E BCD AP① 中位线定理例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点． （１）求证：GH ∥平面CDE ；（２）若2,42CD DB ==，求四棱锥F-ABCD 的体积．练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。

求证：AC 1∥平面CDB 1；2. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。

（1）求证：//1BD 平面DE C 1；（2）求三棱锥BC D D 1-的体积.3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。

（1）证明：//PA BDE 平面；（2）求PAD ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积。

EA 1B 1C 1D 1DC B A_ H_ G_ D_ A_ B_ CEFGPABCDFEA B C D EF例2、 如图, 在矩形ABCD 中,2AB BC = , ,P Q 分别为线段,AB CD 的中点, EP ⊥平面ABCD .求证: AQ ∥平面CEP ；（利用平行四边形）练习：①如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，E 、F 分别是AB 、PD 的中点。

求证：AF ∥平面PCE ；②如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，ABCD 平面PD ⊥，M ，N 分别是AB ，PC 中点。

求证：//PAD MN 平面PABCDMN③ 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点.⑴求证：AF//平面BCE ；④、已知正方体ABCD-1111D C B A ，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：//1O C 面11AB D ．D 1C 1B 1A 1A BCDEF③比例关系例题3、P 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是PB 、BC 上的点，且NCBN PM BM =,求证：MN//平面PCD(利用比例关系)练习：如图，四边形ABCD 为正方形，⊥EA 平面ABCD ，//EF AB ，=4,=2,=1AB AE EF .（Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =, 求证：//EM 平面FBC ；④面面平行-线面平行例题4、如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，∠BCF=∠CEF=︒90,AD=3,EF=2。

（Ⅰ）求证：平面ABE//平面CDF（II ）求证：AE//平面DCF ；（利用面面平行-线面平行）练习：1、如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．（1）求证：；EFG PA 面//； （2）求三棱锥P EFG -的体积． D ACBE F M1A 1C 1B EFGACBEBACNDFM2、如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,090ACB ∠=，,,E F G 分别是11,,AA AC BB 的中点，且1CG C G ⊥.(Ⅰ)求证：//CG BEF 平面；3、如图所示,正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直, ,//,22AD CD AB CD CD AB AD ⊥==. 在EC 上找一点M ,使得//BM 平面ADEF ,请确定M 点的位置,并给出证明．4、（2012山东文）如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥.(Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC .例题： 如图，已知四棱锥ABCD P -。

若底面ABCD 为平行四 边形，E 为PC 的中点，在DE 上取点F ，过AP 和点F 的平面与 平面BDE 的交线为FG ，求证：FG AP //。

证明：连AC 与BD ，设交点为O ，连OE 。

练习：1、如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，N 是PB 中点，过A 、N 、D 三点的平面交PC 于M ．求证：//AD MN ；2、（2012浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB=2。

AD=2，BC=4,AA 1=2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点。

（1）证明：EF ∥A 1D 1；3.如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC. （1） 求证：平面AEC ⊥平面ABE ；(面面垂直性质) （2） 点F 在BE 上，若DE//平面ACF ，求BE BF 的值。

（线面平行的性质 21） DABC P MN例、如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .练习：如图所示，在正方体ABCD-1111D C B A 中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点.求证：（1）EG ∥平面BB 1D 1D ；（2）平面BDF ∥平面B 1D 1H .例题：已知在正方体ABCD-1111D C B A 中，E,F 分别是1111A D D C 和上的点，点P 在正方体外，平面PEF 与正方体相交于AC ，求证：ABCD //平面EFABCDA1B1C1 D1ACBPACBDPM FE ABCD G①菱形的对角线互相垂直：例题。

