yx
zx dz zx
zyz
xz

xz x
dx
x
z
o
dx pyy
应用动量定理
在流场中取如图所示的流体系 统,其体积为Vs，边界面为As， 作用在该系统内单位质量流体 上的质量力为 f ，作用在单位
界面面积上的表面力为 n .
n
n
dA
VS
AS
图2-3 流体系统
d
dx
注意:
A
o
yx x
z
1.法向应力的合力都与取矩的中心轴线相交，力矩为0.
2.在切向应力中，第一个角标为z的切向应力与取矩的中心
轴线相交；第二个角标为z的切向应力与取矩的中心轴
线平行，因此其力矩为0. 3.质量力作用在矩形六面体的质心M，力矩为0.
4.转动惯性力矩与转动惯量成正比，为四阶小量 ，可忽略.
①定常流动的伯努利积分
②定常无旋流动的欧拉积分
两个积分的前提条件是：
(1) 定常流
x y z 0
t t t
0
t
(2) 质量力有势，即满足
fx


x
f y


y
fz


z
(3) 正压性流体，即流体的密度只与压强有关 f ( p) ( p)
九个应力分量描述了A点的的应力状态
pyy

pyy y
dy
dz
y dy
yz

yz y
dy
zx
yx
yx
pzz
xy

xy x
dx
pxx
xz
zy

zy z
dz
fz
zy
M fx
pxx

pxx x
dx
y
dy
xy AA
pzz

pzz z
dz
fy
x2

2 x
y 2

2 x
z 2

dx
dt

fy

1

p y
v
2 y
x2

2 y
y 2

2 y
z 2


d y
dt

fz

1

p z
v

2 z
x2

2 z
y 2

2 z
z 2
x
(

PF

2
2
)

0
y
(

PF

2
2
)

0
z
(

PF
2
2
)

0
物理意义为：
将上式分别乘以流场中任
意微元线段ds的三个分量 dx, dy, dz，相加，再积
pm

1 3
(
pxx

pzz

pyy )

p

2 3
( x
x

y
y

z
z
)
对于不可压缩流体， 0 pm p（p 为热力学压强）
对于温度不太高的双原子气体（如空气）和压强不太高的单原子气体， 上述结果是正确的。
法向应力与线变形速度之间的关系
pxx

pm
2
z 2


d y
dt

fz

1

p z

v

2 z
x2
2z
y 2

2 z
z 2


dz
dt

对于理想流体 无粘性
fx

1

p x

dx
dt

fy

1

p y
= d y
dt

fz

1

p z

r
r

r
r
2
r
z
r
z

f

1
r
p



t
r

r

r

r
r
z

z

fz

1

p z

z
t
r
z
r

r
z
z
z
z

欧拉运动微分方程适用于理想流体的任何运动， 但该方程中只有表示平移运动的线速度,而没有表示
旋转运动的角速度x, y, z
兰姆运动微分方程
fx

x
2
( 2
)
1

p x

x
t
2(zy
yz )
fy

y
( 2
2
)
1

p y

y
t
2(xz
zx )
fz

z
2
( ) 2
1

p z

z
t

2( yx
xy )
压强计
§4-2 实际流体中的运动微分方程
pyy

pyy y
dy
dz
yz

yz y
dy
zx
yx
yx y pzz
dy
xy
xy x
dx
y
pxx
dy
xz
zy

zy z
dz
fy
zy
xy A
pzz

pzz z
dz
fz
fx
zx

zx z
x j
(i j， = 0)
§4－3 理想流体的运动微分方程
N-S方程
fx

1

p x

v

2 x
x2

2 x
y 2

2 x
z 2

dx
dt

fy

1

p y
v
2 y
x2

2 y
y 2

2 y


dz
dt

纳维尔—斯托克斯方程 写成矢量形式为
[ ( ) ] f p 2
t
f 1 p v2 d

dt t
2

2 x2

2 y 2

2 z 2
,
i j k x y z
dz
dt

理想流体的运动微分方程(欧拉运动微分方程),适用于可压 缩流体和不可压缩流体的运动
写成矢量形式为：
f 1 p ( )

t
当流体处于静止状态时
1 p

fx x 0

fy

1

p 0 y

fz

1

p z

0

问题
• 广义牛顿内摩擦定律能否归纳出一个简洁的表达式？ • 在何条件下 pxx pyy pzz p • N-S方程的适用条件？ • 讨论题：
两平行平板间不可压缩定常层流运动的解 速度分布？ 切应力分布？
ij

( i
x j

j
xi
)
(i j)
pij

p
2
i
x x y y z z
对不可压均质流体 const 则有：
PF

1

p
PF


dp ( p)

p
对等温流动的可压缩流体，由
p RT

则有：PF


dp ( p)


dp p
RT0 ln p
绝热可逆流动的可压缩流体，由
p k
C1


1
Cpk
dz
xz

xz x
dx
yx
yz
o
x
z
dx
pyy
pxx

pxx x
dx
fx

1

pxx x

1


yx
y

zx
z


dx
dt

fy

1

pyy y

1


zy
z

xy
x


d y
dt

fz



2

2





2

2


2

兰姆方程的推导 (以x方向为例)
fx

1
p x

x t
x
x x
y
x y
z
x z
y
y x
z
z x

x t
x

x x
x x