2017春季四年级奥数班讲义第一讲定义新运算(又名:自定义)例1:规定一种运算: a△b=3×a＋4×b,例如,2△5=3×2＋4×5=6＋20=26,5△2=3×5＋4×2=15＋8=23, ……,根据以上规律计算: ①10△2 ② 2△10 简析:本题属于“用字母表示数”的学习内容,重点是弄清规定,找出规律.①含义为:给定两个数a和b,用3乘第一个数a,用4乘第二个数b,并将结果相加10△2 2△10=3×10＋4×2 = 3×2＋4×10=30＋8 = 6＋40=38 =46②式中的“△”为“关系符号”，不是运算符号，可以是任意的字符，图片，实物等③计算完毕后比较一下:定义新运算中,交换律适用吗?配套练习:1.规定一种运算:m□n=4×m－3×n,根据以上规律计算:5□32.规定一种运算：a△b=﹙a＋b﹚×﹙a－b﹚，试求： 6△4例2：对于两个数a和b，规定：a△b=﹙a+3﹚×﹙b+4﹚，试求：①1△2△3 ② 1△﹙2△3﹚简析：本题是例1的发展，重点在于弄清运算顺序。
①其运算顺序与四则混合运算顺序相同，但要注意，先计算部分是个整体，应加括号，没算到的部分往下带。
②应该用发展的、动态的眼光对待a和b.1△2△3=[﹙1+3﹚×﹙2+4﹚]△3 ﹙a=1,b=2﹚=[4×6]△3=24△3=﹙24+3﹚×﹙3+4﹚﹙a=24,b=3﹚=27×7=1891△﹙2△3﹚=1△[﹙2+3﹚×﹙3+4﹚]﹙a=2,b=3﹚=1△[5×7]=1△35=﹙1+3﹚×﹙35+4﹚﹙a=1,b=35﹚=4×39=156配套练习:1.对于两个数a和b,规定a○b=a+5b,试求① 1○2○3 ② 1○﹙2○3﹚注意:5b表示5×b或b×52.对于两个数a和b,规定:a□b=﹙a－2﹚×﹙b÷2﹚.试求:3□﹙5□4﹚例3:如果2☆3=2+3+4,5☆2=5+6,4☆5=4+5+6+7+8,......照此规律,计算① 3☆5 ② 8☆3简析:本题是自找规律,通过观察,找到a和b之间的关系是关键.①首数字是第一个数,每组数是递增的,个数的多少受第二个数的限制,第二数是几,加数就是几个②加数较多时可用配对法计算或等差数列求和公式计算.3☆5 8☆3=3+4+5+6+7 =8+9+10=25 =27注:本组计算有技巧,你能发现吗?配套练习:1.如果5▽3=5×6×7,2▽4=2×3×4×5,按此规律计算:3▽4.2.如果2▽4=24÷﹙2+4﹚,3▽6=36÷﹙3＋6﹚,按此规律计算:8▽4例4:规定一种运算:5C3=﹙5×4×3﹚÷﹙3×2×1﹚=10,6C2=﹙6×5﹚÷﹙2×1﹚ =15,10C4=﹙10×9×8×7﹚÷﹙4×3×2×1﹚=210,按此规律计算:7C4简析:本题是高二的排列组合问题,在小学属于“阅读与理解”的内容.在数图形和“解决问题的策略”中有比较广泛的用途.①本题是例3的具体应用,难度较小.②鼓励学生自主完成.解答过程:略.第二讲一. 阔步课堂例1:甲乙两数的乘积是60,如果甲数扩大5倍,乙数不变,乘积是多少?如果甲数不变,乙数扩大5倍,乘积是多少?如果甲乙都扩大5倍,乘积是多少?简析:扩大几倍,就是某数乘几.可通过具体算式探讨规律.再运用规律解决问题.60×5=300 60×5=300 60×5×5=1500二.盈亏问题例1:将一堆苹果分给小朋友,每人分9个,则少45个;每人分7个,则多5个.有多少人,共有多少个苹果?简析:本题属典型的盈亏问题.多为“盈”,少为“亏”.重点在于理解“盈”与“亏”之间的关系.可借助线段图加以理解.