机械振动大作业——简支梁的各情况分析2-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII机械振动大作业姓名：徐强学号：SX1302106专业：航空宇航推进理论与工程能源与动力学院2013年12月简支梁的振动特性分析题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。

单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。

解答：一、 单自由度简支梁的振动特性如图1，正方形截面（取5mm ×5mm ）的简支梁，跨长为l =1m ，质量m 沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动微分方程为0=+••kx x m ,固有频率ωn =eqeq m k ，其中k 为等效刚度，eq m 为等效质量。

因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有频率。

根据材料力学的结果，由于横向载荷F 作用在简支梁中间位置而引起的变形为）（224348EI F -)(x l x x y -=（20l x ≤≤）, 48EI F -3max l y =为最大挠度，则： eq k =δF=348EIl 梁本身的最大动能为：）（224348EI F -)(x l xx y -==）（223max43x l l x y -T max =2×dx x y l m l 220)(21⎭⎬⎫⎩⎨⎧•⎰=2max 351721•y m ）（ 如果用eq m 表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最大动能可表示为：T max =2max21•y m eq所以质量为m 的简支梁，等效到中间位置的全部质量为： m m eq 3517=故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：ωn =eqeq m k =3171680ml EImk图1 简支梁的单自由度模型二、 双自由度简支梁的振动特性如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等,因此只要求出在3/l 处的等效质量即可。

在6/l 至2/l 之间积分，利用最大动能进行质量等效，略去小量得：m m eq 258≈所以，质量矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→1001258m m双自由度简支梁的柔度矩阵：在b=3/2l 处作用单位力，挠曲线方程为：）（2226EI b -)(b x l lx x y --=则3/l 处的变形为：δ712=a ，同理可求：δ721=a ，δ82211==a a ，其中EIl 4863=δ。

所以，柔度矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→8778δa动力矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→8778258δm D令特征行列式为零，得到频率方程为：=-=∆→→D I λ其中，21ωλ=，将上式整理得：116158177812=+-=---=∆a a aa a a-其中，2582582δωλδm m a ==。

解上述方程的根为：1511=a ,δωm 2451= 12=a ,δωm 8252=由式→→→→=-0)(）（i i X D I λ，2,1=i其中⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→)(2)(1i i i X X X）（，分别将1ω、2ω代入上式，得 第一、二阶主振型分别为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→11)1(11X X）（， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→1-1)1(12X X ）（图2 简支梁的双自由度模型三、 三自由度简支梁的振动特性如图3，将简支梁简化为三自由度模型，按照双自由度类似的等效思想，可得等效质量：m m m 41m 231≈≈=因此，质量矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→1000100014m m 由机械振动中文教材例6.6可知，系统的柔度矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→91171116117119δa其中，EIl 7683=δ。

动力矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→911711161171194δm D 令特征行列式为零，得到频率方程为： 0=-=∆→→D I λ其中，21ωλ=，将上式整理得：091117111611171191=---------=∆aa a a a a aaa其中，442δωλδm m a ==。

利用Matlab 软件,求解上述方程的根为：0317.01=a ,δωm a 114=5.02=a ,δωm a 224=254.23=a ,δωm a 334=由式→→→→=-0)(）（i i X D I λ，3,2,1=i其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→)(3)(2)(1i i i i X X X X）（，分别将1ω、2ω、3ω代入上式，得 第一、二、三阶主振型分别为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→121)1(11X X）（， ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→1-01)2(12X X ）（, ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→12-1)1(13X X ）（图3 简支梁的三自由度模型四、 十自由度简支梁的数值方法将简支梁简化为十自由度模型（如图4）。

图4 简支梁的十自由度模型通过在一点施加单位力，计算其余点的挠度，可得柔度矩阵：。

为挠度变形矩阵，如表，其中1,63→→→==y EIl y a δδ0.0137 0.0240 0.0306 0.0339 0.0344 0.0324 0.0284 0.0227 0.0158 0.0081 0.0240 0.0443 0.0579 0.0650 0.0664 0.0628 0.0552 0.0443 0.0309 0.0158 0.0306 0.0579 0.0787 0.0904 0.0934 0.0891 0.0787 0.0633 0.0443 0.0227 0.0339 0.0650 0.0904 0.1071 0.1131 0.1093 0.0973 0.0787 0.0552 0.0284 0.0344 0.0664 0.0934 0.1131 0.1229 0.1212 0.1093 0.0891 0.0628 0.0324 0.0324 0.0628 0.0891 0.1093 0.1212 0.1229 0.1131 0.0934 0.0664 0.0344 0.0284 0.0552 0.0787 0.0973 0.1093 0.1131 0.1071 0.0904 0.0650 0.0339 0.0227 0.0443 0.0633 0.0787 0.0891 0.0934 0.0904 0.0787 0.0579 0.0306 0.0158 0.0309 0.0443 0.0552 0.0628 0.0664 0.0650 0.0579 0.0443 0.0240 0.0081 0.0158 0.0227 0.0284 0.0324 0.0344 0.03390.0306 0.0240 0.0137表1 十自由度挠度变形矩阵→y十自由度简支梁为十个集中质量的振动模型，每个质量都近似等于m 111，因此，质量矩阵为： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=→1010000000010000111m m 动力矩阵为：→→=ym D 11δ 下面，用如下几种方法计算十自由度简支梁的固有频率与振型。

