惠州市2021届高三数学第一次调研考试试题全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一、单项选择题：本题共10小题，每小题满分5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。

1．设集合2{|560}M x x x =-+<，集合{}0N x x =>, 则=N M （ ）.A ．{}0x x > B ．{|3}x x < C ．{|2}x x < D ．{}23x x <<2．复数z 满足(1)=1i z i +⋅-+，其中i 为虚数单位，则复数z =（ ）.A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i - 3．已知2sin 3α=，则()cos 2α-=（ ）.A ．19 B ．19-C D ．3-4．已知向量(),3k =a ，向量()1,4=b ，若⊥a b ，则实数k =（ ）.A ．12B ．12-C ．43 D ．43- 5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则直线1DA 与直线AC 所成角的余弦值 为（ ）.A ．12-BC ．12 D6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线:250l x y ++=，则双曲线的离心率为（ ）.A ．12BCD．7．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间。

其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同。

已知第一日织布5尺，30日共织布390尺，则该女子织布每日增加（ ）尺. A ．74 B ．2916 C ．158 D ．31168．函数()cos f x x x =⋅的部分图象的大致形状是（ ）.A ()B ()D ()A B C D9．根据中央关于精准脱贫的要求，某市某农业经济部门随机派遣甲、乙等共4位专家对3个县区进行调研，每个县区至少派1位专家，则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）.A ．61 B ．41 C ．31 D ．21 10．对于函数()f x ，若在定义域内存在．．实数x ，满足()()f x f x -=-，称()f x 为“局部奇函数”.若()12423xx f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是（ ）. A．11m -≤≤+．1m ≤C．m -≤≤．1m -≤≤二、多项选择题：本题共2小题，每小题满分5分，共10分。

在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。

全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。

11．下列选项中正确的是（ ）A．不等式a b +≥恒成立． B ．存在实数a ，使得不等式12a a+≤成立． C ．若a b 、为正实数，则2b aa b+≥． D ．若正实数x ，y 满足21x y +=，则218x y +≥．12．在空间中，已知,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（ ）A ．若//a b ，且a α⊥，b β⊥，则//αβ．B ．若αβ⊥，且//a α，//b β，则b a ⊥．C ．若a 与b 相交，且a α⊥，b β⊥，则α与β相交．D ．若b a ⊥，且//a α，//b β，则αβ⊥．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空3分，第二个空2分。

13．函数()ln f x x =在点()1,0的切线方程为_________． 14．二项式()721x +的展开式中3x 的系数是_________．15．若抛物线x y 42=上的点M 到焦点的距离为10，则M 点到y 轴的距离是_________． 16．已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2，点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________．四、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且()cos 2cos b A c a B -=. （1）求角B 的值；（2）若4a =，△ABC，求△ABC 的周长．19．（本小题满分12分）如图，ABCD 是边长为3的正方形，⊥DE 平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为.60︒（1）求证：⊥AC 平面BDE ； （2）求二面角D BE F --的余弦值；20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的一个焦点为)F，且该椭圆经过点12P ⎫⎪⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得CEDBAF直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.21．（本小题满分12分）已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者。

血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康．（1）若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；（2）血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②平均分组混合化验：先将血液样本平均分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者。

（i ）采取逐一化验，求所需化验次数ξ的分布列及数学期望；（ii ）采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），求不同分组方法所需化验次数的数学期望。

你认为选择哪种化验方案更合理？请说明理由。

22．（本小题满分12分）已知函数()ln()xf x ax a=-. （1）若0a >，求()f x 的极值；（2）若()2ln 10x xe x mx e x m ++-+≤，求正实数m 的取值范围.惠州市2021届高三第一次调研考试数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共10小题，每小题满分5分，共50分。

1.【解析】由题意可得{}32<<=x x M ，{}0>=x x N ，所以=N M {}0x x >，故选A ． 2.【解析】11iz i i-+==+，故选C ． 3.【解析】91)32(21sin 212cos )2cos(22=⨯-=-==-ααα，故选A ． 4.【解析】由已知得120431-=∴=⨯+⨯=⋅k k ，，故选B ． 5.【解析】连接1CB ，则11//DA CB ，可知1ACB ∆是正三角形，213cos ,cos 1=>=<∴πAC DA ，故选C ．6.【解析】 由题知双曲线的一条渐近线方程为12y x =-，则21-=-a b ，411222222=-=-=∴e a a c a b ， 25=∴e ，故选D ． 7.【解析】由题意可知该女子每日织布数呈等差数列，设为{}n a ，首项51=a ，39030=S ，可得39022930305=⨯+⨯d ，解之得2916=d ，故选B ． 8.【解析】由)(cos )cos()(x f x x x x x f -=-=--=-，所以()f x 为奇函数，排除A ，C ；因为()f x 的大于0的零点中，最小值为2π；又因为06cos 6)6(>=πππf ，故选D ．9.【解析】先从4个专家中选2个出来，看成1个专家有624=C 种选法，再将捆绑后的专家分别派到3 个县区，共有633=A 种分法，故总共有3666=⨯种派法。

其中甲、乙两位专家派遣至同一县区有633=A 种，其概率为61366=. 故选A ． 10.【解析】 由“局部奇函数”可得： 22422342230x x x x m m m m ---⋅+-+-⋅+-=，整理可得：()()244222260x x x x m m --+-++-=，考虑到()244222x xx x --+=+-，从而可将22x x -+视为整体，方程转化为：()()2222222280x xx x m m --+-++-=，利用换元设22x x t -=+（2t ≥），则问题转化为只需让方程222280t mt m -+-=存在大于等于2的解即可，故分一个解和两个解来进行分类讨论。

设()222280g t t mt m =-+-=．（1）若方程有一个解，则有相切（切点x m =大于等于2）或相交（其中交点在2x =两侧），即02m ∆=⎧⎨≥⎩或()20g ≤，解得：m =11m ≤≤ （2）若方程有两解，则()0202g m ∆>⎧⎪≥⎨⎪>⎩，解得：1112m m m m m ⎧-<<⎪⎪≥≤⇒≤<⎨⎪>⎪⎩综上所述：1m ≤≤B ．二、多项选择题：本题共2小题，每小题满分5分，共10分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。

11.【解析】不等式ab b a 2≥+恒成立的条件是0a ≥，0b ≥，故A 不正确； 当a 为负数时，不等式21≤+aa 成立．故B 正确；由基本不等式可知C 正确； 对于842444)2)(12(12=⋅+≥++=++=+yx x y y x x y y x y x y x ， 当且仅当y x x y =4，即21=x ，41=y 时取等号，故D 正确．故选：BCD ． 12.【解析】若b a //，且βα⊥⊥b a ,，即两平面的法向量平行，则βα//成立，故A 正确；若βα⊥，且βα//,//b a ，则a 与b 互相平行或相交或异面，故B 错误；若b a ,相交，且βα⊥⊥b a ,，即两平面的法向量相交，则βα,相交成立，故C 正确； 若b a ⊥，且βα//,//b a ，则α与β平行或相交，故D 错误；故选：AC ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空3分，第二个空2分。