苹果总数和人数是不变的,两次分配中的总数差异是因为两次中每人分得的个数差异造成的.①总数相差多少?借助线段图直观显示(图略) 45+5=50（个）②每人分配相差多少? 9－7=2（个）③一共有几人? 50÷2=25（人）④一共有几个苹果? 9×25－45=180（个）或者 25×7+5=180（个）做完后体会线段图与例题中各数量的对应关系答：略配套练习:①某校有若干个学生寄宿学校.若每一间房住6人,则多40人;若每间房住8人,则最后一间房少2人.有多少住宿学生和多少间房?②数学兴趣小组同学做数学题,如果每人做6道题,则少4道;如果每人做4道题,则多10道.有多少个学生和多少道题?例2:同学们去划船.每船坐4人,则少一条船;如果每条船坐6人,则多出4条船.有多少条船和多少人?简析:本题是例1的升级.将盈与亏复杂化.少一条船,意味着多出:4人此为盈;多出4条船,意味着少:6×4=24（人）,此为亏.然后借助例1的程式化解答方式求解.①总数相差多少?4×1+4×6=28（人）②每条船坐的人数相差多少? 6-4=2（人）③有几条船? 28÷2=14（条）④有多少人? 14×4＋4=60（人）或者 14×6－4×6=60（人）答：略配套练习:①学校给新生分配宿舍,如果每间住8人,则少2间房;如果每间住10人,则多出2间房.一共有几间房和多少人?②一个学生从家到学校,如果以每分钟50米的速度行走,就要迟到8分钟;如果以每分钟60米的速度行走,就可以提前5分钟到校.这个学生出发时离上学时间还有多少分钟?例3:学校派一些学生搬一批树苗.如果每人搬6棵,则差4棵;如果每人搬8棵,则差18棵.学生有多少人?有多少棵树?简析:本题属双亏问题.重点在于理解总数相差多少.仍然借助线段图解决问题（图略）.①总数相差多少?18-4=14（棵）②每人搬的树苗相差多少? 8－6=2（棵）③有多少人? 14÷2=7（人）④有多少棵树? 7×6—4=38(棵)答：略配套练习:①科学课堂上,老师给同学们发树叶.如果每人分6片,少7片;如果每人分8片,则少17片.有多少片树叶?②一堆苹果分给同学们.每人4个,多8个;若每人2个,多18个.学生有多少人?第三讲一 . 阔步课堂例1:有两桶水,如果从第一桶倒10升给第二桶,那么两桶水一样多.已知两桶水一共有120升,这两桶水各有多少升?简析:本题属和差问题.可以用线段图帮助理解.也可用公式解决.①方法一:倒着做.从总重入手,倒推各有多少升:120÷2=60（升）第一桶有:60+10=70（升）,第二桶有60-10=50（升）③方法二:画线段图.变不平均分为平均分.A方法一:都与第二桶同样多:120-10×2=100（升）100÷2=50（升）……第二桶第一桶:120-50=70（升）B方法二:都与第一桶同样多:120+10×2=140（升） 140÷2=70（升）……第一桶第二桶 120-70=50（升）④直接用公式(略)答：略二 . 替换法例1.□＋□＋○＋○＋○=200,□=○＋5则□=（）○=（）简析:这是符号化的替换,比较直观.有两种替换方式.①替换成□:每个○加5,正好可将○换成□.3个○加5×3=15,现在的总和是200+15=215,正好是5个□的总和,所以每个□是:215÷5=43,因此○是:43-5=38②替换成○:每个□减去5,正好可以替换成○.每个□减少5,一共减少:5×2=10,现在总和是200-10=190,这是5个○的总和.每个○为:190÷5=38,每个□为:38+5=43配套练习:1.◎＋◎＋◎＋□＋□＋□＋□=300,□－◎=5,则◎是几?□是几?2.