1、邓克莱法利用邓克莱法求基频（比准确值小）：nnn m a m a m a +++≈ 222111211ω因此，将柔度矩阵主对角线上各元素相加并乘以m 111，可求得：319015ml EIm δ≈≈ω2、瑞利法（1）瑞利第一商柔度矩阵求逆得刚度矩阵：→-→→==z y k δδ3131010，其中，→z 矩阵见表2。

2.0433 -1.9003 0.7778 -0.2649 0.1647 0.0356 -0.2817 0.2834 -0.0446 -0.0926-1.9003 2.9228 -2.4675 1.4375 -0.6862 0.0299 0.5193 -0.6226 0.3193 -0.04460.7778 -2.4675 3.8387 -3.3468 1.6331 -0.1417 -0.6684 0.8588 -0.6226 0.2834 -0.2649 1.4375 -3.3468 4.2339 -2.9123 0.778 0.4309 -0.6684 0.5193 -0.2817 0.1647 -0.6862 1.6331 -2.9123 3.4193 -2.2932 0.778 -0.1417 0.0299 0.0356 0.0356 0.0299 -0.1417 0.778 -2.2932 3.4193 -2.9123 1.6331 -0.6862 0.1647 -0.2817 0.5193 -0.6684 0.4309 0.778 -2.9123 4.2339 -3.3468 1.4375 -0.2649 0.2834 -0.6226 0.8588 -0.6684 -0.1417 1.6331 -3.3468 3.8387 -2.4675 0.7778 -0.0446 0.3193 -0.6226 0.5193 0.0299 -0.6862 1.4375 -2.4675 2.9228 -1.9003 -0.0926 -0.0446 0.2834 -0.2817 0.0356 0.1647-0.2649 0.7778 -1.9003 2.0433表2 矩阵→z 各元素假设力作用在简支梁中间位置而得到各点的静变形，可以表示为：[]TA 11.933 2.7333.3313.6633.663 3.3312.7331.9331κ=→其中，EIl 483=κ。

因此，可以假设振型：[]TA 11.933 2.7333.3313.6633.663 3.3312.7331.9331=→则由瑞利第一商公式：→→→→→→=AM A A K A A R TTI )(，可得：δmδm m A R I 46.1646.164965.111)(1≈=⨯=ωδ， （2）瑞利第二商同样假设力作用在简支梁中间位置，由瑞利第二商公式：→→→→→→→→∆=AM M A AM A A R TTⅡ)( 可得: δm.δm m A R Ⅱ241624.164762.111)(2≈=⨯=ωδ， 瑞利法中，→M 代表质量矩阵，→K 代表刚度矩阵，→∆代表柔度矩阵，→A 为模态向量。

3、李兹法将十自由度简支梁缩减为三自由度，假设振型为：[]T11.9 2.73.33.73.7 3.32.71.911=→ψ []T 11.8 2.510.20.2- 1-2.5-1.8-1-2=→ψ []T 1-2- 1-121 01-2-1-3=→ψ则可求出：由式→→*→*→*=0-2A M K ）（ω，得：0017.01=a ,1415.02=a ,2959.03=a其中，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=***→23222133211011ωωωδm a a a a ，因此可得： δδωδδωδωm m a m m a m m δa 9.32541011,7.15561011,7.181011333232131=⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯=***以及：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→*→*→*8372.05468.0-0122.0,6271.07788.00135.0,0349.00099.09993.0-)3()2()1(A A A所以系统的前三阶主振型的近似为：4、矩阵迭代法单位力作用在简支梁中间位置得到各点的挠度变形，将首项化一，得：⨯==→→→→*11m M M Tψψ 72.96 0 -0.60 23.06 1.2 -0.6 1.2 18⨯==→→→→*δψψ310K K T0 0 4.3927 -1.2322 0.1354 -1.2322 4.2842[]T11.933 2.7333.3313.6633.663 3.3312.7331.9331κμ=其中，δκ81483==EI l 。