已知E ，F 分别是正方形ABCD 边AD ，AB 的中点，EF 交AC 于M ，GC 垂直于ABCD 所在平面。

求证：EF ⊥平面GMC ．练习：如图ABCD-1111D C B A 是底面为正方形的长方体，求证：（1）BD ⊥平面A ACC 1 （2）1AC BD ⊥②等腰三角形底边的中线垂直底边例1、 如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．求证：PC AB ⊥；练习：1、在三棱锥A-BCD 中，AB=AC,BD=DC,求证：AD BC ⊥ABCDABC D③圆的直径所对的圆周角为直角例题3、如图AB 是圆O 的直径，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，⊥PA 平面ABC ，（1）图中共有多少个直角三角形？（2）若PC AH ⊥,且AH 与PC 交于H ，求证：AH ⊥平面PBC.④利用勾股定理例4、在长方体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱21=AA ，E 是侧棱1BB 的中点。

求证：AE ⊥平面11A D E ；证明：1111D C B A ABCD - 为长方体，练习：如图，四棱锥P-ABCD 的底面是边长为1的正方形，2,1,==⊥PD PA CD PA ,求证：（1）⊥PA 平面ABCD（2）求四棱锥P-ABCD 的体积.⑤间接法，用线面垂直的性质定理（b l b b l ⊥⇒⊂⊥α,）例题：如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，︒=∠60DAB ，ABCD PD AD AB 底面⊥=,2，证明：BD PA ⊥;练习1：如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC =3， BC =4，AB =5，14AA =，点D 是AB 的中点。

（Ⅰ）求证：1AC BC ⊥；D 1C 1B 1A 1EDCBABC DPA PACBHOa2aBD CAp练习2：如图，四边形ABCD为矩形，⊥BC平面ABE，F为CE上的点，且⊥BF平面ACE. 求证：BEAE⊥；证明：因为ABEBC平面⊥，ABEAE平面⊂，例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直⊙O所在的平面，C是圆上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.练习1：如图，棱柱111ABC A B C-的侧面11BCC B是菱形，11B C A B⊥2、如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，E、F分别是1A B、1A C的中点，点D在11B C上，11A DB C⊥。

求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面1A FD⊥平面11BB C C.3、如图， ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，BK⊥SC于K，连结DK，求证（1）平面SBC⊥平面KBDsACKDABCDEF例1：如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD,O为AD中点.，求证:PO⊥平面ABCD；例2：如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是060DAB∠=且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．（1）若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；（2）求证：AD PB⊥；练习：1、如图AB是圆O的直径，C是圆周上异于A、B的任意一点，⊥PA平面ABC，（1）图中共有多少个直角三角形？（2）若PCAH⊥,且AH与PC交于H，求证：平面PAC⊥平面PBC.(3) AH⊥平面PBC 2、在四棱锥ABCDP-中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点.求证：平面BEF⊥平面PAD3、如图，正方形ABCD所在平面与以AB为直径的半圆O所在平面ABEF互相垂直，P为半圆周上异于A，B两点的任一点，求证：○1直线AP⊥平面PBC。

②平面PBC⊥平面APCA BHOFEACDBPCF GB DE A C4、如图，三角形ABC 中，AC=BC=AB 22，ABED 是边长为a 的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，且，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点，（Ⅰ）求证：GF//底面ABC ； （Ⅱ）求几何体ADEBC 的体积V 。

5、如图，AB C D ，，，为空间四点．在ABC △中， 22AB AC BC ===，．等边三角形ADB 以AB 为轴运动．（Ⅰ）当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ；五、体积问题1. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。

（1）求证：//1BD 平面DE C 1； （2）求三棱锥BC D D 1-的体积.EA 1B 1C 1D 1D C B A DBACA 1B 1C 1D 1ABCDEABCDOP练习1：三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆都是边长为2的等边三角形，2AB =，O D 、分别是AB PB 、的中点．（1）求证：//OD 平面PAC （2）求证：平面PAB ⊥平面ABC ； （3）求三棱锥A PBC -的体积．2、如图,长方体1111D C B A ABCD -中，11==AA AB ,2=AD ,E 是BC 的中点. (I)求证：平面AE A 1⊥平面DE D 1； (II)求三棱锥DE A A 1-的体积.3、如图，在四棱锥P-ABCD 中，，垂直于底面ABCD PD 底面ABCD 是直角梯形， ,90,//o BAD AB DC =∠且4222====PD DC AD AB （单位：cm ），Ｅ为ＰＡ的中点。