3、（10分）某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson 过程，已知商店9：00开门，试求： （1）在开门半小时中，无顾客到来的概率； （2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。

3、解：设顾客到来过程为{N(t), t>=0}，依题意N(t)是参数为λ的Poisson 过程。

（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率为：1422102P N e e -⨯-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）在开门半小时中无顾客到来可表示为102N ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，在未来半小时仍无顾客到来可表示为()1102N N ⎧⎫⎛⎫-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，从而所求概率为：()1412211(1)0|02211(1)0|00221(1)02P N N N P N N N N P N N e e ⎛⎫-⨯- ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4、（15分）设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。

若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为p ij （p ij 表示从销售状态i 经过一个月后转为销售状态j 的概率），一步转移矩阵为：[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=61326195913102121P 试对经过长时间后的销售状况进行分析。

4、解答：由一步转移概率矩阵可知状态互通，且p ii >0，从而所有状态都是遍历状态，于是极限分布就是平稳分布。

设平稳分布为π={π1，π2，π3}，求解方程组：π=πP, π1+π2+π3=1即：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++=++1619532912161312132133223211321ππππππππππππππ 得：236,239,238321===πππ 即极限分布为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=236,239,238π 由计算结果可以看出：经过相当长时间后，正常销售状态的可能性最大，而畅销状态的可能性最小。

3简述Poisson 过程的随机分流定理答：设t N 为强度为λ的poisson 过程，如果把其相应的指数流看成顾客流，用与此指数流相互独立的概率p,把每个到达的顾客，归入第一类，而以概率1-p 把他归入第二类。

对i=1,2,记 ()i t N 为t 前到达的第i 类顾客数，那么(1)(2){:0},{:0}t t N t N t ≥≥分别为强度为p λ与（1-p ）λ的poisson 过程，而且这两个过程相互独立。

4简述Markov 链与Markov 性质的概念答：如果随机变量是离散的，而且对于0n ∀≥及任意状态01111001,,,,,(|,,,)(|)n n n n n n n i j i i p j i i i p j i ξξξξξξ-+--+======= 都有 ，该随机序列为Markov 链，该对应的性质为Markov 性质。

5. 简述Markov 状态分解定理答：(1) Markov 链的状态空间S 可惟一分解为 12S T H H =⋃⋃⋃ ，其中T 为暂态的全体，而i H 为等价常返类。

（2）若Markov 链的初分布集中在某个常返类k H 上，则此Markov 链概率为1地永远在此常返类中，也就是说，它也可以看成状态空间为k H 的不可约Markov 链。

7． 什么是随机过程，随机序列？答：设T 为[0，+∞）或（-∞，+∞），依赖于t(t ∈T)的一族随机变量（或随机向量）{t ξ}通称为随机过程，t 称为时间。

当T 为整数集或正整数集时，则一般称为随机序列。

8 .什么是时齐的独立增量过程？答：称随机过程{t ξ：t ≥0}为独立增量过程，如果对于01,0,n n t t t ∀∀≤<<< 起始随机变量及其后的增量s t s ξξ+-是相互独立的随机变量组；如果s t s ξξ+-的分布不依赖于s, 则此独立增量过程又称为时齐的独立增量过程。

4．设随机过程()cos 2,(,),X t X t t =∈-∞+∞X 是标准正态分布的随机变量。

试求数学期望()t E X ，方差()t D X ，相关函数12(,)X R t t ，协方差12(,)X C t t 。

解：因为2()c o X t X t =∈-∞，（1） 所以()(tE X E X ==⨯（2）22()(cos2)cos 2()cos 2,t D X D X t t D X t ==⨯=（2）21212(,)[()()][cos2cos2]cos 2,X R t t E X t X t E X t X t t ==⨯=（2）212121212(,)(,)()()(,)cos 2.X x x C t t R t t E t E t R t t t =-==2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。

解：设{}N (t ),t 0≥是顾客到达数的泊松过程，2λ=，故{}k -4(4)P N(2)=k ek!=，则{}{}{}{}{}-3P N (283≤==+++3、（10分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。

