提示:
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提示: 方法1 利用称性
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方法2 利用斯托克斯公式 三角形区域 , 方向向上,
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提示: 以半球底面 助面 ,
且取下 , 半球域 ,利用
高斯公式有
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或：
注: 格林公式(斯托克斯公式)反映的是平面区域 D(空曲面 Σ)上重分 (曲面分 )与界曲 上曲分之关系 .
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2. 基本技巧
(1) 利用称性化算 ;
(2) 利用分与路径无关的等价条件 ;
于曲分
直段 (合 P、Q考 ).
(3) 利用格林公式(适用于封曲 )化定分 .
注: 若曲 L不是封的 ,直接算又困 , 可考添
加
助曲 C, 使L+C完封整ppt 曲 , 再利用格林公式.6
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(4) 利用斯托克斯公式(适用空封曲分 ). 利用行列式号可：
L参数方程
L直角坐方程
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L极坐方程
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坐的曲分 算方法： (1) 直接化参量的定分
注: 下限起点 , 上限点
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(2) 利用分与路径无关的条件
若
, 分只与 L的起点与点有关
,故可取便于算的路径 ,如折段、弧段、
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弧的曲分 解步： (1) 写出曲 L方程及相弧微分公式 ds ① L参数方程 :
② L直角坐方程：
③ L极坐方程：
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(2) 将L的表达式及弧微分公式直接代入曲分式 , 化定分 , 定出分限 .(注:下限小于上限)
,下面四个条件等价:
① 曲分与路径无关 . ② 被表达式是某个函数的全微分 . ③ 沿任何路的曲分零 .
④
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(3) 利用格林公式 (注意加助的技巧 ); (4) 利用斯托克斯公式; (5) 利用两曲分的系公式 .
其中α,β有向曲 L上点(x, y)的切向量的方向 角.
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解 因在 上有
故
原式 =
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解法1 令

明分与路径无关 , 故
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解法2 添加助段 它与L所区域 D,
(利用格林公式 )
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算方法 第一 ( 面的曲面分 )
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第二 ( 坐的曲面分 )
Σ上取正号 , 下取号 .
Σ前取正号，后取号 . 完整ppt
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Σ右取正号，左取号 . 注：于封曲面 , 可考用高斯公式 .
(3) 两曲面分的化
其中α,β,γ有向曲面 Σ上点(x, y, z)的法向量的方 向角.
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三、例
解 利用极坐 ,
原式= 明 :若用参数方程算 ,
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解
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二、曲面分的算法
1. 基本方法 曲面分
第一 ( 面 ) 第二 ( 坐 )
二重分 化
(1) 一分量 — 代入曲面方程
第一 : 始非 (2) 分元素投影
第二 : 有向投影
(3) 确定分区域
— 把曲面分域投影到相关坐面
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思考
1) 二重分是哪一分 ?
答: 第一曲面分的特例 .
2) 曲面
下列等式是否成立 ?
不 ! 坐的曲面分与 曲面 的有关
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2. 基本技巧 (1) 利用称性化算
注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式 添加助面的技巧
(助面一般取平行坐面的平面 )
高斯公式反映的是空区域 Ω上三重分与其 界曲面 Σ上的曲面分之的关系 .
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第十章 曲分与曲面 分

基本内容 例
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一、曲பைடு நூலகம்分的算法
1.基本方法
第一 (弧 ) 曲分
定分
第二 (坐 ) 化
用参数方程
(1) 一分量 用直角坐方程 用极坐方程
第一 :下小上大 (2) 确定分上下限
第二 :下始上
原式 =
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(常向量)
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解 取足小的正数 , 作曲面
取下
使其包在 内, xoy 平面上于
之的部分 , 且取下 ,
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第二添加助面 , 再用高斯公式 算 , 得