2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数 学(理科)
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1、设复数z 满足
()2
1i 4i
z -=，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．2-
B ．2
C ．2i -
D ．2i
2、设集合
301x A x x ⎧+⎫=<⎨⎬
-⎩⎭，{}3B x x =-≤，则集合{}1x x =≥（ ） A ．B A
B ．B A
C ．B C A C R R
D ．B C A C R R
3、若A ，B ，C ，D ，E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位 同学不相邻的概率为（ ）
A ．45
B ．3
5
C ．25
D ．15
4、执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）
A ．9
20
B ．49
C ．29．
9
40 5、已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，则cos 4x π⎛
⎫+=
⎪⎝⎭（ ） A ．4
5
B ．3
5
C ．45-
D 3
5-
6、已知二项式212n
x x ⎛⎫- ⎪
⎝
⎭的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中 含1
x 项的系数是（ ）
A ．84-
B ．14-
C ．14
D ．84
7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，
则该几何体的表面积为（ ）
A ．44223++
B ．1442+
2,0
n S ==是 否 开始
结束
输出S
19?n ≥
2n n =+ ()1
+2S S n n =+
C
．10+
D ．4
8、若x ，y 满足约束条件
20,210,10,x y y x -+⎧⎪
-⎨⎪-⎩
≥≥≤ 则22
2z x x y =++的最小值为（ ）
A ．1
2
B ．14
C ．12-
D ．34-
9、已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，
则ω的取值范围为（ ）
A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．18,23⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
D ．3,28⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
10、已知函数
()322
f x x ax bx a =+++在1x =处的极值为10，则数对(
)
,a b 为（ ）
A ．(
)
3,3-
B ．(
)
11,4-
C ．(
)
4,11-
D ．(
)
3,3-或
()4,11-
11、如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，→
→
=AC AE 52，双曲线
过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为（
A B
C ．3
D 12、设函数
()
f x 在R 上存在导函数
()
f x '，对于任意的实数x ，都有()()22f x f x x +-=，
当0x <时，
()12f x x
'+<，若
()()121
f a f a a +-++≤，则实数a 的最小值为（ ）
A ．1
2-
B ．1-
C ．32-
D ．2-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13、已知向量
()
,2m =a ，
()
1,1=b ，若
+=+a b a b
，则实数m = ．
14、已知三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，AB AC ⊥，PA ⊥底面ABC ，1==AB PA ，
则这个三棱锥内切球的半径为 ．
15、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
()()2cos 2cos 0
a B
b A
c θθ-+++=，
则cos θ的值为 ．
16、我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式
系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成
1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为n
S
，如1
1
S=，
2
2
S=，
3
2
S=，
4
4
S=，……，则
126
S=．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．
17、（本小题满分12分）
已知数列
{}
n
a
的前n项和为n
S
，数列
n
S
n
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列
{}
n
a
的通项公式；
（2）设数列
{}
n
b
满足
()
12
12
1
545
2
n
n
n
a
a a
n
b b b
⎛⎫
+++=-+ ⎪
⎝⎭，求数列{}n b的前n项和n T．
18、（本小题满分12分）
某地1~10岁男童年龄i
x（岁）与身高的中位数
i
y()
cm()
1,2,,10
i=
如下表：
x
（岁） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
()
cm76.5 88.5 96.8 104.1 111.3 117.7 124.0 130.0 135.4 140.2
图②
图①
对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；
（2）某同学认为，
2
y px qx r =++更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程 是
2
0.3010.1768.07y x x =-++．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ． 与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？ 附：回归方程∧
∧
∧
+=a x b y 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
∑∑=-
-
-=∧
---=
n
i i
i i
n
i x x
y y x x
1
2
1
)()
)((b ； -
∧-∧-=x b a y
19、（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，△ABD 为正三角形，︒=∠120BCD ，
2CB CD CS ===，︒=∠90BSD ． （1）求证：AC ⊥平面SBD ；
（2）若BD SC ⊥，求二面角C SB A --的余弦值．
x
y
()
102
1
x x i i ∑-=
()
1021
y y i i ∑-=
(
)()
10
1x x y y i
i i ∑--=
5.5 112.482.50 3947.71 56
6.85
S
20、（本小题满分12分）已知圆
(2
216
x y ++=的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，
点
)N
，点G 在线段MP 上，且满足)(GN →
→
+GP )(GN →
→
-⊥GP ．
（1）求点G 的轨迹C 的方程； （2）过点
()
4,0T 作斜率不为0的直线l 与（1）中的轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于
x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．
21、（本小题满分12分）已知函数
()ln 1
f x ax x =++．
（1）讨论函数()x f 零点的个数； （2）对任意的0>x ，
()2e x
f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知过点(),0P m 的直线l
的参数方程是,21,
2x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的
原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且
2
PA PB ⋅=，求实数m 的值．
23、（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数()f x =23x a x b
++-． （1）当1a =，0b =时，求不等式
()31
f x x +≥的解集；
（2）若0a >，0b >，且函数
()
f x 的最小值为2，求3a b +的值．。