2019届广东省揭阳市高三第一次模拟考试数学（理科）本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则A．B．C．D．2．已知向量，若，则的值为A．B．C．D．3．已知是复数z的共轭复数，是纯虚数，则A．2 B．C．1 D．4．若，则的值为A．B．C．D．5．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如右茎叶图：则下列结论中表述不正确．．．的是A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.6. 函数在单调递减，且为偶函数．若，则满足的的取值范围是A．B．C．D．7. 如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．B．52 C ．D．568．某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为A．6 B．12 C．24 D．489.过双曲线两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为A ．B ．C ．D．210. 右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，记正方形为区域Ⅰ，图中阴影部分为区域Ⅱ，在△ABC上任取一点，此点取自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为、，则A ．B ．C ．D ．11．已知△ABC中，AB=AC=3，，延长AB到D使得BD=AB，连结CD，则CD的长为A．B ．C ．D ．12．已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“对”的否定是_______；14．在曲线，的所有切线中，斜率为1的切线方程为 .15．已知圆锥的顶点为，底面圆周上的两点、满足为等边三角形，且面积为，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的表面积为 .16.已知点P在直线上，点Q 在直线上，M为PQ的中点，且，则的取值范围是 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分17.（12分）已知数列的前项和为，且，（其中为常数），又.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18.（12分）如图，在四边形ABED中，AB//DE，AB BE，点C在AB上，且AB CD，AC=BC=CD=2，现将△ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE与平面PBC所成的角为45°.（1）求证：平面PBC 平面DEBC；（2）求二面角D-PE-B的余弦值.19.（12分）某地种植常规稻A和杂交稻B，常规稻A的亩产稳定为500公斤，今年单价为3.50元／公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.60元／公斤的可能性为60%，变为3.70元／公斤的可能性为30%．统计杂交稻B的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近10年来杂交稻B的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为，并得到散点图如下，参考数据见下．（1）估计明年常规稻A的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻B的亩产超过765公斤的概率；（3）判断杂交稻B的单价y（单位：元/公斤）与种植亩数x（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y关于x的线性回归方程；调查得知明年此地杂交稻B的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻A和杂交稻B中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据：，，，，附：线性回归方程，．20.（12分）已知点在椭圆:上，椭圆的焦距为2.（1）求椭圆的方程；A与椭圆交于的直线（2）斜率为定值k两点，（其中为、的值为常数，O满足B且坐标原点）（i）求k的值以及这个常数；的直线k（ii）写出一般性结论（不用证明）：斜率为定值交于与椭圆、BA且两点，满足k多少？的值以及这个常数是的值为常数，则21.（12分）设函数，（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个零点、，求证：．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为（,a为常数），过点、倾斜角为的直线l的参数方程满足，（为参数）．（1）求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点（点P在A、B之间），且，求a和的值．23. [选修45：不等式选讲] (10分）已知函数，（1）求函数的值域；（2）若时，，求实数a的取值范围．揭阳市2019高考一模数学（理科）参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B A C D D A D B B C C B解析: 6.法一：因函数在单调递减，且为偶函数，则函数在单调递增，由，则.故选D.法二：由得或，即或，综合得.7. 由三视图知该几何体为一长方体与一直三棱柱的组合体，其体积为.8.第一步：将两节数学捆在一起与语文先进行排列有种排法，第二步：将物理、化学在第一步排后的3个空隙中选两个插进去有种方法，根据乘法原理得不同课程安排种数为.9. 将代入双曲线的方程得，则，解得.10.法一：设△ABC两直角边的长分别为，其内接正方形的边长为，由得，则，（当且仅当时取等号）．法二（特殊法）：设，则，故，从而排除A、D，当△ABC 为等腰直角三角形时，排除B，故选C．11. 由结合正弦定理得，在等腰三角形ABC中，从而，由余弦定理得：，故.12.设F、G 分别为函数与定义在区间上[0,1]上的值域，则,当a>0时，，单调递增，当a<0时，单调递减，使得，因为在上递增，在上递减，所以，所以解得式，式.题序13 14 15 16答案（或）解析：14.设切点为，则由且，得，，故所求的切线方程为（或）.15.设圆锥母线长为,由为等边三角形，且面积为得，又设圆锥底面半径为，高为，则由轴截面的面积为8得，又，解得，（或设轴截面顶角为S，则由得，可得圆锥底面直径，）故.16.因直线与平行，故点M的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，其方程为，即点M满足，而满足不等式的点在直线的上方，易得直线与的交点为，故问题转化为求射线（不含端点）（）上的点M与坐标原点连线斜率、即的取值范围, 故.三、解答题17.解：（1）由得，，解得，-------------------------------------------------------------------------------2分即，-------------①当时，-------------②①-②得，即，--------------------------------------------4分∵不满足上式，∴----------------------------------------------------------------------------------6分（2）依题意得-------------------------------------------------------7分当时，，当时，两式相减得：---------------------------------9分.-------------------------------------------------------------------------------11分显然当时，符合上式∴-------------------------------------------------------------------------------12分18.