（13-34）
式中

（1） 2
D
（0） 2 2
用这个方法确定第二振型以前，必须要先求得第一振型。 一般来说，第二振型的精度比第一振型大致上降低一位有效 数字，若想要第二振型分析时得到满意的结果，在计算滤型 矩阵S1时，用到的第一振型必须具有非常高的精度。
克拉夫书P210 例题E13-2
1
或

（1） 1
1 2 D φ nnY n ( ) n 1 n
N
2 (0 )
2 φ n n Dφ n
（13-17）
（13-18）
将其代入式（13-17）得

（1） 1
1 2 φ nY n ( ) n 1 n
N
(0 )
（13-19）
(1) (1) max( ) 用最大的基准元素 去除 1 ，使之规格化， 1 (1) 1 从而得到最后改进的第一次迭代循环的形状 ，因此
2015200049
学院：土木工程学院 班级：学硕结构一班 姓名：张桂斌 学号：2015200049
振动分析的矩阵迭代法 （克拉夫书-第13章）
1.引言 结构动力学求解实际问题的数学模型，从几个自 由度的体系，到几百甚至几千个自由度的有限元模 型，其中可能多达五十到一百个振型对反应有不可 忽略的影响。为有效地处理这些实际问题，需要较 行列式求解方法更有效的振动分析方法。 问题—如何获得结构的无阻尼振型？ Stodola法以迭代为基础，先假设初始振型并迭 代调整至实际振型的适当近似，再由运动方程确定 震动频率。
将式（13-29）代入式（13-31），得到
（13-31）
1 （1） （0） （0） DS D ~ 1 2 2 2 2 2 2
其中
（13-32）
D2 用下式近似计算频率
（ ）m m
2 2
（1） T (0 ) 2 2 （1） (1) 2 2

（0） 1

(0 )
φY
（0） 1 1
φ Y
（0） 2 2
φ Y
（0） 3 3
（13-14）
第一振动频率的振动形状所对应的惯性力为
(0 ) 2 f(0) 12m1 1 m(0)
2 2 2 ( / ) 记 1 ，展开得 n 1 n
（13-15）
四次迭代以后，形状已收敛到足够的精度。
按式（13-13）求第一振型频率：
max （ ） 1.000 210 .77 max （ ） 1 / 3600 17.082 1 14.52 rad / s
2 1 （4） 1 （5） 1
3.收敛性的证明
最初假定的形状可用正规坐标表示为
ˆ ˆ n n D n
（0）
（13-5）
先假定试探位移向量 1 ，使它尽可能接近第一振型的 形状，而振幅是任意的。即：

（ 1） 1
n D
2
（0） 1
（13-5a）
下标“1”表示第一振型，上标“（1）”表示第一次迭 代的结果。
振型幅值依赖于未知频率，但在迭代过程中只需 要振型形状，省去频率后的改进形状表示为：
φ m
T 1
（0） 2
φ mφ Y
T 1
T 1
（0） 1 1
φ mφ Y
T 1
（0） 2 2
（13-26）
由于振型的正交特性，第一振型分量幅值为
Y
（0） 1
φ m M1
（0） 2
（13-27）
不包含第一振型的试探形状为
（0） （0） (0) φ Y ~2 2 1 1
(0)
（13-21）
按此方式继续进行，经过s次循环后得到结果
(s ) （0） （13-22） 1 （0） 1 2s （s） 1 1 φ Y φ 2Y 2 ( ) (s ) (s ) 1 1 2 max（ 1 ） max（ 1 ）
1 1 2
（13-10）
把质量分布作为一个加权系数，取平均值 求频率的近似值。
2 1
m m
(1) T 1 （1） T 1
(0 ) 1 (1) 1
（13-11）
当迭代过程收敛，s 次循环后的频率为：
max （ max （
2 1
（s 1） 1 （s） 1
） 1 （13-13） （s） ） max （ 1 ）
18 .10 12 .10 5.80
1.000 0.669 0.320
17 .296 11 .296 5.287
3） （ 1
4） （ 1
4） （ 1
5） （ 1
1.000 0.653 0.306
17 .121 11 .121 5.182
1.000 0.650 0.303
17 .082 11 .082 5.159
该结构柔度矩阵为：
~ k 1 f 11 5 2 1 5 5 2 in / kips 3600 2 2 2
动力矩阵为：
11 7.5 4 2 1 ~m D f 5 7.5 4 s 3600 2 3 4
用如下所示的表格形式表示迭代过程：
(1) 1） 1 （ 1 (1) max （ 1 ）
n 1
φ nY n(0)(
N
1 2 ) n
max （ ）
(1) 1
（13-20）
用同样的方法做下一次迭代循环得到第二次循环产生的 形状 N
1 4 φ nY n ( ) (2) n 1 1 n （2） 1 (2) max （ 1 ） max （ 1(2)）
2s
1 3
（s） 1
2s

（13-23）
最终结果可视为

φY φ1 (0 ) max（φ 1Y1 ）
(0 ) 1 1
（13-24） 证毕！
4.高阶振型分析
第二振型分析
假设任意第二振型

T 前乘φ 1 m ，导得
（0） 2

（0）
（13-25）
克拉夫书P205 例题E13-1 通过计算图E11-1的三层建筑框架的第一振型和频率来说 明矩阵迭代法。虽然用例题E11-1中导得的刚度矩阵求逆可以很容易 求得该结构的柔度矩阵，但是为了说明柔度矩阵的求法，这里对每 一个自由度相继施加单位荷载进行推导。根据定义，由这些单位荷 载所产生的位移表示柔度影响系数。
D
0） （ 1 1） （ 1
11 1 5 3600 2
1） （ 1
7.5 7.5 3
2） （ 1
4 4 4
1 22 .50 1 16 .50 1 9.00
2） （ 1 3） （ 1
1.000 0.733 0.400
(0 )
（13-9）
一般来说，所得的 1 和 1 是不一样的，在这种情 形下，真正的第一振型频率介于式（13-9）求得的最大 值与最小值之间：
0) (0) ( k1 2 k 1 (1) (1) 1 k 1 min k 1 max
（13-28）
在试探向量中消除第一振型分量的方便方法是应用滤型 矩阵 S1
~
其中
（0） 2

（0） 2
1 T (0 ) (0 ) - φ1 φ 1 m 2 S1 2 M1
（13-29）
1 T S1 Ι - φ 1φ 1 m M1
（13-30）
在这种情况下，式（13-5）可以写成
1 （1） （0） D ~ ~2 2 2 2
f
(0 )
（0） 1 2 2 （0） 2 （0） 1 2 m φ 11Y1 φ 22Y 2 ( ) φ 3Y3 ( ) （13-16） 2 3
由这些惯性力产生的挠度为

（1） 1
k f
1 ( 0 )
（0） 1 2 2 （0） 2 （0） 1 2 k m φ 11Y1 φ 22Y 2 ( ) φ 3Y3 ( ) 2 3
2.基本（第一）振型分析
这个方法列式的起点是无阻尼自由振动方程（11-33）：
2 k ˆ ˆ n n m n
fn n m ˆ n
2
（13-1）
ˆ n k f n
1
（13-2）
ˆ ˆ n n k m n
2 1
（13-3）
D k m
2
1
（动力矩阵） （13-4）

（ 1） 1
D
（0） 1
（13-7）
（ 1） 来进行规格 1
该向量除以向量中最大的元素max（ 化，得到改进的迭代向量：
）

（1） 1


max （ ）
（1） 1 （1） 1
（13-8）
设 k 为向量中任一自由度，频率近似值为：

2 1
(1)
(0 ) k1 (1) k1