2017-2018学年浙江省绍兴市柯桥区高一（下）期末数学试卷一、选择题：选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）sin15°cos15°＝（）A．B．C．D．2．（3分）设S n＝1﹣2+4﹣8+…+（﹣2）n﹣1，n∈N“，则S5＝（）A．﹣33B．﹣5C．11D．333．（3分）已知实数a，b满足ab≠0且a＜b，则下列命题成立的是（）A．|a|＜|b|B．a2＞b2C．a3＜b3D．4．（3分）已知{a n}为等差数列，a1＝3，a5＝5，则a4＝（）A．3B．4C．D．5．（3分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2＝b2+ac，则B＝（）A．B．C．D．6．（3分）已知函数f（x）＝（ax﹣1）（x+b），如果不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），则不等式f（﹣2x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣，）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，）7．（3分）若α∈（，π），且3cos2α＝sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．8．（3分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝，b＝，A＝60°，则BC边上的高为（）A．﹣1B．+1C．D．9．（3分）设数列{a n}是首项为1，公比为q（q≠﹣1）的等比数列，若{}是等差数列，则（）+（）+…+（）的值等于（）A．2017B．2018C．4034D．403610．（3分）已知正实数x，y满足x+y+3＝xy，若对任意满足条件的正实数x，y都有不等式（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．11．（3分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是．12．（3分）已知等比数列{b n}中，b1＝﹣8，b2＝﹣24，则{b n}的前n项和S n＝．13．（3分）如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距l5海里的C处，现甲船以35海里时的速度沿CB方向去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为小时．14．（3分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sin A ﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，则△ABC面积的最大值为．15．（3分）函数f（x）＝|1﹣3x|+|+1|的最小值是．16．（3分）已知实数x，y满足，则|x﹣2y﹣1|﹣3|x﹣y|的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）已知cosα＝，cos（α﹣β）＝，0＜β＜α＜．（1）求cos2α的值；（2）求cosβ的值．18．（10分）在数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝a n+C（C为常数，n∈N*）且a1，a2，a5成公比不等于1的等比数列．（1）求C的值；（2）设b n＝，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n．19．（10分）已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，满足sin B、sin A、sin C 成等差数列．（1）求角A的最大值；（2）设函数f（x）＝sin x cos x﹣cos2，求f（A）的值域．20．（12分）已知实数x，y满足，目标函数Z＝2x﹣y，设Z的最大值为n，最小值为m．（1）求m，n的值．（2）对于任意实数a∈[m，n﹣4]，函数f（t）＝t2+（a﹣4）t+4﹣2a的值恒大于0，求实数t的取值范围．21．（12分）设数列{a n}满足：＝2n+1﹣1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n；（3）设c n＝4n+（﹣1）n﹣1（n∈N*），问：是否存在非零整数λ，使数列{c n}为递增数列？若存在，求出λ的值：若不存在，说明理由．2017-2018学年浙江省绍兴市柯桥区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【考点】GS：二倍角的三角函数．【解答】解：因为sin2α＝2sinαcosα，所以sin15°cos15°＝sin30°＝．故选：A．【点评】本题考查正弦的倍角公式．2．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：S5＝＝11，故选：C．【点评】本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．【考点】R3：不等式的基本性质．【解答】解：对于A选项，取a＝﹣2，b＝1，则|a|＞|b|，A选项错误；对于B选项，取a＝1，b＝2，则a2＜b2，B选项错误；对于C选项，由于函数y＝x3在R上是增函数，且a＜b，则a3＜b3，C选项正确；对于D选项，取a＝1，b＝2，则，D选项错误．故选：C．【点评】本题考查不等式的基本性质，灵活利用不等式的基本性质与特殊值法，是解本题的关键，属于基础题．4．【考点】84：等差数列的通项公式．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a1＝3，a5＝5，得．∴．故选：D．【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．5．【考点】HR：余弦定理．【解答】解：∵a2+c2＝b2+ac，∴cos B＝＝，∵B∈（0，π）．∴B＝．故选：B．【点评】本题考查了余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．【考点】3V：二次函数的性质与图象；73：一元二次不等式及其应用．【解答】解：∵不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），∴（ax﹣1）（x+b）＞0，∴（﹣ax+1）（x+b）＜0，∴a＝﹣1，b＝﹣3，∴f（﹣2x）＝[﹣（﹣2x）﹣1][（﹣2x）﹣3]＜0，解得：x＞，或x＜﹣，故选：A．【点评】本题考察了二次函数的性质，一元二次不等式和二次函数的关系，是一道基础题．7．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵3cos2α＝sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）＝（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα＝，∴两边平方，可得：1+2sinαcosα＝，∴sin2α＝2sinαcosα＝﹣．故选：D．【点评】本题主要考查了二倍角公式，两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8．【考点】HR：余弦定理．【解答】解：由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即3＝2+c2﹣2c•，解得c＝．由△ABC的面积等于bc•sin A＝ah，（h为BC边上的高）可得h＝，故选：D．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，三角形的内角和公式，考查三角形面积的计算，属于中档题．9．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【解答】解：数列{a n}是首项为1，公比为q（q≠﹣1）的等比数列，可得a n＝q n﹣1，＝＝•，由{}是等差数列，可得q＝1，即a n＝1，即有（）+（）+…+（）＝2+2+…+2＝2×2017＝4034．