解：（1）证明：∵AB CD，AB BE，∴CD//EB，---------------------------------------------1分∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴EB⊥PC，--------------------------------------------------------3分且PC∩BC=C，∴EB⊥平面PBC，----------------------------------------------------------------------------------4分O zyxDE BCAP 又∵EB 平面DEBC ，∴平面PBC平面DEBC ； ---------------------------------------5分 （2）由（1）知EB ⊥平面PBC ，∴EB ⊥PB ，由PE 与平面PBC 所成的角为45°得∠EPB=45°，--------------------------------6分∴△PBE 为等腰直角三角形，∴PB=EB ， ∵AB//DE ，结合CD//EB 得BE=CD=2， ∴PB=2，故△PBC 为等边三角形，--------------------7分 取BC 的中点O ，连结PO ， ∵ PO ⊥BC ，∴PO ⊥平面EBCD ，--------------------8分以O 为坐标原点，过点O 与BE 平行的直线为x 轴，CB 所在 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图， 则，，从而,,，设平面PDE 的一个法向量为，平面PEB 的一个法向量为，则由得，令得，----------------9分由得 ，令得，------------------------10分设二面角D-PE-B 的大小为，则，即二面角D-PE-B 的余弦值为.----------------------------------------------------------------12分（其它解法请参照给分！）19.解：（1）设明年常规稻A 的单价为，则的分布列为3.50 3.60 3.70 P0.10.60.3，估计明年常规稻A 的单价平均值为3.62（元／公斤）；----------------------------------------3分 （2）杂交稻B 的亩产平均值为：．--------------------------------------------------------------------5分依题意知杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为：，则将来三年中至少有二年，杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为：．--------------------------------------------------------------7分（3）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻B 的单价y 与种植亩数x 线性相关， -------------------------------------------------------------------------------------------------8分 由题中提供的数据得：，由，所以线性回归方程为，--------------------------------------------------------------10分估计明年杂交稻B 的单价元／公斤； 估计明年杂交稻B 的每亩平均收入为元／亩，估计明年常规稻A 的每亩平均收入为元／亩，因1905>1875，所以明年选择种植杂交稻B收入更高． -------------------------------------------12分20.解：（1）由点P在椭圆上得，2c=2， --------------------------------------------1分，c=1，又，，，解得，得，∴椭圆的方程为；-------------------------------------------------------------------4分（2）（i）设直线的方程为，联立，得，∴------------------------------------------5分又，，----------------------------------------------------------------8分要使为常数，只需，得，------------------------------9分∴，∴，这个常数为5； ----------------------------------------------------------10分（ii），这个常数为．------------------------------------------------------------12分21.解：（1），---------------------------------------------1分设，①当时，，；------------------------------------------------------------2分②当时，由得或，记则，∵∴当时，，，当时，，，--------------------------------------4分∴当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．---5分（2）不妨设，由已知得，，即，，---------------------------------------------------6分两式相减得，∴，---------------------------------------------------------------------------7分要证，即要证，只需证，只需证，即要证，---------------------------------------9分设，则，只需证，------------------------------------------------------10分设，只需证，，在上单调递增，，得证．---------------------------------------------------------------------------12分22.解：（1）由得， --------------------------------------1分又，，得，∴C的普通方程为，-------------------------------------------------------------------2分∵过点、倾斜角为的直线l的普通方程为，--------------3分由得∴直线l 的参数方程为（t为参数）；-------------------------------------------5分（2）将代入，得，----------------------------------------------------------------6分依题意知则上方程的根、就是交点A、B 对应的参数，∵，由参数t 的几何意义知，得，∵点P在A、B 之间，∴，∴，即，解得（满足），∴，-------------8分∵，又，∴．-------------------------------------------------------------------------10分23.解：（1）法一：，∴，的值域为[-2, 2]；----------------------------------------------------4分法二：，得，∴的值域为[-2, 2]；----------------------------------------------------------------------------4分（2）由得，由得，∴，----------------------------------------------------5分设，①当时，，，∴；--------------------------------------------------------------------------7分②当时，，，∴；-------------------------------------------------------------------------------9分综上知，，由恒成立，得，即a 的取值范围是．---------------------------------10分11 / 11。