，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝CE；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝45°，
（3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF的长．
10．已知，矩形 中， ， 的垂直平分 线分别交 于点 ，垂足为 ．
（1）如图1，连接 ，求证：四边形 为菱形；
（2）如图2，动点 分别从 两点同时出发，沿 和 各边匀速运动一周，即点 自 停止，点 自 停止．在运动过程中，
①已知点 的速度为每秒 ，点 的速度为每秒 ，运动时间为 秒，当 四点为顶点的四边形是平行四边形时，则 ____________．
6．感知：如图①，在正方形 中， 是 一点， 是 延长线上一点，且 ，求证： ；
拓展：在图①中，若 在 ，且 ，则 成立吗？为什么？
运用：如图②在四边形 中， ， ， ， 是 上一点，且 ， ，求 的长．
7．已知：在矩形ABCD中，点F为AD中点,点E为AB边上一点，连接CE、EF、CF，EF平分∠AEC．
(1)如图1，求证：CF⊥EF;
(2)如图2，延长CE、DA交于点K,过点F作FG∥AB交CE于点G若，点H为FG上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE,求证：CH=FK;
(3)如图3,过点H作HN⊥CH交AB于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK长.
8．如图，在平行四边形ABCD中，AD=30，CD=10，F是BC的中点，P以每秒1个单位长度的速度从A向D运动，到D点后停止运动；Q沿着 路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D点后停止运动．已知动点P，Q同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，问：
【分析】
（1）证明四边形OCFD是平行四边形，得出OD=CF，证出OB=CF，再证明全等即可（2）证出四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得出OC=OD，即可得出四边形OCFD为菱形.
【详解】
(1)证明:∵ ，
∴四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ．
（3）在（2）的条件下，若OE＝ ，求CE的长．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动．
（1）求点B的坐标；
（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；八年级初二数来自平行四边形(讲义及答案)及解析
一、解答题
1．如图，在矩形 中，点 是 上的一点（不与点 ， 重合）， 沿 折叠，得 ，点 的对称点为点 ．
（1）当 时，点 会落在 上吗？请说明理由．
（2）设 ，且点 恰好落在 上．
①求证： ．
②若 ，用等式表示 的关系．
2．如图，平行四边形 的对角线 交于点 ，分别过点 作 ，连接 交 于点 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ．
在 中， ，
所以 ，
所以 ．
故答案为（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；② ．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质和判定，和等边对等角，此题属于矩形的折叠问题类综合题，熟练掌握三角形全等的性质，和做出示意图是本题的关键．
2．（1）见解析；（2）当 满足 时，四边形 为菱形，证明详见解析
（1）经过几秒，以A，Q，F，P为顶点的四边形是平行四边形
（2）经过几秒，以A，Q，F，P为顶点的四边形的面积是平行四边形ABCD面积的一半？
9．如图，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD于点E，F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若四边形DEBF是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由；
②若点 的运动路程分别为 （单位: ），已知 四点为顶点的四边形是平行四边形，则 与 满足的数量关系式为____________．
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一、解答题
1．（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②
【分析】
（1）根据 得到 ，根据三角形的三边关系得到 ，与已知矛盾；
（2）①根据 、 和BF=CD，利用AAS证得 ，根据全等三角形的性质即可证明；
(1)求证: ；
(2)当 等于多少度时，四边形 为菱形?请说明理由．
3．如图1，已知四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上的一点，连接AE，CE．
（1）求证：AE＝CE；
（2）如图2，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，O为BP的中点，连接EO．若∠PBC＝30°，求∠POE的度数；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以得到OB＝OE，∠OBE＝∠OEB＝15°，再利用外角和定理求得；
（3）连接OC，与（2）同理得到∠POC＝60°，则△EOC为直接三角形，再应用勾股定理求得.
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，
在△ADE和△CDE中，
②设 ，则可表示出AE和AB，然后根据等角对等边证得CE=CB，然后在 中应用勾股定理即可求解．
【详解】
（1） 由折叠知 ，
所以 ．
若点 在 上，则 ， ，
与 矛盾，
所以点 不会落在 上．
（2）①因为 ，则 ，
因为点 落在 上，
所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
②若 ，则 ．
设 ，则 ．
（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
5．矩形ABCD中，AB=3，BC=4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．
（1）如图1，若AE=CF=1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．
（2）如图2，若AE=CF=0.5， ，且四边形EMFN为矩形，求x的值．
(2)当 满足 时，四边形 为菱形.理由如下:
∵ ，四边形 是平行四边形，
∴四边形 是矩形
∴
∴ ，
∴四边形 为菱形
【点睛】
本题考查全等三角形判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质和菱形的判定是解题的关键.
3．（1）详见解析；（2）30°；（3）2
【分析】
（1）利用正方形的性质，得到AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，进而判断△ADE≌△CDE得到结论；