2018年九年级数学上册二次函数压轴题培优专题1.如图,已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(1)求点A,B,C的坐标;(2)点E是此抛物线上的点,点F是其对称轴上的点,求以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积;(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM是等腰三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.2.如图,已知抛物线经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作NM∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用含m 的代数式表示MN的长;(3)在(2)的条件下,连接NB,NC,是否存在点m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由.3.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.(1)求A、B、C三点的坐标;(2)在抛物线的对称轴上找到点P,使得△PBC的周长最小,并求出点P的坐标;(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G为顶点四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出F点坐标;如果不存在,请说明理由.4.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+2m﹣7的图象经过点(1,0).(1)求抛物线的表达式;(2)把﹣4<x<1时的函数图象记为H,求此时函数y的取值范围;(3)在(2)的条件下,将图象H在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象H的其余部分保持不变,得到一个新图象M.若直线y=x+b与图象M有三个公共点,求b的取值范围.5.如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M(﹣2,﹣4),与x轴交于A、B两点,且A(﹣6,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数解析式;(2)求△ABC的面积;(3)能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P,使△APC的面积最大?若能,请求出点P的坐标;若不能,请说明理由.6.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(﹣3,0)和点B,交y轴于点C(0,3).(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P在抛物线上,且S△AOP=4S△BOC,求点P的坐标;(3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点,作DQ⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值.7.如图,关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求二次函数的解析式;(2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度在AB上向点B运动,另一个点N从点D与点M同时出发,以每秒2个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到达点B时,点M,N同时停止运动,问点M,N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积.8.如图,矩形的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点.(1)求此抛物线的解析式;(2)求A D的长;(3)点P是抛物线对称轴上的一动点,当△PAD的周长最小时,求点P的坐标.9.如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M.(1)求抛物线的解析式和对称轴;(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接AC,在直线AC的下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.10.如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A坐标为(4,0).(1)求该抛物线的解析式;(2)抛物线的顶点为N,在x轴上找一点K,使CK+KN最小,并求出点K的坐标;(3)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标;(4)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案1.解:2.解:(1)y =-x 2+2x +3(2)易求直线BC 的解析式为y =-x +3,∴M(m ,-m +3),又∵MN ⊥x 轴,∴N(m ,-m 2+2m +3),∴MN =(-m 2+2m +3)-(-m +3)=-m 2+3m(0<m <3)(3)S △BNC =S △CMN +S △MNB =21|MN|·|OB|,∴当|MN|最大时,△BNC 的面积最大,MN =-m 2+3m =-(m -23)2+49,所以当m =23时,△BNC 的面积最大为21×49×3=8273.(1)A (﹣1,0)B (3,0)C (2,﹣3)设直线AC 的解析式为:y=kx+b ,解得,k=-1,b=-1,∴直线AC 的函数解析式是y=﹣x ﹣1, 由抛物线的对称性可知,点A 与点B 关于对称轴x=1对称,∴连接AC 与x=1交于点P ,点即为所求,当x=1时,y=﹣2,则点P 的坐标为(1,﹣2); (3)存在4个这样的点F ,F 点坐标是:(﹣3,0)或(1,0)或(4+,0)或(4﹣,0)4.解:(1)∵二次函数y=x 2+mx+2m ﹣7的图象经过点(1,0), ∴1+m+2m ﹣7=0,解得m=2.∴抛物线的表达式为y=x 2+2x ﹣3; (2)y=x 2+2x ﹣3=(x+1)2﹣4.∵当﹣4<x <﹣1时,y 随x 增大而减小;当﹣1≤x <1时,y 随x 增大而增大,∴当x=﹣1,y 最小=﹣4.当x=﹣4时,y=5.∴﹣4<x<1时,y的取值范围是﹣4≤y<5;(3)y=x2+2x﹣3与x轴交于点(﹣3,0),(1,0).