平方根与立
方根 【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x
时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。

因此：
1.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
2.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x
±=。

3.当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。

例1.
（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。

（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是
（4）当x 时，x 23－有意义。

（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？
【算术平方根】：
（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，
a 称为被开方数。

特别规定：0的算术平方根仍然为0。

（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。

（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：
a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。

例2.
（1）下列说法正确的是 （ ）
A ．1的立方根是1±；
B ．
24±=； （C ）、81的平方根是3±； （ D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）
A 、
981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。

（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。

（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足
0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。

（6）已知：A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根，B=322+-+y x y x 是y x 2+的立方根。

求A －B 的平方根。

（7）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。

求x － y 的值.
【立方根】
（1）如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。

记做：3a ，读作，3次根号a 。

注意：这里的3表示的是
根指数。

一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。

（2）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。

例3.
（1）64的立方根是???????????
（2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000
（3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。

其中正确的有 （ ）A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
一.选择
1、若a x =2，则（ ） A 、x>0 B 、x≥0 C 、a>0 D 、a≥0
2、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（ ）
A 、大于0
B 、等于0
C 、小于0
D 、不能确定
3、一个正方形的边长为a ，面积为b ，则（ ）
A 、a 是b 的平方根
B 、a 是b 的的算术平方根
C 、b a
±= D 、a b = 4、若a≥0，则24a 的算术平方根是（ ） A 、2a B 、±2a C 、
a 2 D 、| 2a | 5、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ） A 、0<a<1 B 、a>0 C 、a<1 D 、a>1 6、若n 为正整数，则
121+-n 等于（ ） A 、-1 B 、1 C 、±1 D 、2n+1 7、若a<0，则a a 22等于（ ） A 、21 B 、21- C 、±21 D 、0 8、若x-5能开平方，则x 的取值范围是（ ） A 、x≥0 B 、x>5 C 、x≥5 D 、x≤5
9、下列说法：①一个数的平方根一定有两个；②一个正数的平方根一定是它的算术平方根；③负数没有立方根．其中正确的个数有（）
A ， 0个
B ，1个
C ，2个
D ，3个
10、若一个数的平方根与它的立方根完全相同，则这个数是（） A ， 1 B ， －1 C ， 0 D ，±1, 0
11、 若ｘ使（ｘ－1）2＝4成立，则ｘ的值是（ ）A ，3 B ，－1 C ，3或－1 D ，±2
12、如果a 是负数，那么2a 的平方根是（ ）．A ．a B ．a - C ．a ± D ．
13a 有（ ）．A ．0个 B ．1个 C ．无数个 D ．以上都不对
14、下列说法中正确的是（ ）．
A ．若0a <，则
0 B ．x 是实数，且2x a =，则0a >
C 有意义时，0x ≤
D ．0.1的平方根是0.01±
15、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（ ）．A ．2 B ．±2 C ．4 D ．±4
16、若22(5)a =-，33(5)b =-，则a b +的所有可能值为（ ）．
A ．0
B ．-10
C ．0或-10
D ．0或±10
17、若10m -<<，且n
=，则m 、n 的大小关系是（ ）． A ．m n > B ．m n < C ．m n = D ．不能确定
18、27- ）．A ．0 B ．6 C ．－12或6 D ．0或－6
19、若a ，b 满足2|(2)0b +-=，则ab 等于（ ）．A ．2 B ．1
2 C ．-2 D ．-1
2
20、下列各式中无论x 为任何数都没有意义的是（ ）．
A ．
B
C
D 二，填空
1的平方根是 ，35±是 的平方根．
2、在下列各数中0，254，31()3
--，2(5)--，222x x ++，|1|a -，||1a -有平方根的个数是 个．
3、 144的算术平方根是 ，
16的平方根是 ； 4、 327= ， 64-的立方根是 ； 5、 7的平方根为 ，21.1= ；
6、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ；
7、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ；
8、当x= 时，
13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义； 9、若164=x
，则x= ；若813=n ，则n= ； 10、若
3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ； 11、若0|2|1=-++y x ，则x+y= ；
12、计算：381264
273292531+-+= ；
13、代数式3-的最大值为 ，这是,a b 的关系是 ．
1435=-，则x = ，若6=，则x = ．
154k =-，则k 的值为 ．
16、若1n n <
<+，1m m <<+，其中m 、n 为整数，则m n += ． 17、若m 的平方根是51a +和19a -，则m = ．
三、解答题
18、解方程：（1）0324)
1(2=--x （2） 125－8ｘ3＝0 （3 ） 264(3)90x --= （4） 2(41)225x -= （5 ）
31(1)802x -+= （ 6 ） 3125(2)343x -=-
（7） |1 （8
（9） （10）
11互为相反数，求代数式12x y
+的值．
12、已知a x =M 的立方根，y =是x 的相反数，且37M a =-，请你求出x 的平方根．
13、若y =，求2x y +的值．
144=，且2(21)0y x -+=，求x y z ++的值．
15、已知：ｘ－2的平方根是±2, 2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2+ｙ2的平方根．
16、若12112--+-=x x y ，求x y 的值。