性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0只有一个平方根，是0本身；③负数没有平方根.
（2a
a≥；
①被开方数a非负，即0
a0
a≥.
（3）立方根的性质：
①一个正数有一个正的立方根；
②一个负数有一个负的立方根；
③0的立方根是0.
[温馨提示]
1. 负数没有平方根，但是它有立方根.
2. 注意利用绝对值、算术平方根的非负性求解.
[方法技巧]
体会从一般到特殊的数学思想，从中得到规律.
参考答案
1. 1- 【解析】 30a +=，20b -=，即3a =-，2b =.
∴2013()a b +=2013(32)1-+=-.
2. 解：根据算术平方根的意义，得9090
a a -≥⎧⎨
-≥⎩， ∴9a =，7b =-， ∴16a b -=.
故a b - 的平方根是4±. 3. 解：根据题意得150x y x y -++-=，即1050
x y x y -+=⎧⎨
+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩. ∴33239x y +=⨯+=，
∴3x y +的算术平方根是3. 4. 10a -≥，2269(3)0b b b -+=-≥21690a b b --+=，
10a -=，2(3)0b -=，
∴1a =，3b =.由三角形三边关系得a b c a b -<<+，
∴24c <<.
5. 解：同意小刚的说法.2m m -中，020
m m ≥⎧⎨->⎩，得2m >； 2m m -020m m ≥⎧⎨->⎩，或020m m ≤⎧⎨-<⎩
，得2m >，或0m ≤. 2
m m -2m m -m 的取值范围是不同的，故小刚的说法正确.
6. 11(1)(1)22
n n n n n +=+≥++. 7. 解：（1333311
n n n n n n +=--. （2333320132013201320132013120131
=--.。