绵阳南山中学届第一学期第三次月考数学试卷考试时间：100分钟试卷满分：100分一．选择题：（每题4分，共计40分）1.已知=2radα,则下列叙述正确的是（）A.α是锐角 B.cos0α> C.α是第一象限角 D.α是第二象限角2.某学生离家去学校，因怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）A B C D3．函数12()2logxf x x=-的零点所在区间为（）A.1(0,)4B.11(,)42C.1(,1)2D. (1,2)4.幂函数ay x=，by x=，cy x=的图象如下图所示，则实数a，b，c的大小关系为( ) A．a b c>> B. c b a>>C．a c b>> D. b a c>>5已知3tan=α，23παπ<<，那么ααsincos-的值是（）A231+- B231-C231+-D231+6.如表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据,判断它最可能的函数模型是 ( ) dd0t0tOdd0t0tOdd0t0tOdd0t0tOA.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型7.设sin1,cos1,tan1a b c ===，下列关系正确的是 （ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．a b c >>8.设函数若2log (1),2()11,22xx x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩,若()1f x >，则x 的取值范围 ( ) A ．(),0(2,)-∞⋃+∞ B ．()0,2 C ．(),1(3,)-∞-⋃+∞D ．()1,3-9.设函数()f x （x R ∈）奇函数1(1),(2)()(2)2f f x f x f =+=+则(5)f = ( ) A. 0 B. 1 C.52D. 5 10.奇函数()f x 在[]2,2-是增函数，且(2)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤--对所有的[]2,2x ∈-，[]1,1a ∈-都成立，求实数t 的取值范围 （ ） A. 11t -≤≤ B. 22t -≤≤ C. 2t ≤-或2t ≥ D. 2t ≤-或0t =或2t ≥二．填空题（每题4分，共计20分）11. 已知扇形半径为r ，扇形的面积2s r =，则扇形圆心角为 弧度12. 化简：sin()sin()tan(3)23cos()sin()2παπαπαπαα+++=+-13. 已知角α的终边过点ααcos sin 2),3,4(+-则P 的值为14. 若定义域为R 的偶函数()f x 在［0，＋∞）上是增函数，且1()02f =，则不等式4(log )0f x >的解集是___________15.判断下列命题，其中正确的为 ①若sin 0α>，则α角的终边落在第一或第二象限； ②函数2(1)xy x =<的值域为{|2}y y <； ③函数2sin ()log 2sin a xf x x-=+（0a >且1a ≠）在定义域内是奇函数；④sin cos x x -=，则33sin cos x x -=三．解答题:(每题10分，共计40分)16. 已知集合A =()2{|log 37}x y x =-,B ={|x x 是不大于8的自然数},C ={|}x x a ≤ 求：（I ）A B ⋂；（II ）若A C ⋂≠∅,求a 的取值范围；（III ）若B C ⋂中恰有两个元素，求a 的取值范围.17. 现有A ，B 两个投资项目，投资两项目所获得利润分别是P 和Q （万元），它们与投入资金x (万元)的关系依次是：其中P 与x 平方根成正比，且当x 为4（万元）时P 为1（万元），又Q 与x 成正比，当x 为4（万元）时Q 也是1（万元）；某人甲有3万元资金投资.（I ）分别求出P ，Q 与x 的函数关系式；（ii ）请帮甲设计一个合理的投资方案，使其获利最大，并求出最大利润是多少？18. 已知函数2()1xf x x =+的定义域为()1,1-. 求：（I ）判断并证明()f x 在定义域内的单调性； （II ）解关于t 的不等式1()()02f t f t -+<.19.若函数()f x 同时满足下列两个性质，则称其为“规则函数” ①函数()f x 在其定义域上是单调函数；②在函数()f x 的定义域内存在闭区间[,]a b 使得()f x 在[,]a b 上的最小值是2a，且最大值是2b . 请解答以下问题：(I) 判断函数2()2,((0,))f x x x x =-∈+∞是否为“规则函数”？并说明理由； (II)判断函数3()g x x =-是否为“规则函数”?并说明理由.若是，请找出满足②的闭区间[,]a b ；(III)若函数()h x t =是“规则函数”,求实数t 的取值范围.参考答案一．选择题：二．填空题：11. 2 12 1 13 25- 14. 1{|20}2x x x ><<或 15. ③④ 16.解：由题意知7{|}3A x x =>................................................................................................2分 （I）{3,4,5,6,7}A B ⋂=.........................................................................................................2分 （II）因为A C ⋂≠∅,所以73a >............................................................................................3分 (III)因为B C⋂中恰有两个元素，又{|8}B x N x =∈≤可知{0,1}B C ⋂=..................1分所以12a ≤<.............................................................................................................................2分 17.解：（I ）设P ，Q 与x 的的比例系数分别是12,k k P k =，2Q k x=且都过（4，1）.......................................................................1分 所以：0)P x =≥.............................2分，(0)4xQ x =≥................................2分（II ）设甲投资到A,B 两项目的资金分别为x （万元），（3x -）（万元）(03)x ≤≤，获得利润为y 万元...........................................................................................................................1分绵阳南山中学2016届第三次月考数学试卷由题意知：324xy-=+ 211)14=-+....................................................................1分所以当=1，即x=1时，max1y=....................................................................... ...............2分答：甲在A,B两项上分别投入为1万元和2万元，此时利润最大，最大利润为1万元..1分18.解：（I）()f x在定义域内为增函数..................................................................................1分证明如下：设1x，2x∈()1,1-且12x x<........................................................................ ........1分2()f x-1()f x=()()2221221112222221121111x x x x x x x xx x x x+---=++++=()()21212212()(1)11x x x xx x--++因为1211x x-<≤<，所以21x x->，2110x x->所以有2()f x-1()f x0>即有()f x在定义域内为增函数............................................................................. ..............3分（II）因为()f x定义域为[]1,1-且关于原点对称，又()f x-=21xx-+=()f x-所以()f x在定义域内为奇函数............................................................................. .................2分由1()()02f t f t-+<有1()()()2f t f t f t-<-=-又()f x在()1,1-上单调递增即1112t t-<-<-<.............................................................. .................................................2分所以：11,24t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭..................................................................................................................1分19.解：（I ）22()2(1)1f x x x x =-=--（0x ≥）在(0,1)单调递减，[)1,+∞单调递增，所以()f x 不是“规则函数”.....................................................................................................2分（II ）3()g x x =-在R 上单调递减，假设()g x 是“规则函数”即存在[],a b 满足条件3max ()()2b g x g a a ==-=，3min ()()2ag x g b b ==-=，...............................................2分 且a b <可解得2a =-，2b =，所以闭区间为22⎡-⎢⎣⎦..............................................................2分（III ）因为()h x 是“规则函数”， ()h x t =(1)x ≥即存在区间[],a b满足()h x ∈,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（(1)b a >≥），又因为()h x 在[)1,+∞上单增，min ()()2a h x h a t ===max()()2bh x h b t === ...........................................................................................2分2xt =在[)1,+∞上有两个相异实根(0)m m =≥，即有22210m m t --+=在[)0,+∞上有两个相异实根。