1 (n 0) (n) 0 (n 0)
( n)
0
1 (n n0 ) (n n0 ) 0 (n n0 )
(n n0 )
n0
n
0
n
单位脉冲序列也具有取样特性(筛选特性)
x(n) (n) x(0) (n)
x(n) (n m) x(m) (n m)
n
(t nT

s
)
周期性冲激串 T (t ) 的傅里叶变换 P ( )
1 P( ) 2 ns s ns n Ts n
采样信号的频域分析
设连续信号x(t)的傅里叶变换为X()，抽样后信号xs(t) 的傅里 叶变换为Xs() ，又知周期性冲激串δT (t)的傅里叶变换为:

y ( n)
由上式可得求卷积和的列表法
列表法求卷积和
h(n) {1, 2, 4, 0,5}, x(n) {1,3, 6,1, 1, 4} 求

y ( n) h( n) x ( n)


1 h(n) -1 -1
x ( n)
3 2 -3 2
6 4 -6 6 4 0
可以用方框图来表示理想化的采样过程。
x(t )
抽样
xs ( t )
抽样信号 离散信号
量化编码
数字信号
连续信号
(t nTs ) T (t ) n 周期性冲激串

如图所示，理想化的采样过程的实质是一个将连续信号 x(t ) 与周 期性冲激串 T (t ) 相乘的过程，即：
xs (t ) x (t )
t
s
0
s
二、采样定理
采样定理（香农定理；奈奎斯特（Nyquist ）定理）： 对于频谱受限的信号 ，如果其最高频率分量为 m ，为了保 留原信号的全部信息，或能无失真地恢复原信号，在通过 采样得到离散信号时，其采样频率应满足 s 2m 。 奈奎斯特（Nyquist）频率 通常把最低允许的采样频率 2m 称为Nyquist频率
n
x(n) (n n ) x(n ) (n n ) x(n )
0 n 0 0 0


任意一个序列 x(n) ，都可以用单位脉冲序列表示为
x ( n)
k
x(k ) (k n)

3-9
2、单位阶跃序列
1 (n 0) u(n) 0 (n 0)
如果采样的过程不满足抽样定理，会产生频率混叠现象
x(t )
0
1 Ts
X s ( )
0
Ts
t
s 2m
s s m m
1 Ts
0
Ts
t
s 2m
m 0
1 Ts
s
0
Ts
t
s 2m
s
0
s

几种常用的典型离散信号（典型序列）
1、单位脉冲序列/单位样值序列（Unit Sample)
对于信号：
x(n) A sin[n 0 ]
k 2 N
k，N为整数
若 可以表示为 ： 则有：
x(n N ) Asin[n 2 k 0 ] Asin[n 0 ] x(n)
即，x(n) 是以N为周期的信号
k 若 不可以表示为 ： 2 N （找不到k，N的组合）
1
0 1 2 3 4..... n
单位阶跃序列与单位脉冲序列的关系：
(n) u(n) u(n 1)
3-11 3-12
u (n) (n k )
k 0

3、矩形序列
1 ( 0 n N 1) Gn (n) 0 ( n 0 or n N ) u (n) u (n n0 )

P( ) s
n
n
s

由傅里叶变换的频域卷积定理（2－104），有 1 X s X * P 2
代入，得：
1 X s Ts
n
X n
s

上式含义为： （1）频谱发生了周期延拓，即将原连续信号的频谱X()分别延拓 到以 s , 2s ,... 为中心的频谱。
连续时间信号：角频率 可以在 区间任意取值 离散时间信号：角频率 的有效取值区间为
0 2
或
四、离散信号的时域运算
1. 2. 3. 4. 5. 6.
平移、翻转 和、积 累加 差分运算 序列的时间尺度（比例）变换 卷积和
3、累加 设某序列为x(n)，则x(n)的累加序列y(n)定义为:

x(n)
抽取
1
-2
2
-1 0
3
4
5
...
插值
n
1
2
(a )
6、卷积和
设两序列为x(n)和h(n)，则x(n)和h(n)的卷积和定义为
y ( n)
由定义可知：
m
x ( m) h( n m) x ( n ) h ( n )
... x (2)h(n (2)) x (1)h(n (1)) x (0)h(n) x (1)h(n 1) x (2) h( n 2) ...
n
y (n)
k
x(k )
它表示在某一个n0上的值等于这一个n0上的x(n0)值以及n0以 前的所有n上的值之和。
4、差分运算
前向差分: 后向差分:
x(n) x(n 1) x(n)
x(n) x(n) x(n 1)
5、序列的时间尺度（比例）变换
对某序列x(n)，其时间尺度变换序列为x(m· n)或x(n/m)，其中 m为正整数。
+ -1 -1
4
1 -1 0 5 -1 1 12 2 12 24 0 0 5 15 28 42
4
-4 -2 8 4 -4 16 0 0 0 30 5 -5 20 28 9 11 20
y(n) {1,1,4,23,32,13,34,21,5,20}
1 (2) 频谱的幅度乘上了一个 因子 。 Ts
x(t )
FT
0
T (t )
1
0
p( ) s

X ( )
t
n

n
(t nT ) (1)
s

( n )
s

FT
Ts
( s )
s
0
0
t
s

xs (t )
FT
0
1 Ts
X s ( )
1
0 1 2 n0
6、正弦型序列
正弦型序列可理解为从连续时间正弦信号经采样得到，即
x(n) A sin(t 0 ) t nT A sin( nTs 0 ) A sin(n 0 )
T 称为离散角频率，单位为弧度（rad）
需要强调： 连续时间正弦信号一定是周期信号 离散化正弦序列不一定是周期性序列，只有满足某些条件 时，它才是周期性序列。
即，x(n) 不是周期信号
k，N为整数
7、复指数序列
x(n) e
( j) n
e (cos n j sin n)
n
当 0 时，复指数序列的周期性与正弦序列相同，即： 若 可以表示为 ：
k 2 N
k，N为整数
则，x(n) 是以N为周期的信号
离散信号与连续信号角频率取值范围的重要区别