故选：C．【点评】本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式，以及数列的求和，考查运算能力，属于基础题．10．【考点】3R：函数恒成立问题；7F：基本不等式及其应用．【解答】解：x+y+3＝xy≤，可得（x+y）2﹣4（x+y）﹣12≥0，由x＞0，y＞0，解得x+y≥6，对任意满足条件的正实数x，y都有不等式（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0恒成立，可得a≤（x+y）+的最小值，可令t＝x+y，则t+在t≥6递增，可得t+的最小值为，则a≤，故选：B．【点评】本题考查基本不等式的运用和不等式恒成立问题解法，考查化简运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．11．【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则对应区域为三角形ABC，其中A（0，2），B（1，2），C（1，1），则三角形ABC的面积S＝×1×1＝，故答案为：【点评】本题主要考查三角形面积的计算，作出不等式组对应的平面区域是解决本题的关键．12．【考点】89：等比数列的前n项和．【解答】解：等比数列{b n}中，b1＝﹣8，b2＝﹣24，∴q＝＝＝3，∴{b n}的前n项和S n＝＝＝4（1﹣3n）．故答案为：4（1﹣3n）．【点评】本题考查等比数列的前n项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13．【考点】HU：解三角形．【解答】解：由题意，对于CB的长度可用余弦定理求解，得CB2＝CO2+OB2﹣|CO||OB|cos120°＝225+625+375＝1225，因此|CB|＝35，因此甲船需要的时间为＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查余弦定理的应用．属基础题．14．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【解答】解：因为：（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，又因为：a＝2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2＝bc⇒b2+c2﹣bc＝a2⇒b2+c2﹣bc＝4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．15．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【解答】解：函数f（x）＝|1﹣3x|+|+1|≥|1﹣3x﹣1﹣|＝|3x|+≥2＝，当且仅当|3x|＝，即x＝±时，上式取得等号，则f（x）的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用绝对值不等式的性质和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．16．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：|x﹣2y﹣1|的几何意义是可行域内的点与直线x﹣2y﹣1＝0的距离的倍；3|x﹣y|的几何意义是可行域内的点与直线x﹣y＝0距离的倍．由图形可知，|x﹣2y﹣1|﹣3|x﹣y|取得最值的点在线段AB上，由，解得A（1，0），代由，解得B（2，3），y＝3x﹣3代入z＝|x﹣2y﹣1|﹣3|x﹣y|化简可得：z＝|x﹣2y﹣1|﹣3|x﹣y|＝，当x∈[1，1.5]时，z的最小值为﹣3，最大值为．当x∈（1.5，2]时，z的最小值为：2，最大值为，即|x﹣2y﹣1|﹣3|x﹣y|的取值范围是：[﹣3，]．故答案为：[﹣3，]．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【解答】解：（1）∵已知cosα＝，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣．（2）由（1）可得，sinα＝＝，∵cos（α﹣β）＝，0＜β＜α＜，∴sin（α﹣β）＝＝，∴cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosα•cos（α﹣β）+sinα•sin（α﹣β）＝•+•＝．【点评】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于基础题．18．【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和；8H：数列递推式．【解答】解：（1）数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝a n+C（C为常数，n∈N*），则：a n+1﹣a n＝C（常数），所以数列{a n}为等差数列，则：a n＝a1+（n﹣1）C＝1+（n﹣1）C，所以：a2＝1+C，a5＝1+4C，且a1，a2，a5成公比不等于1的等比数列．则：（1+C）2＝1+4C，解得C＝0或2，当C＝0时，数列为常数列，故舍去．则：C＝2．证明：（2）由（1）得：a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，由于，故：＝，所以：＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用裂项相消法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【解答】（本题满分为10分）解：（1）∵sin B、sin A、sin C成等差数列，∴sin2A＝sin B•sin C，…1分∴由正弦定理可得：a2＝bc，…2分∴由余弦定理可得：cos A＝＝≥，…4分∵0＜A≤，∴A max＝…5分（2）∵f（x）＝sin x cos x﹣cos2＝sin3x﹣cos3x﹣＝sin（3x﹣）﹣，…7分∵由（1）可知0＜A≤，可得：3A﹣∈（﹣，]，…8分∴可得：sin（3A﹣）∈（﹣，1]，…9分∴f（A）∈（﹣，1]…10分【点评】本题主要考查了等差数列的性质，正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．20．【考点】3R：函数恒成立问题；7C：简单线性规划．【解答】解：（1）实数x，y满足，的可行域如图，目标函数Z＝2x﹣y，经过A点时，Z的最小值为n＝﹣2×1+1＝﹣1，经过B时最大值为m＝2×2+1＝5．（2）设g（a）＝t2+（a﹣4）t+4﹣2a，a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立，∵，即，解得t＜1或t＞3．【点评】本题考查详细规划的简单应用，函数恒成立条件的应用，考查计算能力．21．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【解答】解：（1）数列{a n}满足：＝2n+1﹣2（n∈N*），①则：当n≥2时，＝2n﹣2（n∈N*），②①﹣②得：＝2n，所以：a n＝n．当n＝1时，，a1＝1所以：a n＝n．（2）由于：a n＝n，所以：b n＝a n＝n•2n，数列{b n}的前n项和为T n，①，2②，①﹣②得：﹣T n＝1•21+1•22+…+1•2n﹣n•2n+1，＝，整理得：．（3）存在非零整数λ＝﹣1，使数列{c n}为递增数列．理由：由于c n＝4n+（﹣1）n﹣1（n∈N*），则：，如果存在非零整数λ，使数列{c n}为递增数列，则：c n+1＞c n，即：，所以：3•4n﹣3λ（﹣1）n﹣1•2n+1＞0恒成立．整理得：4n﹣λ•（﹣1）n﹣1•2n+1＞0，当n为奇数时，λ＜2n﹣1恒成立，则：λ＜1，当n为偶数时，λ＞﹣2n﹣1恒成立，则λ＞﹣2．所以：﹣2＜λ＜1．故存在λ＝﹣1，使数列{c n}为递增数列．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，利用函数的恒成立问题求出参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．。