新图象M如右图红色部分.把抛物线y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,则翻折部分的抛物线解析式为y=﹣(x+1)2+4(﹣3≤x≤1),当直线y=x+b经过(﹣3,0)时,直线y=x+b与图象M有两个公共点,此时b=3;当直线y=x+b与抛物线y=﹣(x+1)2+4(﹣3≤x≤1)相切时,直线y=x+b与图象M有两个公共点,即﹣(x+1)2+4=x+b有相等的实数解,整理得x2+3x+b﹣3=0,△=32﹣4(b﹣3)=0,解得b=.结合图象可得,直线y=x+b与图象M有三个公共点,b的取值范围是3<b<.5.解:(1)设此函数的解析式为y=a(x+h)2+k,∵函数图象顶点为M(﹣2,﹣4),∴y=a(x+2)2﹣4,又∵函数图象经过点A(﹣6,0),∴0=a(﹣6+2)2﹣4解得a=,∴此函数的解析式为y=(x+2)2﹣4,即y=x2+x﹣3;(2)∵点C是函数y=x2+x﹣3的图象与y轴的交点,∴点C的坐标是(0,﹣3),又当y=0时,有y=x2+x﹣3=0,解得x1=﹣6,x2=2,∴点B的坐标是(2,0),则S△ABC=|AB|•|OC|=×8×3=12;(3)假设存在这样的点,过点P作PE⊥x轴于点E,交AC于点F.设E(x,0),则P(x, x2+x﹣3),设直线AC的解析式为y=kx+b,∵直线AC过点A(﹣6,0),C(0,﹣3),∴,解得,∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3,∴点F的坐标为F(x,﹣x﹣3),则|PF|=﹣x﹣3﹣(x2+x﹣3)=﹣x2﹣x,∴S△APC=S△APF+S△CPF=|PF|•|AE|+|PF|•|OE|=|PF|•|OA|=(﹣x2﹣x)×6=﹣x2﹣x=﹣(x+3)2+,∴当x=﹣3时,S△APC有最大值,此时点P的坐标是P(﹣3,﹣).6.7.解:8.解:(1)∵四边形ABCD是矩形,B(10,8),∴A(10,0),又抛物线经过A、E、O三点,把点的坐标代入抛物线解析式可得,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x;(2)由题意可知:AD=DE,BE=10﹣6=4,AB=8,设AD=x,则ED=x,BD=AB﹣AD=8﹣x,在Rt△BDE中,由勾股定理可知ED2=EB2+BD2,即x2=42+(8﹣x)2,解得x=5,∴AD=5;(3)∵y=﹣x2+x,∴其对称轴为x=5,∵A、O两点关于对称轴对称,∴PA=PO,当P、O、D三点在一条直线上时,PA+PD=PO+PD=OD,此时△PAD的周长最小,如图,连接OD交对称轴于点P,则该点即为满足条件的点P,由(2)可知D点的坐标为(10,5),设直线OD解析式为y=kx,把D点坐标代入可得5=10k,解得k=,∴直线OD解析式为y=x,令x=5,可得y=,∴P点坐标为(5,).9.解:(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣5),把点A(0,4)代入上式得:a=0.8,∴y=0.8(x﹣1)(x﹣5)=0.8x2﹣4.8x+4=0.8(x﹣3)2﹣4.8,∴抛物线的对称轴是:x=3;(2)P点坐标为(3,1.6).理由如下:∵点A(0,4),抛物线的对称轴是x=3,∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为(6,4)如图1,连接BA′交对称轴于点P,连接AP,此时△PAB的周长最小.设直线BA′的解析式为y=kx+b,把A′(6,4),B(1,0)代入得6k+b=4,k+b=0,解得k=0.8,b=-0.8,∴y=0.8x﹣0.8,∵点P的横坐标为3,∴y=0.8×3﹣0.8=1.6,∴P(3,1.6).(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大.设N点的横坐标为t,此时点N(t,0.8 t2﹣4.8t+4)(0<t<5),如图2,过点N作NG∥y轴交AC于G;作AD⊥NG于D,由点A(0,4)和点C(5,0)可求出直线AC的解析式为:y=﹣0.8x+4,把x=t代入得:y=﹣0.8t+4,则G(t,﹣0.8t+4),此时:NG=﹣0.8t+4﹣(0.8t2﹣4.8t+4)=﹣0.8t2+4t,∵AD+CF=CO=5,∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=0.5AM×NG+0.5NG×CF=0.5NGOC=0.5×(﹣0.8t2+4t)×5=﹣2t2+10t=﹣2(t﹣2.5)2+12.5,∴当t=2.5时,△CAN面积的最大值为12.5,由t=2.5,得:y=0.8t2﹣4.8t+4=﹣3,∴N(2.5,﹣3).10.解:(1)∵抛物线经过点C(0,4),A(4,0),∴,解得,∴抛物线解析式为y=﹣;(2)由(1)可求得抛物线顶点为N(1,),如图1,作点C关于x轴的对称点C′(0,﹣4),连接C′N交x轴于点K,则K点即为所求,设直线C′N的解析式为y=kx+b,把C′、N点坐标代入可得,解得,∴直线C′N的解析式为y=,令y=0,解得x=,∴点K的坐标为(,0);(3)设点Q(m,0),过点E作EG⊥x轴于点G,如图2,由﹣=0,得x1=﹣2,x2=4,∴点B的坐标为(﹣2,0),AB=6,BQ=m+2,又∵QE∥AC,∴△BQE≌△BAC,∴,即,解得EG=;∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ===.又∵﹣2≤m≤4,∴当m=1时,S△CQE有最大值3,此时Q(1,0);(4)存在.在△ODF中,(ⅰ)若DO=DF,∵A(4,0),D(2,0),∴AD=OD=DF=2.又在Rt△AOC中,OA=OC=4,∴∠OAC=45°.∴∠DFA=∠OAC=45°.∴∠ADF=90°.此时,点F的坐标为(2,2).由﹣=2,得x1=1+,x2=1﹣.此时,点P的坐标为:P1(1+,2)或P2(1﹣,2);(ⅱ)若FO=FD,过点F作FM⊥x轴于点M.由等腰三角形的性质得:OM=OD=1,∴AM=3.∴在等腰直角△AMF中,MF=AM=3.∴F(1,3).由﹣=3,得x1=1+,x2=1﹣.此时,点P的坐标为:P3(1+,3)或P4(1﹣,3);(ⅲ)若OD=OF,∵OA=OC=4,且∠AOC=90°.∴AC=4.∴点O到AC的距离为2.而OF=OD=2<2,与OF≥2矛盾.∴在AC上不存在点使得OF=OD=2.此时,不存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形.综上所述,存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形.所求点P的坐标为:(1+,2)或(1﹣,2)或(1+,3)或(1﹣,3).。