(D ) d V D d S
1
D 1 dSr2
S
r
r2
D d S 1 SD d S 0
W
1 2
dV
该公式只适合于静电场情况。 能量不仅分布在电荷区，而 且存在于整个场中。
讨（论1）：适对用于W静电12 场 ， d线 性的介使质用；注意几点：
（2）适用于求总能量（如果求某一部分能量
Q Q PPEdl
理意义，两点间电 势差才有意义
电势差为电场力将
单位正电荷从P移
到Q点所作功负值
① 电场力作正功，电势下降 (Q P)
电场力作负功，电势上升 (Q P)
② 两点电势差与作功的路径无关 (Edl 0) L
●等势面：电势处处相等的曲面
E与等势面垂直，即
En
均匀场电场线与等势面
(P )Q r d l Q r d Q
P 40 r3
P 40 r2 40 r
（2）电荷组
(P)
n i1
Qi
4 0ri
（3）无限大均匀线性介质中点电荷
Q 4 r
点电荷在均匀介质中 的空间电势分布（Q 为自由电荷）
Q 产生的电势 Q P产生的电势
f
Qf
4 0 r
P
QP
4 0 r
一、静电场的标势
1．静电势的引入
E0
静电场标势 [简称电势]
E
① 的选择不唯一，相差一个常数，只要
知道
即可确定
E
② 取负号是为了与电磁学讨论一致
③ 满足迭加原理
EE1E 1E21
E2 2
12 (12)
2、电势差
d d x d y d z d lr E rd lr x y z 空间某点电势无物
三．静电场的能量
仅讨论均匀介质
1. 一般方程： 能量密度
w
1
E
D
2
总能量
W1
EDdV
2
2. 若已知 ,,总能量为
W 1 dV 2V
导出过程：
E D D ( D ) D ( D )
W 1 2 d V 1 2 (D )dV
Ñ r
rr
M 0）,
t
BH0
（ H 0 , B 0 ，HB0为唯一解）)
基本方程：
E0
D
边值关系：
n (E 2E 1)0
n (D 2D 1)
介质分界面上的束缚电荷：
n(E2
E1)P0f
f 0
p0E2nE 1n
电磁性质方程：
① 均匀各向同性线性介质： ② 静电平衡时的导体：
P
时，面积分项 （3）不能把 1
1
2
v
ÒD
dsv
0
）；
s看成是电场能量密度，它
只能表示能量2 与存在着电荷分布的空间有关。
真实的静电能量是以密度
w 1 的Er 形Dr 式
2
在空间连续分布，场强大的地方能量也大；
.
（4） W 1 d 中的 是由电荷分布 激发的电
2
势；
（5）在静电场中，电场决定于电荷分布。在场内没 有独立的运动。因而场的能量就由电荷分布所决 定。
（1）要具备什么条件才能求解静电问题 （2）所求的解是否唯一
.
1、静电问题的唯一性定理
（1）有介质存在的情况
把一个区域V找分为许多
小区域Vi，每一个小区域内介
电常数为 i ，它是各向同性的。
每一个区域给定电荷分布
r (x) ,
x r V
V
dsi Vj j
Vk
Vi i
ds j
k
S
S ij
.
已知：①在每个均匀区域中满足
2 i
i
，
即有几 个区域就是几个泊松方程。
②在各个均匀区域的交界面上，满足：
i j , i( n)i j( n)j
至此，不知道边界条件，即不知道区域的边界S 上的一些条件。这个问题正是唯一性定理所要 解决的，下面讨论之。
第二章
静电场
.
主要问题： 给定自由电荷分布以及周围空间介质和导 体分布的情况下，如何求解电场。 主要内容： 静电势及其特性、分离变量法、镜象法、 格林函数法。
求解的依据是：唯一性定理。
.
静电场的基本特点
静电场两个条件 ①电荷静止不动
J 0
②场量不随时间变化 (物理量) 0
(不考虑永 久磁体（
+
电偶极子的电场线与等势面
点电荷电场 线与等势面
参考点
（1）电荷分布在有限区域，
P
Edl
P
通常选无穷远为电势 参考点
0
P点电势为将单位正 电荷从P移到∞电场 力所做的功。
（2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考
点，否则积分将无穷大。
3、电荷分布在有限区几种情况的电势
（1）点电荷 0
适用于无自 由电荷分布 的均匀介质
2．(1静) Q 电两 介势质的P 分边 界值面关P Q 系E dlnnrrˆˆP((DrEr22QDErr11))
P Q
2 Q
0
0
n
2
S
1 S 2 S
1 P 1
即 在 界 面 上 ,电 势 是 连 续 的 (E2t E1t )
2n2 S 1n1 S
(QP
(0
1)Qf
)
（ 4） 连续f 分 布P 电 荷Q 4 f 0 (Q r PP ) V 4 Q f4 (rx )d 0rV
二、静电势的微分方程和边值关系 1. 电势满足的方程
泊松方程 2
适用于均 匀介质
导出过程
D E , E D
E 2
0 拉普拉斯方程 2
e 0 E
(
0 ) E
导体内
JE0（ 0）
E ,D ,P ,,0
D E ( D 0 E P )
P
P
P
( 0
1)
n ( P2 P1 )
外表面
EEn, Et 0
电荷分布在表面上，电
场处处垂直于导体表面
§2.1 静电势及其微分方程
本节主要内容
一、静电场的标势 二、静电势的微分方程和边值关系 三、静电场的能量 四、静电场问题的几种解法
n (D 2D 1)
2E2n1E1n
D2nD1n
D E
En
n
（2）导体表面上的边值关系
由于导体表面为等势面，因此在导体表面 上电势为一常数。将介质情况下的边值关 系用到介质与导体的分界面上，并考虑导 体内部电场为零，则可以得到第二个边值 关系。
|sБайду номын сангаас数
n s
En
Q蜒 SdSS ndS
（6）若全空间充满了介电常数为ε的介质，且得到 电荷分布ρ所激发的电场总能量
W 8 1d(x r)r(x r)d
式中r为 xr 与xr 点的距离
.
第二章第二节
唯§2一.2 唯性一定性定理理
.
静电场的基本问题是：求出在每个区域(均匀)内 满足泊松方程，在所有分界面上满足边值关系 和在所研究的整个区域边界上满足边界条件的 电势的解。 本节内容将回答两个问题：