1 题目：（2018年广东省深圳市一模16题）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，
AC=2CB=23，P 是△ABC 内一动点，∠BPC=120°，则AP 的最小值为 .
22222,+60,.3
=.=2sin sin sin sin1202cos .
4sin +12-83sin cos =14-23sin +cos =-13sin +tan =23PBC ACP BCP ACP PBC PBC PC
BC
PC PBC BPC CPA AP AC PC PC AC AP θθθ
θθθθθθθϕϕθ==︒===︒=+-•=∈设∠∠∠所以∠∠在△中.
有正弦定理：所以：∠∠在△中，所以（222）14一般解法：2（2）其中，（2
22min min =-13=14-213=1-213+13=13-1.
AP θ︒︒∈︒︒0,60），所以2（0，120）.
所以（AP ）142，所以（）
222=,,2cos12013.
13,)MIN o BC AB OB AB OB AP PO OA AP B P C A P O O ︒︒︒=+-•︒=+=+==︒如图（二）：由题意可知∠BOC 时中弦所对的圆周角，且∠BOC 12利用三点共圆，由于以动点P 为顶点的∠BPC=120为定值。

所以可以构建
点三点所在的圆。

进0，在△BOA 中，∠
OBC=30,所以∠OBA=120,由余弦定理：OA 又因秒解解而有圆中边角关法：为≥所以(系求解。

13
)131
MIN AP P O AP AP ''+='==-所以：(。