甲乙共有600元,甲比乙多10元.甲乙各有多少元?学生做完后思考:本题与和差问题有什么相通之处?例2:◎＋◎＋□=210,◎÷□=3,则◎=( ),□=( )简析:本题是例1的变式.本质相同.区别在于替换条件有所变化.因计算条件限制,替换只能以大换小.第二个条件是替换根据.一个◎可换3个□.◎一共可换3×2=6（个）□,现在共有6+1=7(个)□,所以每个□为:210÷7=30,每个◎为:30×3=90配套练习:1.长方形周长80厘米,长比宽长2厘米.求长方形的长与宽各是多少.2.甲乙共有600元.甲的钱是乙的2倍.甲乙各有多少元?做完后思考:本题与和倍问题有什么相通之处?例3:等腰三角形的顶角比底角大18º.求它的顶角与底角度数.简析:本题是替换法的实际应用.如何替换是关键,弄清底角与顶角概念也很重要.等腰三角形两腰的夹角是顶角,底与腰的夹角是底角.等腰三角形有两个相等的底角.①全替换成底角:顶角去掉18º,变成底角,三底角之和是:180º-18º=162º,每个底角度数为:162º÷3=54º,则顶角为:54º＋18º=72º②全替换为顶角:每个底角增加18º,一共增加18º×2=36º.此时三个顶角之和为:180º+36º=216º,每个顶角度数为:216º÷3=72º,则底角为:72º-18º=54º答：略配套练习:1.等腰三角形的底角比顶角大18º,则底角与顶角各是多少度?2.等腰三角形的底角度数是顶角的2倍,则底角与顶角各是多少度?例4:甲乙共有210元.甲的钱比乙的3倍多10元.甲乙各有多少元?简析:本题属“不完整倍数问题”,关键是变“不完整”为“完整”.基本思想是:多退少补①从甲的钱数里去掉多出的10元,此时甲乙共有210-10=200（元）,甲的钱正好是乙的3倍.②画线段图,弄清200元与倍数间的关系.顺利解答:200÷（3+1）=50（元）,从而甲的钱数为50×3+10=160（元）或者210-50=160（元）答：略③完成后思考:本题与“和倍问题”有何相通之处?配套练习:1.甲有200元,比乙的4倍多40元.乙有多少元?2.甲乙共有300元.甲比乙的3倍少60元.甲乙各有多少元?第四讲一 . 阔步课堂例1:三角形的周长是20厘米.则三角形的最长边长度小于（ 10 ）厘米.简析:本题属于三角形三边关系的内容.重点在于：三角形任意两边之和大于第三边.最短的两边之和也大于第三边,从而最长边小于20÷2=10（厘米）例2:把一根16厘米长的吸管剪成三段（每段都是整厘米）,围成一个三角形,可能围成多少种不同的三角形?简析:本题是例1的发展,根据同样的道理求解.可先确定最长边的范围.①最长边的范围:最长边小于16÷2=8（厘米）②小于8,且另两边都不大于8,则16=7+7+2=7+6+3=7+5+4=6+6+4=6+5+5,共有5种答：略配套练习：用12根火柴棒拼三角形，可以拼出多少种不同的三角形？（不许弯折）二.还原问题例1:一个数的7倍减去5再加上2,然后除以3得20.求这个数.简析:本题从最后的条件入手解答,也叫“倒着做”.一般用分步式解答.①20×3=60②60-2=58③58+5=63④63÷7=9配套练习:1.甲,乙,丙三人各有人民币若干元.甲给乙125元,乙给丙135元,丙给甲40元.这时三个人的钱数都是365元.甲,乙,丙三人原来各有多少元?2.一个数乘9,加上19,再乘2,最后除以2等于109,这个数是多少?例2:马大哈做减法计算时,把减数个位上的1看成7,把被减数十位上的6看成9,结果得到差为600.正确的差是多少?简析:本题属于“还原问题”的变式。