求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。

由题意可知，每个顾客的消费额Y 是服从参数为s 的指数分布，由指数分布的性质可知：21)(,1)(s Y D s Y E ===，故222)(sY E =，则由复合泊松过程的性质可得：一天内商场营业额的数学期望)(1808)8(Y E m X ⨯⨯=；一天内商场营业额的方差)(1808)8(22Y E X ⨯⨯=σ。

6、（15分）设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。

【解答】[]()()[][]222()()()()()()()()()()()()()()()(1)E N t N t s E N t N t s N t N t E N t N t s N t E N t E N t E N t s N t E N t t s t t t t s λλλλλλλ+=+-+⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+-+⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+-+⎣⎦=⋅++=++2.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。

解 因)1,0(~N V ，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++== ][22b btV bsV stV E +++= 2b st +=2.4 设有随机过程)sin()cos()(t B t A t X ωω+=，其中ω为常数，B A ,是相互独立且服从正态分布),0(2σN 的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。

解 因B A ,独立，),0(~2σN A ，),0(~2σN B 所以，2][][,0][][σ====B D A D B E A E 均值 )]sin()cos([)]([)(t B t A E t X E t m X ωω+== 0][)sin(][)cos(=+=B E t A E t ωω 相关函数[]))sin()cos())(sin()cos(()]()([),(22112121t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωω++==[]1221212212sin cos sin cos sin sin cos cos t t AB t t AB t t B t t A E ωωωωωωωω+++=][sin sin ][cos cos 221221B E t t A E t t ωωωω+= )sin sin cos (cos 21212t t t t ωωωωσ+= )(cos 212t t -=ωσ2 独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为p ，对于2≥n ，令32,1,0或=n X ，这些值分别对应于第n-1次和第n 次抛掷的结果为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），求马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的一步和二步转移概率矩阵。

解 对应状态为 正，正）(0↔，↔1（正，反），↔2（反，正），↔3（反，反）p P p ==}{(00（正，正）正，正），q P p ==}{(01（正，正）正，反） 0}{(20==（正，正）反，正）P p （不可能事件） 0}{(30==（正，正）反，反）P p （不可能事件）同理可得下面概率0}{(10==（正，反）正，正）P p ，0}{(11==（正，反）正，反）P p p P p ==}{(12（正，反）反，正），q P p ==}{(13（正，反）反，反） p P p ==}{(20（反，正）正，正），q P p ==}{(21（反，正）正，反） 0}{(22==（反，正）反，正）P p ，0}{(23==（反，正）反，反）P p 0}{(30==（反，反）正，正）P p ，0}{(31==（反，反）正，反）P p p P p ==}{(32（反，反）反，正），q P p ==}{(33（反，反）反，反）一步转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=q p q p q p q p00000000P 二步转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=q pq p q p q p 00000000P(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛q pq p q p q p 00000000⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22222222q pq pqpq pq pq p q pq pqp q pq pq p8 某商品六年共24个季度销售记录如下表（状态1—畅销，状态2—滞销）以频率估计概率，求（1）销售状态的初始分布，（2）三步转移概率矩阵及三步转移后的销售状态的分布。

解 状态1的个数为15个，状态2的个数为9个 （1）所以，销售状态的初始分布为 ⎪⎭⎫⎝⎛=2492415)0(P T ()275.0625.0= （2）求一步转移概率状态11→共有7个，状态21→共有7个， 状态12→共有7个，状态22→共有2个， 所以，21147,211471211====p p ，92,972221==p p 一步转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=92972121P ， ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=92972121P (2)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛92972121⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=16271162913613362392922197979221979221212197212121三步转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=92972121162711629136133623P (3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+=38.062.04.06.029161103291618136482596483899162271324919162771324919362672239367137223 三步转移后的销售状态分布为()()0.390.610.380.620.40.60.3750.625P )0(P )3(P 3T T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==）（ 6.1 设有随机过程)cos()(Θ+=t t X ω，其中0>ω为常数，Θ是在区间)2,0(π上服从均匀分布的随机变量，问)(t X 是否为平稳过程。