直角三角形的斜边长是__a_2 __4__ 正方形的边长是___b____3__
等边三角形的边长是___2__s _
像 a (a 0a)2 这4样表示b 的 式3 子叫2 做s 二次根式。
你1.二认次为根所式得的的被开各方式数子可的以共为同整式特或点分是式什。么?
2.因为在实数范围内，负数没有平方根，所以 二次根式的被开方数必须大于等于零。 3.当a>0时, a 表示a的算术平方根，因此 a 0 ； 当a=0时， a 表示0的算术平方根，因此 a 0 。 这就是说
一般地,二次根式有下面的性质:
a ( a 0 ),
a 2 | a | 0 ( a 0 ), a ( a 0 ).
.
14
a a 2 | a | 0
a
( a 0 ), ( a 0 ), ( a 0 ).
例1 计算：
(1)
2
8
8
(2) (1.5)2 1.5 1.5
.
15
例2 计算：
a (a 0)是一个非负数。
例1 求下列二次根式中字母a的取值范围：
1 a 1;
2 1 ;
1 2a
3 (a 3)2 .
解（1）由a+1≥0,得 a≥-1，
∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数。
（2）由 1 0 ，得1-2a>0,即a< 1 。
1 2a
2
∴字母a的取值范围是小于 1 的实数。
.
19
二次根式的性质
（1）a
2
a,(a0)
（2） a 2 a
a ( a >0 ) 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
.
20
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21.1二次根式 博士源九年级课件
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个 数就叫做a的平方根。
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0
用 a (a 0) 表示
1、平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根。
1 5
.
17
1
12 __1 ___,2
22 5
2
___5___,3
2
3___Biblioteka __,421 13
1__13 ___,5
42 _4___,6 22
3
____8 .
(7) 数 a 在数轴上的位置如图,则 a2 ___a__.
a
y
-2 -1 0 1
(8)如图, P 5, 2 是直角坐标系中一点, 2
4 3x.
课内练习
2.一艘轮船先向东北方向航行2时，再向西北方向航 行 t 时。船的航速是每时25千米。 （1）用关于 t 的代数式表示船离出发地的距离； （2）求当 t＝3时，船离出发地多少千米（精确到 0.01千米）。
502(25t)2254t2
——二次根式的性质
.
12
参考图,完成以下填空:
Think
思考
1、16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？算术平方根是什么？
3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根；
负数没有算术平方根。
根据下图所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件， 完成以下填空：
2cm a cm
（b－3）cm2
3 Scm 2 2
22_2____; 72___ 7__; 1 2 2____ 12 _.
一般地,二次根式有下面的性质:
2
a aa0
面积 a a
a
1 32___3___,2 722___72___,3 2132__2__13 ____,
4 52___5_____,5 232____23____.
2
（3）因为无论a取何值，都有 a 32 0
所以，a的取值范围是全体实数。
练习
求下列二次根式中字母a的取值范围：
1 a3;2 1;3 a21.
3a
（1）a≥-3 （2）a>3 （3）a为全体实数。
例2 当x＝－4时，求二次根式 1 2 x 的值。
解：将x=-4代入二次根式，得
1 2 x1 2 ( 4 )93
例3：若 (a3)2 (2b9)2 =0，求：a,b
解：因为 所以
又因为 所以
a (a 0) 是一个非负数。
(a3)2 0
(2b9)2 0
(a3)2 (2b9)2=0
(a3)2 0 (2b9)2 0
a3
b9 2
课内练习
1.求下列二次根式中字母x的取值范围：
1 x 1; 3 1 ;
x
2 4x2;
P 5,2
求点P到原点的距离.
3
0
5
x
.
18
练 一 练 ： x 2-6 x + 9 + x 2+ 2 x + 1 ( -1 < x < 3 )
解 ： 原 式 = （ x-3） 2 + （ x+1） 2 = |x-3| + |x+1|
∵ -1<x<3 , ∴ x-3＜ 0 , x+1>0 ∴ 原 式 = (3-x) + (x+1) = 4
.
13
填空: 2 2 _ 2_ _ , 5 2 _ 5_ _ ,
| 2 | _2_ _ ; | 5 | _ 5_ _ ;
0 2 _ _0_ ,
| 0 | _ _0_ .
请比较左右两边的式子,议一议: a 2 与 | a | 有什么关
系?当 a 0 时, a2 _a___;;当 a 0 时, a2 ___a_ .
(1) (10 )2( 15 )2 (2 ) [ 2( 2 )2] 2 22
解（1）原式101510155
（2）原式= 2 2 2 2 2
(1 2 ) 2 2 2 2 22 22 2 =2
.
16
例3 计算：
(32)2 | 42| 53 53
32 42 53 53
(3 2) (4 2) 53 53