第 5 题解图 (2)解： ∵在 Rt△ ABD 中， AB＝ 5， BD ＝ 3，∴ AD＝ AB 2－ BD 2＝4， ∵ OC∥ DF ， ∴∠ COE＝∠ ABD， ∵∠ ADB＝∠ OCE＝ 90°， ∴△ ABD∽△ EOC，
第 3 题图 (1)证明： 如解图，连接 OD， ∵ AB 是⊙ O 的直径， ∴∠ ADB＝ 90°. ∵∠ DAC＝ 30°， ∴∠ ABD＝ 60°，
∴∠ BDC＝ 12∠ABD ＝ 30°. ∵ OD＝ OB， ∴∠ ODB＝ 60°， ∴∠ ODC ＝∠ ODB ＋∠ BDC ＝ 90°，即 OD ⊥DC， ∵ OD 是⊙ O 的半径， ∴ CD 是⊙ O 的切线；
∴ CD＝ OD tan30
°＝ 2
3，DF ＝ OD ·tan30°＝ 2 3， 3
∴ CF＝ CD －DF ＝ 2
3－
2
3
3＝
4
3
3 .
4. 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°，BD 是∠ ABC 的平分线，点 O 在 AB 上，⊙ O 经过 B，D 两点， 交 BC 于点 E.
(1)求证： CE 是⊙ O 的切线； (2)若 AB＝ 5， BD＝ 3，求 CE 的长．
第 5 题图 (1)证明： 如解图，连接 CO 并延长交 AD 于点 M ，
︵︵ ∵ AC＝ CD ，∴ AC＝ CD ，∴ CM ⊥ AD，
∵ AB 是⊙ O 的直径， ∴∠ ADB＝ 90°，∴ AD⊥ DF ， ∴ CM∥ DF ，即 OC∥ DF ， ∵ DF ⊥ CE， ∴ OC⊥ CE， 又∵ OC 是⊙ O 的半径， ∴ EC 是⊙ O 的切线；
与圆有关的证明与计算
1．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°，点 D、 E、 F 分别在 AC、 BC、 AB 的边上，以 AF 为直径的⊙ O 恰好经过点 D 、 E，且 DE＝ EF .
(1)求证： BC 是⊙ O 的切线；
(2)若∠
B ＝ 30 °，求
CE CD
的值．
(1)证明： 如解图，连接 OD， OE，DF ， ∵ AF 是⊙ O 的直径， ∴∠ ADF ＝ 90°， ∵∠ C＝ 90°， ∴ DF ∥ BC， ∵ DE＝ EF，
(2)解： ∵ OF ∥AD ，∠ ADB ＝90°， ∴ OF⊥ BD，∠ BOE ＝∠ A＝
OB，∴
DE
＝
BE＝
1 2BD
＝1.
∵在 Rt△ OEB 中，∠ BOE ＝30°，
∴ OB＝ 2BE＝ 2，
∴ OE＝ OB2－ BE 2＝ 22－ 12＝ 3.
∵ OD＝ OB＝ 2，∠ C＝∠ ABD－∠ BDC＝ 30°，∠ DOF ＝ 30°，
＝
2
3，
∵ OA＝ OB，
∴ OC 是△ ABE 的中位线， ∴ BE＝ 2OC＝4，
∴在 Rt△ AOC 中， OA＝ OC 2＋AC 2＝ 22＋（ 2 3） 2＝ 4，
∵∠ CEF＝∠ DCE ＝∠ F＝ 90°， ∴四边形 CDFE 是矩形， ∴ DF ＝ CE＝ 2 3，EF ＝CD＝ OD－ OC＝ 4－ 2＝2， ∴ BF＝ BE＋ EF＝ 4＋ 2＝ 6，
第 4 题解图 (2)解： 设⊙ O 的半径为 R， 在 Rt△ABC 中，∠ ACB＝ 90°， sin∠ BAC＝BACB＝ 23， ∵ AB＝ 6，
∴ BC＝ ABsin∠ BAC＝ 6× 23＝ 4， 由 (1)知， OD∥ BC，
∴△
AOD ∽△
ABC ，∴
OD BC
＝
AAOB，∴
R4＝
6－ 6
∵ tan∠ CDE ＝ tan60°＝ CE ＝ 3， CD
第 1 题解图
∴
CE CD
＝
3.
2．如图，在 Rt△BGF 中，∠ F ＝ 90°， AB 是⊙ O 的直径，⊙ O 交 BF 于点 E，交 GF 于点 D， AE⊥ OD 于点 C，连接 BD .
(1)求证： GF 是⊙ O 的切线； (2)若 OC＝ 2，AE＝4 3，求∠ DBF 的度数．
R，
解得 R＝ 12， 5
如解图，过点 O 作 OF ⊥BC 于点 F， 则 BE＝ 2BF ， OF∥AC， ∴∠ BOF＝∠ BAC ，
∴ sin∠ BOF ＝OBFB＝ 23，∴ BF ＝ 23×152＝ 85，∴ BE＝2BF ＝156.
5. 如图，等腰△ ACD 内接于⊙ O，其中 AC＝ CD ， AB 是⊙ O 的直径，连接 BC， BD，过点 C 作 BD 的 垂线，分别交 AB、 DB 的延长线于点 E、 F .
∴ tan∠ DBF ＝DF ＝ 2 3＝ 3， BF 6 3
∴∠ DBF ＝ 30°. 3．如图，点 C 是⊙ O 的直径 AB 的延长线上一点，点 D 在⊙ O 上，且∠ DAC ＝30°，∠ BDC ＝12∠ ABD . (1)求证： CD 是⊙ O 的切线； (2)若 OF ∥ AD 分别交 BD、 CD 于点 E、F， BD ＝ 2，求 OE、 CF 的长．
(1)求证： AC 是⊙ O 的切线；
(2)若 AB＝ 6， sin∠ BAC＝23，求 BE 的长．
第 4 题图
(1)证明： 如解图，连接 OD， ∵ BD 是∠ ABC 的平分线，∴∠ 1＝∠ 2， ∵ OB＝ OD，∴∠ 2＝∠ 3，∴∠ 1＝∠ 3，∴ DO ∥BC， ∵∠ ACB＝ 90°，∴∠ ADO ＝ 90°，即 AC⊥ OD， ∵ OD 是⊙ O 的半径，∴ AC 是⊙ O 的切线；
第 2 题图
(1)证明： ∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ AEB＝ 90°， 又∵∠ F ＝ 90°， ∴∠ AEB＝∠ F ，∴ AE∥ GF，
∵ AE⊥ OD ，∴ OD ⊥GF ， ∵ OD 是⊙ O 的半径， ∴ GF 是⊙ O 的切线；
(2)解： ∵ OD⊥ AE ，
∴
AC＝
CE ＝
1 2AE
︵︵ ∴ DE＝ EF，
∴ OE⊥ DF ， ∴ OE⊥ BC， ∵ OE 是⊙ O 的半径， ∴ BC 是⊙ O 的切线；
第 1 题图
(2)解： ∵∠ B＝ 30°，且 OE⊥ BC， ∴∠ BOE＝ 60°， ∵ OE＝ OF， ∴△ OEF 是等边三角形， ∴∠ OEF＝ 60°， 又∵ DE ＝EF ，OE⊥ DF ， ∴∠ OED＝∠ OEF ＝ 60°， ∴∠ CED＝ 30°， ∴∠ CDE＝ 60°， 在 Rt△CDE 中，